北师大版初三（上）数学第69讲：梯形

梯形

再大脑体操）

步作业完成情猊）

再教学目标）

1、知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念，掌握等腰梯形的性质;

2、运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算：

3、增强主动探索意识，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值.

多趣味引了）

延知识梳理］

1.直角梯形

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形.

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直.

角：有两个内角是直角.

过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个—和.这是常用的一种作

辅助线的方法.

2.等腰梯形的性质

（1）等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；

（2）性质:

①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的—的直线；

②等腰梯形同一底上的两个角相等；

③等腰梯形的两条对角线相等.

（3）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成

和两个全等的,因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质.

3.等腰梯形的判定

（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；

（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形.

（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形.

判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否,可以通过添加

辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系.

注意：对•角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用.

4.梯形中位线定理

（1）中位线定义：连接梯形两腰的线段叫做梯形的中位线.

（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

（3）梯形面积与中位线的关系：

梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，艮］

梯形的面积;中位线的长X高

（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线.

5.翻折变换（折叠问题）

（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是________.

（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变

化，对应边和对应角相等.

（3）在解决实际问题时，对丁折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间

的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段

长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角

形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设由正确的未知数.

6.坐标与图形变化-平移

（1）平移变换与坐标变化

①向右平移a个单位,坐标P（x,y)=P(x+a,y)

①向左平移a个单位,坐标P（X,y)=P(x-a,y)

①向上平移b个单位,坐标P（X,y)=>P(x,y+b)

①向下平移b个单位,坐标P（X,y)=>P(x,y-b)

（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a,相应的新图

形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加：或减去）

一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.（即：横坐标，

右移,左移—；纵坐标，上移—，下移—.）

参考答案:

1.矩形直角三角形

2.(2)①中点；（3）矩形直角三角形

3.(3)相等

4.(1)中占

5.(1)轴对称变换

6.(2)加^^口减

■3典例讲维）

i•等腰梯形的性质.

【例1】（2014•湖北十堰六中期末）如图,梯形ABCD中,AD/7BC,AB=DC=3,AD=5,ZC=60°,则

下底BC的长为（）

【解析】首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出NB=6()°,BF=EC,AD=EF=5,求出BF

即可.

解：过点A作AF_LBC于点F,过点D作DEJ_BC于点E,

•・•梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC=3,AD=5,ZC=60°,

・・・NB=60°,BF=EC,AD=EF=5,

/.cos600=15=15=1,

AB32

解得：BF=1.5,

故EC=1.5,

ABC=1.5+1.5+5=8.

练1.如图，已知等腰梯形ABCD的底角NB=45°,高AE=1,上底AD=1,则其面积为()

A.4B.2&C.1D.2

【解析】先根据等腰梯形的性质求出BC的长，再由梯形的面积公式即可得出结论.

解：•・•梯形ABCD是等腰梯形，ZB=45°,AE=AD=1,

，BE=AE=1,

/.BC=3AE=3,

，S梯形ABCD=1(AD+BC)•AE=1(1+3)Xl=2.

22

故选D.

练2.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,AC与BD相交于点0,则下列判断不正确的是

A.AABC^ADCBB.AAOD^ACOBC.AABO^ADCO3.AADB^ADAC

【解析】由等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,可得NABC=NDCB,ZBAD=ZCDA,易证得AABC丝ZXDCB,

△ADB^ADAC；继而可证得NABO=NDC(),则可证得△ABOgZ\DCO.

解：A、•・•等腰梯形ABCD中,AD/7BC,AB=DC,

ZABC=ZDCB,

在aABC和4DCB中，

'AB=DC

<NABC=NDCB，

BC=CB

/.△ABC^ADCB(SAS)：故正确；

的性质，本题关键是在△BCD中，找出BC与CD的关系.

练3・如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则

四边形EFGH的周长是（）

【解析】首先连接AC,BD,由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH,FG,EF,

GH是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案.

解：连接AC,BD,

•・•等腰梯形ABCD的对角线长为13,

AAC=BD=13,

•・•点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

:.EH=GF=1BD=6.5,EF=GH=1c=6.5,

22

・•・四边形EFGII的周长是：EIHEFiFGiGF=26.

故选：B.

【例3】（2014•韶关第一中学期中）如图，已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三

角形和一个以BC为底的等腰三角形.若梯形上底为5,则连接ADBC两腰中点的线段的长

【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质和三角形中位线性质

进而得出四边形AEFD是平行四边形，进而求出EF的长.

