辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合满足，则实数的值是（）A.0或 B.1或 C.0或或1 D.0或【答案】C【解析】因为，且，当时，符合题意；当时，又，所以或，解得或，综上可得实数的取值集合为.故选：C.2.如果x，y是实数，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“”，则两边平方得，即，所以，充分性不成立；若“”，则、同号，故“”，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】由题设，可得，结合已知有，且，，，当时，取得最大值10.故选：C.4.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】由题意可得，，即，则有，即，解得或，即解集为或故选：B.5.已知函数，若，则的最大值为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】因为，所以，所以的最大值为.故选：D.6.已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，，设，，则，，是方程，即的两个正根，所以，令，解得或，所以，由题意，所以的取值范围是.故选：D.7.已知函数的定义域为，求实数的取值集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数的定义域为，所以对恒成立，当时，不等式为，满足题意；当时，，解得：，综上所述：.故选：B.8.已知函数满足：，若，则（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】D【解析】依题意，因为，则，令，则，因为，所以，又因为，则，即，在中令，则，即，在中令，则，所以，故得，又；又，所以，即.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，是真命题的有（）A.集合的所有真子集为，B.若（其中a，），则C.D.若a，b，，则是的充要条件【答案】BCD【解析】对于A，集合的真子集为，，，故A错误‘对于B，由，得，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为等价于，等价于，所以是的充要条件，故D正确.故选：BCD.10.已知且，则下列不等式恒成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】且，对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，因为，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，则，当且仅当时取等号，故C不正确；对于D，.因为，所以（当且仅当,及,又因为,所以时取等号），故D正确．故选：ABD．11.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（）A.B.对任意整数，有C.设函数，则的值域为D.的解集为【答案】BCD【解析】对A：，故A错误；对B：设，则，对任意整数，，则，故B正确；对C：由，且，则，即，故的值域为，故C正确；对D：由，则，则有，即，又，故，则，即，故，即的解集为，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】若命题为真命题，即方程在上有解，则满足，解得，若命题为真命题，即不等式在上恒成立，则满足，解得，当命题为真命题且为假命题时，则满足；当命题为假命题且为真命题时，则满足；所以命题､一真一假时，可得或所以实数的取值范围为.故答案为：.13.已知，，若，则的最小值为_____.【答案】【解析】当时，代入方程中得，不合题意；当时，由变形为，又因为，所以，，当且仅当，即时取得，把代入可得，符合题意.综上所述，的最小值为.故答案为：.14.若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】设，则可将问题转化为，，当且仅当，即时等号成立，故，，由于，则是最小值，则对称轴，，所以实数的取值范围为，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，则为真命题，求实数的取值范围．解：（1）由题得，因为，所以，所以，解得或．当时，，此时，满足条件；当时，，此时，满足条件．综上，或．（2）因为若，则为真命题，所以．当时，，所以；当时，由（1）知；当时，无解，舍去；当时，无解，舍去．综上，的取值范围为．16.（1）求解方程组的解集．（2）求解方程组的解集．（3）求解方程组的解集．解：（1）两式相加得，解得，代入，得到，所以的解集为.（2）由得到，代入，得到，解得或，当时，，当时，，所以方程组的解集为.（3）因为①，②，易知，由①②得到，整理得到，所以或，当时，代入中得到，所以，当时，代入中得到，所以，所以方程组的解集为.17.（1）已知，比较与的大小（2）已知，，求代数式和的取值范围.解：（1），即；（2）因为，，则，，所以.18.假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜．（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明；（2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则；（3）求证：，且．解：（1）提炼出的不等式为.证明如下：.因为都是正数，且，所以，可得，所以.（2）由（1）及是三角形的三边，得，则，同理，所以.（3）由（1）可知.取，则，故有，则有，因为，所以，故，且.19.已知一元二次函数．设方程的两个实数根，．（1）当，时，若的解集为，求的值；（2）若对于任意x，，，且为偶函数，求；（3）当时，，且当时，的最小值为，求的最大值．解：（1）已知，，则，所以.因为的解集为，所以，且，是方程的两个根.根据韦达定理可得：，解得：；，解得：.由此可得：.（2）已知，将，，代入可得：，整理得：，即：，得：，解得：，.所以.又为偶函数，所以，将代入可得：，整理得：，即：，得：.综上可得：.（3