江苏省常州市2026届高三上学期11月期中质量调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市2026届高三上学期11月期中质量调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合是质数，，则（）A. B.{2} C.{3} D.【答案】C【解析】由，解得，故.因为，要使是质数，必须是整数，而必须是2的正因数.因为2的正因数有1和2，所以当时，，此时，4不是质数，不符合要求，舍去；所以当时，，此时，3是质数，符合要求，故.所以.故选：C.2.某店日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据：-2-1012百元54221小明对上述数据进行分析，发现与之间具有线性相关关系，则关于的经验回归方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，样本中心点为，由样本数据可知，随着的增大而减小，所以符合条件.故选：B.3.下列四个命题中，是假命题的为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，取，，A是真命题；对于B，取，，B是真命题；对于C，，当且仅当，即时取等号，因此当时，，C是真命题；对于D，当时，，D是假命题.故选：D.4.已知随机变量，若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，又.故选：D.5.将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得.故选：A.6.已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（）A. B. C. D.3：1【答案】C【解析】设它们底面圆半径为，母线长为，记圆柱的表面积为，则，记圆锥的表面积为，则，所以圆柱与圆锥表面积之比.故选：C.7.若实数，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，由，所以，即.设函数，，则，.由；由.即在上单调递增，在上单调递减.所以，所以.所以，即.综上，.故选：A.8.已知函数是函数的图象上的定点，过的动直线与函数的图象有异于的两个公共点，且它们的纵坐标之和恒为2，则的横坐标为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】因为在函数的图象上，所以可设，设直线方程为：，代入得：，化简得：.因为为该方程的1个根，所以方程可化成，即.所以.设，，则，为方程的两根，所以，由，即恒成立.所以x1由及可得，解得，由可得，将代入该式得，即，，所以，所以，即点的横坐标为：.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（）A.0 B.i C.1 D.【答案】AC【解析】由是虚数，，设，则，因此的可能取值有0和1.故选：AC.10.立德中学某班名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为，唯一众数为，极差为，则下列说法正确的是（）A.该组数据的最小值可能为 B.该组数据的平均数不超过C.该数据的第百分位数为 D.该组数据的方差超过【答案】BCD【解析】由题意设该组数据从小到大为、、、、，由题意可得，，，可得，A错；这组数据为、、、、，则，这组数据的平均数为，B对；对于C选项，因为，所以该数据的第百分位数为，C对；对于D选项，当时，这组数据的平均数为，这组数的方差为，当时，这组数的平均数为，这组数的方差为，当时，这组数据的平均数为，这组数的方差为，当，此时这组数据的平均数为，这组数的方差为，因此，这组数据的方差大于，D对.故选：BCD.11.已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（）A.B.三棱锥的体积为C.点到平面的距离为D.存在半径为的球，使得四点均在球的球面上【答案】AC【解析】对A：，，，有，故，故A正确；对B：由，故、，又、平面，，故平面，故，故B错误；对C：设点到平面的距离为，则由可得：，则，故C正确；对D：设三棱锥外接球球心为，半径为，由，平面，取中点，则，且，则，则有，即，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，含的项的系数为___________．【答案】2【解析】在的展开式中，从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘的积即可得含的项，所以含的项的系数为.故答案为：.13.已知平面向量，其中是锐角．若，则___________．【答案】【解析】向量，由，得，由是锐角，得，所以.故答案为：.14.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某直线折叠，现有一张长方形纸（）．若将长方形纸对折，使得重合，得到新的长方形，发现长边与短边的长度比保持不变．若将长方形纸的顶点折到边上，设折痕所在直线与的夹角为，当折痕最短时，___________．【答案】【解析】设中点为,中点依次记为,中点记为,连接.设,因为在上，所以的中点在线段上.折痕为过,且,情况分三种，如图1，2，3.由题意，,得.情形1：如图1，折痕.情形2：如图2，，,,所以.情形3：如图3.当与重合时，取得最小值.如图4，此时.由,得,所以.故当折痕最短时，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：男性女性需要4020不需要160280（1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；并指出该调查中更优的抽样方法．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879解：（1）抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人，频率为，所以的估计值是.（2）列联表如下：男性女性合计需要402060不需要160280440合计200300500，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样.16.有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止．（1）求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数；（2）已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率．解：（1）由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品，且前4次测得3只不合格品、1只合格品，所以不同情形种数为.（2）记事件：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件：第2次测得合格品，，，因此，所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为.17.在中，，，分别是角所对的边，点在边上，已知，的面积为．（1）求；（2）若，求的正切值．解：（1）因为，所以，因为，则，故由，可得.因为，，解得，由余弦定理得，解得.（2）设，所以．在中，由正弦定理得，，即，在中，由正弦定理得，，即，因，代入化简得，即，解得，即.18.如图，在直三棱柱中，，两点分别在直线上，．（1）证明：平面；（2）求线段的长度；（3）求二面角的余弦值．（1）证明：因为直三棱柱，则，因，则，又，，平面，则平面；（2）解：因为直三棱柱，且，则以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设，则，则，则，解得，则，故；（3）解：因，则，，设平面和平面的法向量分别为，则，，不妨令，则，则，有图可知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.19.已知函数．（1）当，求在点处的切线方程；（2）当，求函数的零点个数；（3），求整数的值．解：（1）当时，，则，有，又，故在点处的切线方程为；（2），定义域为，，①，