北师大版数学高二数列的综合应用

第八单元第五节

一、选择题

1.（精选考题•临沂模拟）在各项是正数的等比数列｛知｝中,。2，%3，0成等差数列，则”"

乙。3十

的值为（）

•2u・2

「if0木-1木+1

【解析】由。2,/，成等差数列，得43=〃2+41,即夕一夕一1=0,・"=岭&

.出+。5]+小

又4M工田十二二行2-

【答案】B

2.已知一9,41，色，S，—1成等比数列，一9,b\,岳，—1成等差数列，则。2（也一

岳）等于（）

9

A.GB.8C.—8D.±8

-O

【解析】由题意得久2=9,Vfl<0,:8

2-

义・・・3（左一仇）=（一1）一（一9）,:.bi—b\-3,

•0-42sl_岳）=（_3）（—=8.

【答案】B

3.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则一»一的最小

值是（）

A.0B.1C.2D.4

【解析】VnJ-/?=.r+y,cd=xy,

.（«+/?）2（x+4V+V+ZD、4xy

••J==三=4,

cdxy或yxy

当且仅当x=y时取“=”，选D.

【答案】D

4.在等比数列｛%｝中,0=2,前〃项和为S”若数列｛为+1｝也是等比数列,则S”等

于（）

A.2n+l-2B.3〃C.2〃D.3"-1

【解析】:数列（以｝为等比数列，则斯=2叱.

•・•数列｛斯+1｝也是等比数列，

，（m+1+1）2=3”+1）（。〃+2+1）,

••/+2。“+1-a”a“-2+4”+2,••。”+。》+2—2。”+],

.•・a”（l+q2—2g）=0,解得g=l,即斯=2.

:.S〃=2〃.

【答案】C

5.（精选考题・抚顺模拟汜知数列｛小｝满足MH+@I=2斯，〃22,点0是平面上不在

/上的任意一点，/上有不重合的三点A、B、C,又知S而+硝009氏=为，则$2010=（）

A.1（X）4B.2010C.2009D.1005

【解析】:小B、。三点共线，42—+〃2(X)9沆=仍，・・・。2+他009=1,•••斯+|+为-1

f/l+*l(l6/2+2(ll，1>

=2斯，，数列｛m｝是等差数列，AS2oio=^"X2OlO=^X2OlO=1005.

【答案】D

6.一个三角形三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的

公差等于()

A.0B.y^端D.：

【解析】VAxB、。成等差数列，a,b.d成等比数列，则f=ac,cosB

M+N-b2,1

=》可推出a=c="

【答案】A

7.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊

重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的重量恰能构成一个等差数列，则这群羊

共有()

A.6只B.5只C.8只D.7只

【解析】设“1=7,，Z>0,5„-i=65-10=55,

・・(〃-1)0十a=55,

即7(〃-1)4c—

,(n—2)d

(n-1)74-9=55,

7」(〃_2)d

V55=11X5JL(n-l)eZ,/十2GZ.

n-1=5,

n—2//=6.

7+^-d=ll,

【答案】A

二、填空题

8.己知数列｛a”｝中，。1=1,〃”+|=2%斯(〃£1<),则a“=.

【解析】,.,〃〃+1=2%，•谭=2,.=22,崇=23,…，产-=2"，上述各式相乘得,

ci\02C13a,,-\

—X22X-2门=2誓]52迪尹.

CI]22

【答案】2七一2

9.(精选考题,南京二模)已知数列1小｝满足3=2,%+|=杼(〃£1\1"),则连乘积

I4〃

0•。2刈3・…00942010的值为.

1-1]+1

,物太彳丫上防治4产1+2-1+(-3)2____1—L_____1—

【解析】由题意可向42—.c——3,。3-.(2\——r，C14—1—々，U5-1—

L21-(-3)2..13.1

I十213

2=0,

・•・数列｛如｝是以4为周期，且0424344=1,

古攵67|-«2-«3-，，，-«2009^2010=«2009-«2010=^1-«2=2X(­3)=-6.

【答案】一6

10.如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是

由如图乙的一连串直角三角形深化而成的，其中OA1=A|A2=AM3=-=A7A8=1，如果把

图乙中的直角三角形继续作下去,记04,OA2,…，…的长度构成数列｛&｝,则此数

列的通项公式为小=.

【解析】OAi=AI/12=1,则0A2=血,

【答案】于

三、解答题

11.若｛6｝是公差4工0的等差数列，2”｝是公比乡彳1的等比数列，已知m=6=1,且

。2=82，。6=83.

(1)分别求出公差d和公比q；

(2)是否存在常数小b,使对于一切〃£N”,都有斯=lo&6+人成立，若存在则求出小

b,若不存在则说明理由.

ai+d=b、q,l+d=%

【解析】(1)依题意.即，

a\+5d=b、q-,1+5d=。

d=3,

g#l,，

4=4.

nlni

（2）由①知,。”=1+（。-1）3=3〃-2,bn=q~=4'f

an—\ogabnIbt

:.3〃-2=log«4n-1+/»=（/：—1）log^+b.

令〃=1,得l=h;令〃=2,得4=唾乂+〃，

・一=总

・•

b=T.

Vlog^-14-1=^~p+।=3«-2,对一切〃£N*成立，

3

・,.存在a=4；,b=1,使等式a”=log〃瓦+〃对--切〃UN,成立.

12.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产

业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少去本年度当地旅游业收入

估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年

增加小

(1)设〃年内(本年度为第一年)总投入为斯万元，旅游业总收入为仇万元，写出防，hn

的表达式；

（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

【解析】（1）第1年投入800万元，第2年投入800X（l—§万元，…，第〃年投入

800义（1-］〉一।万元，所以总》殳入斯=800+800（1一号+…+800（1—§"一।=400（）［1-（

同理，第1年收入400万元，第2年收入400X0+；）万元，…，第〃年收入400x（1+；）

门万元.

乩=400+