辽宁省点石联考2025-2026学年高二上学期12月联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省点石联考2025-2026学年高二上学期12月联合考试数学试题一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A. B. C.0 D.不存在【答案】C【解析】由方程，可知直线与轴平行，倾斜角为0，故选：C.2.如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为是的中点，，分别是，的中点，所以.故选：A.3.已知椭圆的焦距为6，离心率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记椭圆的半焦距为，由得，于是由得，可知．故选：B．4.已知向量，，则（）A. B. C.1 D.5【答案】D【解析】∵，，∴故选：D.5.若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得的焦点为，设关于直线的对称点为，则得故的焦点坐标为.故选：D.6.若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的种数为（）A.28 B.29 C.30 D.32【答案】C【解析】被3除余1的数有，被3除余2的数有2，5，8，被3整除的数有3，6，9，若要使选取的三个数字的和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，则取出的这三个数字的和能被3整除的种数种．故选：C.7.已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为（）A B. C. D.17【答案】C【解析】易知平面法向量，而由可得，于是，所以，故点到的距离.故选：C.8.在空间直角坐标系Oxyz中，，，点P满足，则点P到x轴距离的最大值为（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】设，，，，，，，，，表示以为球心，半径为的球，到轴的距离为，，在平面的投影为圆心，半径为的圆面，此圆面中的点到原点的最大距离为圆心到原点距离加上半径，圆面中的点到原点的最大距离为，到轴的距离的最大值为.故答案为：.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.记直线，，则（）A.过定点 B.的倾斜角为钝角C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】对于选项A，整理直线方程：，则，解得，即过定点，故A正确；对于选项B，整理直线方程：，当，即时，的倾斜角为直角，故B错误；对于选项C，代入，可得直线，，显然，故C正确；对于选项D，若，则，解得，故D正确.故选：ACD.10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（）A.从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法B.从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法C.从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D.从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法【答案】ABC【解析】对于A，根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故A正确.对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选法，故B正确.对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有种不同的选法；第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有种不同的选法；第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有种不同的选法，故共有种不同选法，故C正确.对于D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是，故D错误.故选：ABC.11.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（）A.曲线关于原点对称 B.直线与曲线有2个公共点C.点的纵坐标的取值范围是 D.的最大值为【答案】AD【解析】依题意，曲线，点都满足方程，所以曲线关于原点对称，A选项正确由消去并化简得，解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项错误.由整理得，令，则有非负根，而其对称轴，所以，，解得，所以C选项错误.令，则，代入，化简得，设.由于的开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，由解得（负根舍去），所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确.故选：AD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为__________.【答案】【解析】因为为直径，则的中点为，所以圆心为，半径，所以圆的方程为.故答案为：.13.记双曲线斜率为正的渐近线为，则虚轴的上端点到的距离为________．【答案】或0.5【解析】由：可得实半轴，虚半轴，故：，即，则双曲线虚轴的上端点到直线的距离为．故答案为：．14.在共13个数中挑出个数，使得这个数中任意两个差的绝对值都不是5或8，则的最大值是__________.【答案】6【解析】如图，由题意，将13个数排成一圈，使相邻的两个数的差是5或8，则其中任何相邻的数都不能同时取，从1开始按逆时针顺序把数染成实心和空心，则所有空心圈对应的数符合题意，共6个，且若超过6个，则必然会出现两个数相邻，因此的最大值为6.故答案为：6.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.记圆，直线．（1）若圆心T在l上，求a；（2）若圆T与l相切，求a；（3）若圆T与l相交，求a的取值范围．解：（1）圆的圆心为，因为圆心T在l上，所以，所以.（2）圆的圆心为，半径为，又圆T与l相切，所以，所以或.（3）圆的圆心为，半径为，又圆T与l相交，所以，所以.16.在平面直角坐标系中，直线与曲线有且仅有一个公共点.（1）求的方程；（2）过的直线与另交于点，若，求的面积.解：（1）联立，得，其中，解得（舍）或，故的方程为.（2）此时由可解得，而，故，所以的斜率，故的斜率，所以，即，联立，可得，解得，故，而，故的面积.17.在直三棱柱中，.（1）证明：；（2）当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为.（1）证明：因为，所以由直三棱柱的性质知四边形为正方形，所以，而，平面，所以平面，而平面，所以；（2）解：由题意知，平面，所以平面，而平面，所以，故两两垂直，以为坐标原点，方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，从而，设平面的一个法向量为，则，即，可取，设平面的一个法向量为，则，即，可取，故，平方化简得，又，所以，故.18.在直角坐标系中，，曲线上两点满足的垂直平分线与交于两点.（1）证明：；（2）求；（3）记点为中点，为圆上一点，求的最大值.（1）证明：记，不妨设斜率为正，，由得，前者可得，得，代入后者得，即，于是.（2）解：此时由斜率为正且显然有，于是，故.此时的斜率中点为，故的方程为，即.联立，得，记，则，于是.（3）解：显然，故，记，于是当且仅当点在线段上时，等号成立，故最大值为.19.如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点．（1）写出的坐标；（2）证明：直线过定点；（3）、、、四点能否共圆？请说明理由．（1）解：在椭圆中，，，则，故.（2）证明：若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意，若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾，故直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为