解：解：连接△DBC两腰中点的线段EF,AE,

由题意可得出：AD〃BC,

OEF是△DBC的中位线,

.*.EFX-IBC

2

・・・AD〃BC,

VBD=CD,

/.ZDBC=ZDCB,

则NDEF=NDFE,

VAD/7EF,

AZADE=ZDEF,

VBE=DE,ZBAD=90°,

AAE=DE=BE,

AZEAD=ZADE,

/.ZAED=ZFDE,

AAE/7DF,

•・・四边形AEFD是平行四边形,

/.AD=EF=5.

练4.如图，NA()B=45°,过射线()A上到点()的距离分别为1,3,5,7,9,11,…的点作()A的垂

线与0B相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S”S2,S3,S.,观察图中

的规律，第n(n为正整数)个黑色梯形的面积是S产.

【解析】由NA0B=45°及题意可得出图中的三角形都为等腰直角三角形，旦黑色梯形的高都是2；

根据等腰直角三角形的性质，分别表示出黑色梯形的上下底，找出第n个黑色梯形的上下

底，利用梯形的面积公式即可表示出第n个黑色梯形的面积.

解：VZA0B=45°,

・••图形中三角形都是等腰直角三角形，

从图中可以看出，黑色梯形的高都是2,

第一个黑色梯形的上底为：1,下底为：3,

第2个黑色梯形的上底为：5=1+4,下底为：7=1+4+2,

第3个黑色梯形的上底为：9=1+2X4,下底为：11=1+2X4+2,

则第n个黑色梯形的上底为：1+(n-1)X4,下底为：1+5-1)X4+2,

故第n个黑色梯形的面积为：1X2X[1+(n-1)X4+1+(n-1)X4+2]=8n-4.

2

故答案为：8n-4.

练5.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,ZA=120°,AD=2,BD平分NABC,则梯形

ABCD的周长是.

【解析】根据题意得出AB=AD,进而得出BD的长，再利用在直角三角形中3（）。所对的边等于斜边的

一半，进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长，即可得出梯形ABCD的周长.

解：过点A作AE_LBD于点E,

VADZ/BC,ZA=120°,

AZABC=60°,ZADB=ZDBC,

〈BD平分/ABC,

AZABD=ZDBC=30",

/.ZABE=ZADE=30°,

AAB=AD,

.*.AE=1AD=I,

2

,DE二道，则BD=2立，

VZC=90°,ZDBC=30°,

・・・DC=』D=孤

2

JBC=7BD2-CD2=7（2V3）2-（V3）2=3，

・•・梯形ABCD的周长是：AB+AD+CD+BC=2+2+“+3=7+立.

故答案为：7+V3.

4.等腰梯形的性质；平行四边形的判定.

【例4】（2014•锦州一中期末）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD/7BC,连结AC、BD.在平面内将

△DBC沿BC翻折得到△EBC.

（1）四边形ABEC一定是什么四边形？

（2）证明你在（1）中所得出的结论.

【解析】（1）首先观察图形，然后由题意可得四边形ABEC一定是平行四边形；

（2）由四边形ABCD为等腰梯形，AD〃BC,可得AB二DC,AC=BD,又由在平面内将aDBC沿

BC翻折得到△EBC,可得EC=DC,DB=BE,继而可得：EC=AB,BE=AC,则可证得四边形

ABEC是平行四边形.

(1)解：四边形ABEC一定是平行四边形：

(2)证明：•・•四边形ABCD为等腰梯形，AD〃BC,

AAB=DC,AC=BD,

由折叠的性质可得：EC二DC,DB=BE,

AEC=AB,BE=AC,

・•・西边形ABEC是平行四边形.

练6.如下图，在等腰梯形ABCD中,AB/7CD,ZD=45°,AB=1,CD=3,BE〃AD交CD于E,则△BCE

的周长1为.

【解析】首先根据等腰梯形的性质可得ND=NC=45°,进而得到NEBC=90°,然后证明四边形ABED

是平行四边形，可得AB=DE=1,再得EC=2,然后再根据勾股定理可得BE长，进而得到4BCE

的周长.

解：•・•梯形AK1)是等腰梯形，

・・・ND=NC=450,

VEB/7AD,

/.ZBEC=45°,

AZEBC=90°,

VAB/7CD,BE〃AD,

・•・四边形ABED是平行四边形，

，AB=DE=1,

VCD=3,

.\EC=3-1=2,

VEB2+CB2=EC\

JEB二BC二亚，

•••△BCE的周长为：2+2的,

故答案为：2+2加.

