内蒙古通辽市部分学校2025-2026学年高二上学期11月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古通辽市部分学校2025-2026学年高二上学期11月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线E：（，）的离心率为，则双曲线E的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，双曲线的离心率，可知该双曲线焦点在轴上，则它的渐近线方程为，而，则，所以，故渐近线方程为，故选：D.2.已知，，，则点A到直线BC的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意有：，所以，所以点A到直线BC的距离为.故选：B.3.已知直线l：，当点到直线l的距离最大时，直线l的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线l：过定点，显然点不在直线l上，则当且仅当时，点到直线l的距离最大，而直线斜率，因此直线的斜率，直线l的方程为.故选：C.4.已知抛物线C：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（）A. B. C.8 D.4【答案】C【解析】如图：因为抛物线方程为，所以焦点，准线：.因为直线的倾斜角为，且轴，所以.又点在抛物线上，所以，故为等边三角形.过作轴的垂线，垂足为，则，且，所以.所以.故选：C.5.若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知点在椭圆内部，则弦所在直线与椭圆必然有两个交点，设过点与椭圆相交于，两点，则，两式相减，得，又，，所以，即直线斜率为.所以直线的方程为：，即.故选：A.6.已知是圆上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，变形可得，则的几何意义为为圆上的点与点确定直线的斜率，方程化，圆心坐标为，半径，因为是圆上任意一点，则直线与圆相交或相切，故，解得，所以的最小值为.故选：B.7.已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，所以点，所以直线的斜率为，所以由，得，，中，根据余弦定理可知，整理为，即，，解得：.所以椭圆的离心率为.故选：B8.已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（）A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成角的余弦值为C.平面D.点到平面距离为【答案】D【解析】在正方体中，，以为原点，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确；又，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为，故B正确；因为，所以平面，故C正确；点到平面的距离为，故D错误.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.直线过定点B.点关于直线的对称点为C.直线l：与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.方程（）能表示平行于x轴的直线【答案】BCD【解析】对于A，由，可得，则直线过直线与直线的交点，所以直线过定点，故A错误；对于B，点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对于C，令，则，令，则，所以直线与两坐标轴的交点为，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确；对于D，当时，直线平行于轴，故D正确.故选：BCD.10.已知P为曲线M：（）上的动点，，，，，则下列结论正确的有（）A.B.面积的最大值为C.直线PC与PD的斜率之积为定值D当，时，【答案】ABC【解析】因为，.所以点的轨迹为椭圆位于轴下方的部分，且，，.所以，为椭圆的焦点，，为椭圆的左右顶点.如图：根据椭圆的定义，，故A正确；当点位于椭圆下顶点时，的面积最大，为，故B正确；设，则，，则为定值，故C正确；当，时，，因为，故D错误.故选：ABC.11.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数（，）的点M的轨迹是圆．若两定点，，动点M满足，则下列说法正确的是（）A.圆方程为 B.点M的轨迹围成区域的面积为C.点M的轨迹关于对称 D.点在圆外【答案】ABD【解析】设，因为，所以，化简可得.所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确；因为圆的面积为，故B正确；因为直线不经过圆心，故C错误；因为，所以点在圆外，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意得，直线的倾斜角为，，直线的倾斜角为．如图：由图可知，的斜率的取值范围为，则的倾斜角的取值范围为．故答案为：.13.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则______．【答案】或【解析】设圆柱的底面直径为，由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得，且，所以圆柱的底面直径，则椭圆长轴长为，短轴长为，因为离心率为，可得，所以，所以，解得．故答案为：.14.在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为____.【答案】或【解析】如图，分别以方向为轴建立空间直角坐标系可得：，，设平面的法向量，则，得，令，即.由于直线与平面平行，则，得：，即：.，，可知，由于，当时，取得最小值，最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，，记，，.（1）用向量，，表示；（2）若，求平行六面体的棱长.解：（1），又，所以.（2）由题意可知，，由（1）得，两边平方可得，所以即，解得.故平行六面体的棱长为.16.已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求C的方程；（2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.解：（1）由题意，得，解得，则椭圆C的方程为.（2）设，联立，得，则，解得，且，所以，点到直线的距离为，则，解得或，满足，则或.17.已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的正半轴上.（1）求圆的方程；（2）设过点的直线与圆交于两点（在轴上方），在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由已知可设圆心，则解得或（舍）所以圆.（2）由题知直线的斜率不为，可设直线的方程为，由.化简得显然成立，所以①，若轴平分，则，故，即，整理得将①代入上式得，整理得对任意的恒成立，则.∴存在点为时，使得轴平分.18.如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．（1）证明：平面；（2）已知异面直线与所成角的余弦值为，（i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由．（1）证明：连接，，连接，因为是中点，点是棱的中点，则，因为平面，平面，所以平面．（2）（i）解：因为平面，，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，又异面直线与所成角的余弦值为，所以，解得，故，所以，设平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，得，取，得．设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角，所以，；（ii）解：设线段上存在点，且，因为，设，，因为，又因为，所以，所以所以，当时，平面，所以平面，所以当时，平面.19.已知椭圆的离心率为点在椭圆上，直线与x轴交于点B.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于E，F两点，直线AC，AD的斜率记为.①求证：为定值；②点G为CF中点，若求实数