湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线，则，即，所以抛物线的准线方程是.故选：D.2.在空间直角坐标系中，，，则（）A. B.6 C.29 D.【答案】A【解析】.故选：A.3.、分别为与上任意一点，则的最小值为（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】因直线与直线互相平行，、是两直线上的点，故当且仅当为两直线的公垂线段时，取得最小值，即的最小值为两直线之间的距离，为.故选：B.4.圆关于直线对称的圆的方程为（）A B.C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为，半径，设关于直线对称点为，则，解得，即对称的圆心为，所以对称圆的方程为：.故选：C.5.已知是椭圆上一点，，是其左、右焦点，若，则的面积为（）A. B. C.4 D.5【答案】C【解析】椭圆，可得，则，因为点在椭圆上，可得，又由，可得,联立方程组，可得，所以的面积为.故选：C .6.若等差数列的首项，，则等于（）A.13 B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为，因为，，所以，所以．故选：B.7.若直线与圆交于、两点，则的取值不可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为，直线的方程可化为，联立，解得，即直线过定点，且直线不表示直线，显然当直线过圆心时，取最大值，当直线与垂直时，圆心到的距离取最大值，此时，取最小值，因为，则直线的斜率为，此时，直线的方程为，即，不合乎题意，因此，的取值范围是.故选：A.8.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图所示：因为，则，，所以，，因，则，设，则，则，由勾股定理可得，即，整理可得，因为，解得，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】设，对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确；对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误；对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确；对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确；故选：ACD.10.已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（）A.拋物线的准线方程为B.若直线过，且轴，则C.若直线过，则D.若，则的中点到轴距离的最小值为2【答案】ABD【解析】由可知抛物线的焦点在轴正半轴上，且.对于A，拋物线的准线方程为，故A正确；对于B，因直线过，且轴，把代入，解得，故，故B正确；对于C，由上分析知，因直线的斜率不能为0，故可设其方程为，代入，可得，由韦达定理，可得，故C错误；对于D，由图知，，当且仅当经过点时，等号成立.设直线的方程为，，代入，可得，则，由韦达定理，可得，，则，因，故可得，即得，设的中点为，而即点到轴的距离，因，故当时，的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确.故选：ABD.11.到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（）A.曲线的方程是B.曲线关于坐标轴对称C.曲线与轴没有交点D.的面积不大于【答案】ABD【解析】设，则，则，所以A正确；令代，则，可知曲线关于轴对称，令代，则，可知曲线关于轴对称，所以B正确；令，则，化简得，解得，可知当时，，当时，或，当时，或，可知与轴至少有2个交点，所以C不正确；由三角形面积公式可知，因为在三角形中，所以，且仅当，即时取等号，所以D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为等差数列的前项和，若，则_________________.【答案】590【解析】设公差为，由可得解得，故，故答案为：590.13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为_____．【答案】8【解析】双曲线，，右焦点，抛物线的焦点为，所以.故答案为：.14.已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.【答案】【解析】因为为双曲线上的动点，所以，则，，由题意，直线是双曲线的切线，切点为，而双曲线的渐近线方程为，则，联立，解得，所以点的坐标为，联立，解得，所以点的坐标为，所以线段的中点为，则（当且仅当时取等号），由题意可得直线的斜率大于零或不存在，故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号，所以，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，求的值.解：（1）设，，，，，，，，，，所以的方程为；（2）因为的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，.16.记为等差数列的前项和，且满足，.（1）求；（2）是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由.解：（1）设等差数列的公差为，由题意得，，则，解得，所以.（2）由，函数开口向下，对称轴为，而，则或6时，取得最大值15，无最小值.17.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）设，，求二面角的余弦值.（1）证明：如图，连接，底面为正方形，所以，平面，平面，，平面，平面，，平面（2）解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，则，，，设平面的法向量为，由，即，令，得：；设平面的法向量为，由，即，令，得：；则.故结合图像易知：二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.18.已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度；（3）直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值.（1）解：抛物线的焦点为，则，即，所以抛物线为.（2）解：直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：，得，，设，由韦达定理得，故；（3）证明：由题意可知直线斜率不为0，设其方程为，联立方程得：，整理得：，，其中，，因为以为直径的圆经过点，所以，又因为，∵，∴，所以直线过定点，又因为，所以为直角三角形，所以当为斜边中点时，为定值，此时，所以定点为，为定值2．19.已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为，（1）求C的方程；（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．（1）解：因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，又因为椭圆C的离心率为，得，所以椭圆方程为.（2）证明：由，得直线斜率为，中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，联立垂直平分线方程和椭圆方程得，，.，所以直线与椭圆相切，线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；（3）证明：解法一：设，当时，的垂直平分线方程为，此时或；当时，的垂直平分线方程为，联立，得，即因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，故，即，则，即，，即，，