2025年积分能力测试题及答案

2025年积分能力测试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设f(x)在[a,b]上连续，且∫ₐᵇf(x)dx=0，则下列结论一定成立的是（）A.f(x)在[a,b]上恒为0B.存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0C.f(x)在[a,b]上至少有一个零点D.f(x)在[a,b]上的最大值与最小值异号2.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(2x+1)dx=（）A.F(2x+1)+CB.2F(2x+1)+CC.(1/2)F(2x+1)+CD.F(x)+C3.反常积分∫₁^+∞(lnx)/xᵖdx收敛的充要条件是（）A.p>1B.p>2C.p≥1D.p≥24.设f(x)为连续奇函数，且∫₋ₐᵃf(x)dx=0，则∫₀ᵃf(x)dx=（）A.∫₋ₐ⁰f(x)dxB.-∫₋ₐ⁰f(x)dxC.2∫₋ₐ⁰f(x)dxD.05.曲线y=sinx与y=cosx在区间[0,π/2]内围成的图形面积为（）A.√2-1B.2(√2-1)C.√2+1D.2(√2+1)二、填空题（每题4分，共20分）6.∫(x³+2x)/(x²+1)dx=__________。7.设F(x)=∫₀ˣ²t√(1+t³)dt，则F’(x)=__________。8.∫₋π^πx⁴sinxdx=__________。9.反常积分∫₀¹lnxdx=__________。10.由曲线y=√x，直线x=1，x=4及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为__________。三、计算题（每题8分，共40分）11.计算不定积分∫x²e^(-x)dx。12.计算定积分∫₀^π/2sin³xcos²xdx。13.计算∫(x+3)/(x²-2x-3)dx。14.计算反常积分∫₀^+∞e^(-√x)dx。15.求∫₀²|x²-1|dx。四、应用题（每题9分，共27分）16.某湖泊的污染物浓度随深度x（单位：米）的变化规律为c(x)=0.5e^(-0.2x)+0.1x，求深度0到5米范围内污染物的平均浓度（提示：平均浓度=总污染物量/深度范围）。17.一弹簧原长1米，当拉伸至长度为1+x米时，拉力为F(x)=20x（单位：牛），求将弹簧从1.2米拉伸至1.5米时外力所做的功。18.求由曲线y=x²和y=2-x²围成的平面图形的质心坐标（密度均匀）。答案与解析一、单项选择题1.C。由积分中值定理，存在ξ∈[a,b]使得∫ₐᵇf(x)dx=f(ξ)(b-a)=0，故f(ξ)=0。但f(x)不一定恒为0（如f(x)=x在[-1,1]），A错；ξ可能在端点，B错；D不一定成立（如f(x)=x在[-2,2]，积分0，但最大值2和最小值-2异号；若f(x)=x³在[-1,1]，积分0，最大值1和最小值-1异号，但f(x)=sinx在[0,2π]积分0，最大值1和最小值-1异号，但若构造f(x)=x-1在[0,2]，积分∫₀²(x-1)dx=0，最大值1（x=2），最小值-1（x=0），仍异号，但严格来说D不是“一定”成立，而C是“至少有一个零点”，正确。2.C。令u=2x+1，则du=2dx，dx=du/2，故∫f(u)·(du/2)=(1/2)F(u)+C=(1/2)F(2x+1)+C。3.B。当x→+∞时，lnx增长慢于x^ε（ε>0），故(lnx)/xᵖ~1/x^(p-ε)，要使积分收敛，需p-ε>1，即p>2（取ε=1时，p-1>1→p>2）。4.B。因f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)，故∫₋ₐ⁰f(x)dx=∫ₐ⁰f(-t)(-dt)=∫₀ᵃf(t)dt，即∫₀ᵃf(x)dx=-∫₋ₐ⁰f(x)dx。