5.等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

【例5】(2014秋•张家港市校级期末统考)如图，在等腰梯形ABCD中，AB〃DC,线段AG,BG分别

交CD于点E,F,DE=CF.

求证：AGAB是等腰三角形.

【解析】由题意得，在等腰梯形ABCD中，AB〃DC,DE=CF,利用SAS,易证得4ADEg△BCF,可得

NDAE=NCBF,则可得NGAB=/(；BA,然后由等角对等边，证得：ZXGAB是等腰三角形.

证明：•・•在等腰梯形中ABCD中，AD二BC,

AZD=ZC,ZDAB=ZCBA,

在AADE和4BCF中，

rAD=BC

«ZD=ZC»

DE=CF

AAADE^ABCF(SAS),

AZDAE=ZCBF,

:.ZGAB=ZGBA,

・・・GA=GB,

即aGAB为等腰三角形.

练7.如图,在梯形ABCD中,AD/7BC,AB=CD,分别以AB,CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边

三角形DCF,连接AF,DE.

(1)求证：AF=DE；

(2)若NBAD=45°,AB=a,ZXABE和aDCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长.

【解析】(1)根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明4AEDg4DFA

即可；

(2)如图作BH_LAD,CK_LAD,利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长.

(1)证明：在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,

・・・NBAD=NCDA,

而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中,

AB=AE,DC=DF,且NBAE=NCDF=60°,

JAE二DF,NEAD;NFDA,AD=DA,

AAAED^ADFA(SAS),

，AF=DE；

(2)解：如图作BH_LAD,CK1AD,则有BOHK,

VZBAD=45°，

/.ZHAB=ZKDC=45°，

JAB二二亚AH,

同理：CD=V2CK=V3<D,

(AD+BC)・HB

VS梯形ABCD=AB=a,

2

AS梯形ABCD二噜“；弯产C

而SAABE=SADCF=^\

4

••・书事与

・・・BC=泥一立a.

1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）

A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点0,AC=8,BD=6,则菱形的边长AB等于（）

3.如图，矩形ABCD中，AB=8：BC=4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上.若

四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）

4.菱形ABCD的对角线AC=6cm,BDMcm,以AC为边作正方形ACEF,则BF长为.

5.已知:如图，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,点P是腰DC上的一个动点（P与知C不重合）,

点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点.

（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；

（2）若NA=120°,AD=2,DC=4,当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明.

6.如图，在等腰梯形ABCD中,ZBCD=60°,AD/7BC,且AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,

且DE=CF,AF、BE于点P.

(1)求证：AF=BE；

(2)请你猜测NBPF的度数，并证明你的结论.

S3家庭作亚)

1.如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的Nl=

2.CD=3,贝ijAB二

3.如图，等腰梯形ABCD,AD〃BC,BD平分NABC,ZA=120°.若梯形的周长为10,则AD的长

为.

4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,AC±BD.若AD=4,BC=6,则梯形ABCD的面积

是

D

o

B

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,若AD=2,BC=8,梯形的高是3,则NB的度数是

AD

BC

6.如图，五边形ABCDE中,AB1BC,AE/7CD,ZA=ZE=120°,AB=CD=1,AE=2,则五边形ABCDE的

7.如图①,在等腰梯形ABCD中,AB/7CD,E、F是边AB上的两点，且AE=BF,DE与CF相交于梯形

ABDC内一点0.

(1)求证:0E=0F；

(2)如图②，当EF二CD时,请你连接DF、CE,判断四边形DCEF是什么样的四边形，并证明你的结

论.

8.如图，在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,CE〃DA,已知AB=8,DC=5,DA=6,求4CEB的周长.

9.如图，梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,ZB=60°,AD=10,BC=18,求梯形ABCD的周长.

10.如图梯形ABCD中，中〃BC,AB=AD=CD,BD1CD,求NC的度数.

11.如图所示，己知等腰梯形ABCD中，AD/7BC,AB=CD,点E为梯形外一点，且AE=DE.

参考答案:

当堂检测

1.

【考点】等腰梯形的性质.

【分析】过点A作AE/7CD,交BC于点E,可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性

质及平行线的性质得出/AEB=NBCD=60°,由三角形外角的定义求出NEAC的度数，故可

得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出4ABE是等边三角形，由此可得

出结论.

