江苏省常州市合作学校2025-2026学年高二上学期期中学情调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市合作学校2025-2026学年高二上学期期中学情调研数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线经过两点和，所以该直线的斜率为，则该直线的倾斜角满足，因为，所以．故选：C．2.抛物线的焦点到准线的距离是（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】由可得，即，故焦点到准线距离为4.故选：A.3.已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设两平行线间的距离为，则.故选：B.4.已知圆的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为（）A.4，－6 B.－4，－6 C.－4,6 D.4,6【答案】A【解析】圆的圆心，又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，所以.所以D＝4，E＝－6．故答案A.5.已知直线与平行，则的值是（）A. B.或 C. D.或【答案】C【解析】由两直线平行得，当时，两直线分别为和，显然两直线平行；当时，由，解得；而当时两直线重合.综上所述，k值为0.故选：C.6.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（）A.14 B.9 C.4 D.2【答案】C【解析】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，则在双曲线中，，即有，解得，所以.故选：C.7.已知双曲线的离心率为，焦点到渐近距离为2，则双曲线实轴长（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】焦点到渐近线得距离为，又∵，∴，∴长轴为.故选：C.8.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹为曲线．直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】设动点的坐标为，已知，且.则，化简得：.所以曲线：是以原点为圆心，为半径的圆.因为直线：与曲线恒有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径.即，化简得恒成立.所以，解得：.故选：.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下四个命题表述正确的是（

）A.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为B.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于C.曲线与曲线恰有三条公切线，则D.已知直线和以、为端点的线段相交，则实数的取值范围为【答案】BC【解析】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为，将点的坐标代入直线方程得，解得，此时直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，即，将点的坐标代入直线方程得，解得，此时直线的方程为，综上所述，直线的方程为或，A错；对于B选项，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，B对；对于C选项，圆标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，则，可得，圆的圆心为，半径为，因为两圆有三条切线，故两圆外切，故，故，解得，C对；对于D选项，由得，可知的几何意义是线段上一点与定点连线的斜率，如下图所示：由斜率公式可得，，作直线，当直线从直线的位置运动到靠近直线的位置时，此时直线的倾斜角为锐角，且直线的倾斜角逐渐增大，则；当直线从靠近直线的位置运动到与直线重合时，此时直线的倾斜角为钝角，且直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，的取值范围是，D错.故选：BC.10.已知平面直角坐标系内的一个曲线的方程为不全为.则正确的是（）A.当时，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆B.当时，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆C.当曲线是顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线时，D.当曲线是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线时，【答案】AD【解析】对于A，当时，曲线的方程为，可化为，∵，∴，∴曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，当时，曲线的方程为，可化为，∵，∴，∴曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，故B错误；对于C，当曲线是顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上的抛物线时，则满足，此时方程化为，即，显然，得到，而焦点在轴负半轴上，则，解得，故C错误；对于D，当曲线是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线时，则满足，此时方程化为，即，则，得，综上，，故D正确，故选：AD．11.1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．设定点，，已知曲线为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的是（

）A.原点在曲线的内部；B.曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；C.曲线上的点的横坐标的取值范围是；D.曲线上存在点，使得【答案】BCD【解析】原点的坐标代入的方程，有，所以原点在曲线上，故A错误；代入的方程，得，方程成立，故曲线关于原点对称，代入的方程，得，方程成立，故曲线关于轴对称，代入的方程，得，方程成立，故曲线关于轴对称，综上，曲线关于原点，轴，轴均对称，故B正确；由，两边平方得，∴，即，∴，即，∴，所以，得，化简得，即，解得，∴曲线上的点的横坐标的取值范围是，故C正确；若曲线上存在点，使得，即，∵，∴，又，则，即，即，解得，∴曲线上存在点，使得，故D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为________．【答案】【解析】设点，根据反射的对称性，知点关于轴的对称点与在同一直线上，所以，所以，解得，所以点的坐标为．故答案为：.13.已知圆过点，且圆心在直线，则圆的标准方程为________．【答案】【解析】圆的标准方程为：，则，解得：，所以圆的标准方程为：，故答案为：.14.如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．“果圆”与x轴的交点分别为、，与轴的交点分别为，，若在“果圆”y轴左侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意，设,，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，或（舍），∴，令，∵，，，∴，即，∴，即，即，，从而，∴，∴，即且，结合，解得，∴的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线的方程为.（1）若直线与平行，且过点，求直线的方程；（2）若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．解：（1）由直线与平行，可设的方程为，将点代入，得，即得，所以直线的方程为.（2）由直线与垂直，可设的方程为，令，得，令，得，故三角形面积，所以，解得，所以直线的方程是或.16.已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度.解：（1）若抛物线焦点在轴上，则可设，抛物线经过点，，解得：，抛物线方程为：；若抛物线焦点在轴上，则可设，抛物线经过点，，解得：，抛物线方程为：，综上所述：抛物线的方程为：或.（2）由（1）知：抛物线的方程为：，焦点为，则直线，代入抛物线方程，消去得，则，显然，所以，，则.17.已知，是圆上的三点，.（1）判断四点否共圆，并说明理由；（2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程.解：（1）设圆的方程为.则，解得，，.所以，圆的方程为.代入圆的方程，.故点在圆上，即四点共圆.（2）当直线的斜率不存在时，对于，令，得或.此时弦长为，符合题意，故直线的方程为.当直线的斜率存在时，设，即.于是圆心到直线的距离为.则.解得.故直线的方程为.综上所述，直线l的方程为或.18.设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：（1）双曲线的左右顶点分别为，由题意得：，故，双曲线渐近线方程为，故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，因为，解得：，故，所以椭圆方程为.（2）当切线的斜率不存在时，其方程为，将代入，得，不妨设，，，，所以；当切线的斜率存在时，设方程为，因为与圆相切，所以，即，将代入，得，所以，又，综上，.19.已知双曲线的左、右焦点分别为、，右焦点与抛物线的焦点相同，其一条渐近线方程为.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积；（3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