辽宁省普通高中2026届上学期高三期中考试调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省普通高中2026届上学期高三期中考试调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的虚部是（）A. B. C.1 D.3【答案】D【解析】因为，代入原式得：，所以复数标准形式中，虚部为3.故选：D.2.设集合，则的真子集的个数是（）A.4 B.3 C.0 D.7【答案】B【解析】因为，所以集合中有2个元素，所以真子集个数为，故选：B.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A.-4 B.-16 C.-32 D.-64【答案】D【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以，故选：D.4.已知非零向量，满足，，则（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】由，两边平方得，即.又，所以，即，所以.故选：C.5.下面四个函数中，当时，图像大致为下图的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A选项：，则，即此函数为偶函数，不符合图像，A选项错误；B选项：，则，即此函数为偶函数，不符合图像，B选项错误；D选项：，则，即此函数为奇函数，又，不符合图像，D选项错误；C选项：，则，又，，满足图像，C选项正确；故选：C.6.函数的部分图像如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】过作轴于点，则，因为是等腰直角三角形，所以，故，则，且，则，因为，所以，所以，，，所以，解得，，因为，所以，则，则，故.故选：A.7.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，的定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，，所以在上单调递减，由得，即，，因为在上单调递减，所以，解得，故选：C.8.已知，是函数图象上的两个不同的点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，取，则，故A错误，对于B,,则，故B错误，对于CD，，则，且，，故，故D正确，C错误，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量，，，下列说法正确的有（）A.若，，则B.C.D.若且，，则与垂直【答案】CD【解析】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误；对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量；同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误；对于选项C：因为，故C正确；对于选项D：因为，则，即，整理可得，即，所以与垂直，故D正确；故选：CD.10.设，，下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，，所以，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，，，所以，当且仅当即时等号成立，故C正确；对于D，，，，所以，故D错误.故选：ABC.11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（

）A.是偶函数B.存在最大值C.是增函数D.当时，【答案】ACD【解析】对A，因为是奇函数，所以，两边同时求导得，即，又的定义域为，所以为偶函数，正确；对B，因为①，所以②，联立①②可得，，因为，当且仅当时等号成立，当趋于时，趋于，所以有最小值，无最大值，错误；对C，记，则，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故，所以为定义在上的增函数，正确；对D，记，求导得，所以.当时，令，求导得，函数在上单调递增，则，即，即，综上，当时，，正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.等比数列的前项和为，若，则公比__________．【答案】或1【解析】因为，所以，即，即，又因为，所以，，解得或.故答案为：或1.13.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则_________.【答案】【解析】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则，当时，，由于在区间上的最大值为1，则在区间上单调递增，即，所以，解得：.故答案为：.14.已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为____________.【答案】【解析】由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则当时，函数单调递增，则对，有，即，即或，即或，分别解得或.即该不等式解集为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.解：（1）由，根据正弦定理可得，即，即，，所以，又，则.（2）由，可得，，因为，所以①，因为，所以②，联立①②可得，解得.故的面积为.16.已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和解：（1）因为数列的前n项和为，且，当时，，当时，，适合上式，故.（2），17.已知函数图象的一条对称轴为（1）求的最小值；（2）当取最小值时，若，求的值．解：（1）由题意得．因为函数的一条对称轴为，所以，所以．又，所以的最小值为1．（2）由（1）知．．．．18.已知函数，其中为自然对数的底数，.（1）当时，函数有极小值，求；（2）证明：恒成立；（3）证明：.（1）解：，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有极小值，所以，即.（2）证明：不等式恒成立，即恒成立，设，则，易知是定义域上的增函数，又，则在上有一个根，即当时，，当时，此时在单调递减，在单调递增，的最小值为，，，，恒成立，故结论成立.（3）证明：由（2）知，，令，则.由此可知，当时，，当时，，当时，，，当时，，累加得：，又，所以.19.已知函数.（1）当时，求函数在的最小值；（2）当时，求函数在的最大值；（3）求证：对，都有.（1）解：由题可得，因为，所以，当时，，所以函数在上单调递增，，当时，令，即，因为在上单调递减，所以存在唯一的，使得，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，由于，，当，即时，，当