解：过点A作AE〃CD,交BC于点E,

•・•梯形ABCD是等腰梯形，ZB=60°,

AAD//BC,

••・四边形ADCE是平行四边形，

AZAEB=ZBCD=60°,

•・・CA平分/BCD,

，NACE=J：NBCD=30°,

2

••,NAEB是AACE的外角，

.\ZAEB=ZACE+ZEAC,即60°=30°+ZEAC,

/.ZEAC=30°，

AAE=CE=3,

•・・四边形ADEC是菱形，

「△ABE中，ZB=ZAEB=60°,

•••△ABE是等边三角形，

AAB=BE=AE=3,

，梯形ABCD的周长=AB+(BE+CE)+CD+AD=3+3+3+3+3=15.

故选:D.

【考点】等腰梯形的性质.

【分析】先根据等腰三角形的性质得出/DAB+NABC=180°,AD〃BC,故可得出NDAP二NACB,

ZADB=ZABD,再由AB=AD=DC可知NABD=NADB,ZDAP=ZACD,所以NDAP=NAB)=NDBC,

再根据NBAC=NCDB=90°可知，3NABD=90°,故/ABD=30°,再由直角三角形的性质求出

NDPC的度数，进而得出结论.

解：•・•梯形ABC1)是等腰梯形，

/.ZDAB+ZABC=180°,AD〃BC,

.\ZDAP=ZACB,ZADB=ZABD,

VAB=AD=DC,

AZABD=ZADB,ZDAP=ZACD,

JNDAP二NABD二NDBC,

VZBAC=ZCDB=90°,

.\3ZABD=90°,

AZABD=30°,

在AABP中，

VZABD=30°,ZBAC=90°,

••・NAPB=60°,

・・・NDPC=60°,

cosZDPC=cos60°=—.

2

故选：A.

3.

【考点】等腰梯形的性质.

【分析】首先作辅助线：过点A作AE〃CI）交BC于点E,根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD是

平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE二CD=AB=20,AD=EC,易得aABE是等

边三角形，即可求得AD的长.

解：过点A作AE〃CD交BC于点E,

・•・四边形AECD是平行四边形，

AAE=CD=AB=20,AD=EC,

VZB=60°,

.\BE=AB=AE=20,

AAD=BC-CE=50-20=30.

故答案为：30

4.

【考点】等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质.

【分析】过A作AE/7DC交BC于E,得出等边三角形ABE和平行四边形ADCE,推出AB=AD=DC=BE=CE,

过A作AE〃DC交BC于E,

VAD/7BC,

・•.四边形ADCE是平行四边形,

AAD=EC=DC,AE=DC,

VAB=CD,

.\AB=AE,

「•△ABE是等边三角形，

.\BE=AB=AE=DC=AD=CE,

TBC=12,

AAB=AD=DC=6,

工梯形ABCD的周长是AD+DC+BC+AB=6+6+l2+6=30,

故答案为：30.

5.

【考点】等腰梯形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定.

【分析】根据中点的条件，可以利用.三角形的中位线定理证明四边形EFPG的两组对边分别平行,

得出这个四边形是平行四边形；

在平行四边形的基础上要说明四边形是矩形，只要再说明一个角是直角就可以.

解：（1）四边形EFPG是平行四边形.

理由：•.•点E,F分别是BC.PC的中点，

同理可证EG〃PC.

••・四边形EFPG是平行四边形.

（2）当PC=3时，四边形EFPG是矩形.

证明：延长BA、CD交于点M.

VAD/7BC,/\B=CD,ZBAD=120°,

AZABC=ZC=60°.

AZM=60°,

・•・△BCM是等边二角形.（7分）

VZMAD=180°-120°=60°,

AAD=DM=2.

ACM=DM+CD=2+4=6.（8分）

•・・PC=3,

，MP=3,

/.MP=PC,

ABP±CM即NBPC=90度.

由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形，

・••四边形EFPG是矩形.

6.

【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】由ASA可证△BAEgz\ADF,继而得证，并得出NBPF=NABE+NBAP=/BAE,结合题意，可得

ZBPF=120°.

（1）证明：•・•四边形ABCD是等腰梯形，

AAB=DC,

又TAD=DC,

・・・BA=AD（等量代换）,

又・・・NBAE:NADF（等腰梯形的性质），

VAD=DC,DE=CF,

/.AD+DE=DC+CF,

AAE=DF（等量代换），

在Z\BAE和Z\ADF中，

'AERF

<NBAE=NADF，

BA=AD

AABAE^AADF（SAS）,

ABE=AF（对应边相等）；

（2）解：猜想NBPF=120°.

•・•由（1）知△BAEgZXADF（已证），

AZABE=ZDAF（对应角相等）.

・•・ZBPF=ZABE+ZBAP=ZBAP+ZEAF=ZBAE（等量代换）.

