北京四中2026届数学高一上期末教学质量检测试题含解析

北京四中2026届数学高一上期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）A.（3，4） B.（2，4）C.[0，4） D.[3，4）2．若a＞b，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.3．已知函数，，则的值域为（）A. B.C. D.4．计算：（）A.0 B.1C.2 D.35．平行线与之间的距离等于（）A. B.C. D.6．已知角的终边经过点，则（）A. B.C. D.7．命题“，是4倍数”的否定为（）A.，是4的倍数 B.，不是4的倍数C.，不是4倍数 D.，不是4的倍数8．若幂函数的图像经过点，则A.1 B.2C.3 D.49．函数的定义域是（）A. B.C. D.10．函数的零点所在区间是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______12．计算：___________.13．设a>0且a≠1，函数fx14．已知是第四象限角，，则______15．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为________16．某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示.则下列结论：①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的；③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是；④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.其中正确结论的序号是_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围.18．如图，已知正方形ABCD的边长为2，分别取BC，CD的中点E，F，连接AE，EF，AF，以AE，EF，FA为折痕进行折叠，使点B，C，D重合于一点P.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积19．已知，，全集.（1）求和；（2）已知非空集合，若，求实数的取值范围.20．某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中的值；（2）求20位同学成绩的平均分；（3）估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数（保留三位有效数字）21．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为yKB.（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果病毒占据内存不超过1GB（1GB=210

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得.【详解】由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，设与交点的横坐标为，，设，则，，由得，所以，即设与的交点的横坐标为，，设，则，，且，所以，则故选：D.2、A【解析】由不等式的基本性质，逐一检验即可【详解】因为a＞b，所以a-2＞b-2，故选项A正确，2-a＜2-b，故选项B错误，-2a<-2b，故选项C错误，a2，b2无法比较大小，故选项D错误，故选A【点睛】本题考查了不等式的基本性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3、A【解析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.【详解】由题意知，，由，得，又函数在上单调递增，在上单调递减，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，有，所以，故的值域为.故选：A4、B【解析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；【详解】解：；故选：B5、C【解析】，故选6、C【解析】根据任意角的三角函数的定义，求出，再利用二倍角公式计算可得.【详解】解：因为角的终边经过点，所以，所以故选：C7、B【解析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”故选：B8、B【解析】由题意可设，将点代入可得，则，故选B.9、A【解析】利用对数函数的真数大于零,即可求解.【详解】由函数，则，解得，所以函数的定义域为.故选：A【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域，需熟记对数的真数大于零，属于基础题.10、C【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可【详解】∵，，∴，∴函数在区间(2,3)上存在零点故选C【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据题意求出函数和图像，画出图像根据图像解题即可.【详解】因为满足，即；又由，可得，因为当时，所以当时，，所以，即；所以当时，，所以，即；根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意，恒成立，根据图像当时，函数与图像交于点，即的横坐标即为的最大值才能符合题意，所以，解得，所以实数的取值范围是：.故答案为：.12、7【解析】直接利用对数的运算法则以及指数幂的运算法则化简即可.【详解】.故答案为：7.13、1,0【解析】令指数为0即可求得函数图象所过的定点.【详解】由题意，令x-1=0⇒x=1,y=1-1=0，则函数的图象过定点（1,0）.故答案为：（1,0）.14、【解析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为是第四象限角，，则，所以，.故答案为：.15、(－4，4]【解析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可.【详解】令g(x)＝x2－ax＋3a，因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，所以a≤2且g（2）＞0，所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4故答案为：.【点睛】本题考查由对数型复合函数的单调性求参数范围，注意定义域即可，属基础题.16、②④【解析】由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【详解】由已知可得，则.对于①，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），①错；对于②，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，②对；对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；对于④，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、，则，，，所以，，所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④对.故答案为：②④.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）时，求出集合，由此能求出；（2）由可得，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围【小问1详解】解：时，集合，，【小问2详解】解：，，当时，，解得，当时，，解得，实数的取值范围是18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过，证明平面，然后证明；（2）利用，求出几何体的体积【小问1详解】证明：，即,平面，平面,又平面，所以；【小问2详解】由（1）知平面，19、（1）（2）【解析】（1）求得集合，根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解；（2）由，所以，结合集合的包含关系，即可求解.【详解】（1）由题意，集合，因为集合，则，所以，.（2）由题意，因为，所以，又因为，，所以，即实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集和补集的运算，以及利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合的基本运算，以及合理利用集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20、（1）；（2）；（3）第一四分位数为70.0；第80分位数为【解析】(1)根据频率分布直方图中的频率之和为1即可求解；(2)根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解；(3)根据题意，结合百分位数的概念与计算公式，即可求解.【详解】(1)依图可得：，解得：(2)根据题意得，(3)由图可知，，，，，对应频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故第一四分位数为70.0前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以第80分位数在第四组