5.B。交点在x=π/4，面积=∫₀^π/4(cosx-sinx)dx+∫π/4^π/2(sinx-cosx)dx=[sinx+cosx]₀^π/4+[-cosx-sinx]π/4^π/2=(√2/2+√2/20-1)+(-0-1+√2/2+√2/2)=2(√2-1)。二、填空题6.(1/2)x²+(1/2)ln(x²+1)+C。分子拆分：x³+2x=x(x²+1)+x，故∫[x+x/(x²+1)]dx=∫xdx+(1/2)∫d(x²+1)/(x²+1)=(1/2)x²+(1/2)ln(x²+1)+C。7.2x·x²√(1+x⁶)=2x³√(1+x⁶)。由变上限积分求导公式，F’(x)=x²√(1+(x²)³)·(x²)’=x²√(1+x⁶)·2x=2x³√(1+x⁶)。8.0。被积函数x⁴sinx为奇函数（x⁴偶，sinx奇，乘积奇），在对称区间[-π,π]上积分为0。9.-1。∫₀¹lnxdx=limₐ→0⁺[xlnxx]ₐ¹=limₐ→0⁺(01(alnaa))=-1（因alna→0）。10.(15π)/2。体积=π∫₁⁴(√x)²dx=π∫₁⁴xdx=π·(1/2)x²|₁⁴=π·(16/21/2)=15π/2。三、计算题11.分部积分：令u=x²，dv=e^(-x)dx，则du=2xdx，v=-e^(-x)。∫x²e^(-x)dx=-x²e^(-x)+2∫xe^(-x)dx。对∫xe^(-x)dx再分部：u=x，dv=e^(-x)dx，du=dx，v=-e^(-x)，得-xe^(-x)+∫e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)+C。故原式=-x²e^(-x)+2(-xe^(-x)-e^(-x))+C=-e^(-x)(x²+2x+2)+C。12.利用三角恒等式sin³x=sinx(1-cos²x)，令t=cosx，dt=-sinxdx，当x=0时t=1，x=π/2时t=0。积分=∫₁⁰(1-t²)t²(-dt)=∫₀¹(t²-t⁴)dt=(t³/3t⁵/5)|₀¹=1/31/5=2/15。13.分解部分分式：分母x²-2x-3=(x-3)(x+1)，设(x+3)/[(x-3)(x+1)]=A/(x-3)+B/(x+1)，解得A=(3+3)/(3+1)=6/4=3/2，B=(-1+3)/(-1-3)=2/(-4)=-1/2。故积分=(3/2)∫dx/(x-3)(1/2)∫dx/(x+1)=(3/2)ln|x-3|(1/2)ln|x+1|+C。14.令t=√x，x=t²，dx=2tdt，当x→0时t→0，x→+∞时t→+∞。积分=∫₀^+∞e^(-t)·2tdt=2∫₀^+∞te^(-t)dt=2Γ(2)=2×1!=2（Γ函数性质）。15.分段计算：x²-1=0时x=1，故∫₀²|x²-1|dx=∫₀¹(1-x²)dx+∫₁²(x²-1)dx=[xx³/3]₀¹+[x³/3x]₁²=(11/3)+[(8/32)-(1/31)]=2/3+[(2/3)-(-2/3)]=2/3+4/3=2。四、应用题16.总污染物量=∫₀⁵[0.5e^(-0.2x)+0.1x]dx=0.5∫₀⁵e^(-0.2x)dx+0.1∫₀⁵xdx=0.5×(-5)(e^(-1)-1)+0.1×(25/2)=2.5(1e^(-1))+1.25≈2.5×(1-0.3679)+1.25≈2.5×0.6321+1.25≈1.5803+1.25=2.8303。平均浓度=2.8303/5≈0.566（单位：浓度·米/米=浓度）。17.功W=∫₀.₂^0.5F(x)dx=∫₀.₂^0.520xdx=10x²|₀.₂^0.5=10×(0.250.04)=10×0.21=2.1（焦耳）。18.联立y=x²和y=2-x²，解得x=±1，y=1。图形关于y轴对称，故质心横坐标x̄=0。面积A=∫₋₁¹(2-