VADZ/BC,ZDCB=ZABC=600（已知），

.\ZBPF=ZBAE=180°-60°=120°（等量代换）.

家庭作业

1.

【考点】等腰梯形的性质；多边形内角与外角.

【分析】首先求得正八边形的内角的度数，则N1的度数是正八边形的度数的一半.

解：正八边形的内角和是：（8-2）X1800=1080°,

则正八边形的内角是：1080+8=135°,

则N1=」X135°=67.5°.

2

故答案是:67.5°.

2.

【考点】等腰梯形的性质.

【分析】根据等腰梯形的性质可得出AD=BC,再由BO4,CD=3,得出AB的长.

解：•・•四边形ABCD为等腰梯形，

AAD=BC,

VBC=4,

AAD=4,

VCD=3,等腰梯形ABCD的周长为16,

AAB=16-3-4-4=5,

故答案为：5.

3.

【考点】等腰梯形的性质.

【分析】由等腰梯形ABCD,AD//BC,BD平分NABC,易求得△,人口）是等腰三角形，继而可得AB=AD=CD,

又由NA=120°,△BCDD的是直角三角形，即可得3c=2CD,继而求得答案.

解：VAD#BC,BD平分NABC

AZABD=ZCBD,ZADB=ZCBD,

JNABD;NADB,

AAD=AB,

VZA=120°,

/.ZABD=ZCBD=30°,

•••梯形ABCD是等腰梯形，

JNONABC=60°,AB=CD,

AZBDC=180°-ZCBD-ZC=90°,AB=CD=AD,

••・BC=2CD=2AD,

•・•梯形的周长为10,

/.AB+BC+CD+AD=10,

即5AD=10,

AAD=2.

故答案为：2.

4.

【考点】等腰梯形的性质；等腰三角形的性质.

【分析】首先过点I）作DE〃AC,交BC的延长线于点E,可得四边形ACEI）是平行四边形，又因为在

等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,AC±BD,可得ABDE是等腰直角三角形，继而求得答

案.

解：过点D作DE〃AC,交BC的延长线于点E,

VAD//BC,

・•・四边形ACED是平行四边形，

/.AC=DE,CE=AD=4,

ABE=BC+CE=6+4=10,

V/\C±BD,

ADEXBD,

•・•四边形ABCD是等腰梯形,

AAC=BD,

.\BD=DE,

・•・BD二DE二罩二5亚，

V2

**•S梯形ABCIF—XACXBD-25.

2

【考点】等腰梯形的性质.

【分析】首先过点A作AE1BC交BC于E,过点I）作DFXBC交BC于F,易得四边形AEFD是长方形,

易证得AABE是等腰直角三角形，即可得NB的度数.

解：过点A作AE_LBC交BC于E,过点D作DF_LBC交BC于F,

VAD/7BC,

・•・四边形AEFD是长方形，

.\EF=AD=2,

•・•四边形ABCD是等腰梯形，

,\BE=（8-2）4-2=3,

•・•梯形的高是3,

•••△ABE是等腰直角三角形，

/.ZB=45°.

故答案为:450.

AD

BE尸c

6.

【考点】等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【分析】延长DC,AB交于点F,作AG〃DE交DF于点G,四边形AFDE是等腰梯形，且/F=/D=60°,

△AFG是等边三角形.四边形AGDE是平行四边形，求得等腰梯形AFDE的面积和ABCF的面

积，二者的差就是所求五边形的面积.

解：延长DC,AB交于点F,作AG〃DE交DF于点G.

VAE//CD,ZA=ZE=12O0,

・•・四边形AFDE是等腰梯形，且NF=ND=60°,ZXAFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形.

设BF=x,

•••在直角ABCF中，ZBCF=90°-ZF=30°

FC=2x,

:.FD=2x-1.

•・•平行四边形AGDE中，DG=AE=2,

FG=2x-1,

:△AFG是等边三角形中，AF=FG,

/.x+l=2x-1,

解得：x=2.

在直角4BCF中,BC=BF・tanF=2无，

贝ijSAM广/F・BC="|x2X2V5=2%.

作AH_LDF于点H.

则AH二AF・sinF二3XI二四1,

22

则S梯形AFT产1(AE+DF)・AH=1X(2+5)

2224

，S五切形ABOHFS出形AIDE-SABCf^21^^-2止咨

44

故答案为：空后.

4

7.

【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定.

【分析】(1)由等腰梯形的性质得AD=BC,ZA=ZB,因为AE=BF,根据SAS判定△ADEgZ\BCF,从

而得到NCEA二N