【初中 数学】整数指数幂（第1课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

18.4整数指数幂（第1课时）数学人教版八年级上册

下图是幂的符号演变史，从3世纪的丢番图到1637年笛卡儿的表示方法，你们有什么感受？思考思考1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成，，，…，所以我将，，，…写成，，，…．”

请你思考牛顿的设想是否合理？如果的m可以是负整数，那么负整数指数幂表示什么？问题1解：方法一（约分）请你分别从“约分”和“同底数幂的除法”这两个角度思考，尝试计算．．①当a≠0时，有问题1请你分别从“约分”和“同底数幂的除法”这两个角度思考，尝试计算．

解：方法二（同底数幂的除法）

对于（a≠0，m，n为正整数，并且m＞n）,忽略m＞n的条件，假设性质仍然适用，则有②．．①你们能想到什么？新知数学中规定：一般地，当n是正整数时，

（a≠0）．注意：1．

（n为正整数，a≠0）这是合理规定，不是证明出来的；3．引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数．2．

（a≠0）是

的倒数；问题2（1）

，

即

；举例说明：引入负整数指数和

0指数后，正整数指数幂的运算性质

（m，n是正整数）能否推广到

m，n是任意整数的情形？

选取

m，n分别是一正一负、两负、一零一负三种情况分别进行验证．问题2引入负整数指数和

0指数后，正整数指数幂的运算性质

（m，n是正整数）能否推广到

m，n是任意整数的情形？

举例说明：（2）

，

即

；问题2引入负整数指数和

0指数后，正整数指数幂的运算性质

（m，n是正整数）能否推广到

m，n是任意整数的情形？

举例说明：（3）

，即．新知一般地，这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．（3）

（a≠0，m，n是正整数，m＞n）（4）

（n是正整数）（1）

（m，n是正整数）

（2）

（n是正整数）类似地，请你继续探索其他正整数指数幂的运算性质，思考这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．

问题2（1）

（m，n是正整数）

归纳随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂．（4）

（a≠0，m，n是正整数，m＞n）（5）

（n是正整数）（2）

（m，n是正整数）

（3）

（n是正整数）是否能转化为同底数幂乘法？请你观察以下两个式子：和

，想一想，同底数幂的除法是否可以转化为同底数幂的乘法？

因此，，

分析：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，

，

，

即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法．问题2（1）

（m，n是正整数）

归纳随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂．（4）

（a≠0，m，n是正整数，m＞n）（5）

（n是正整数）（2）

（m，n是正整数）

（3）

（n是正整数）是否能转化为积的乘方？同样的道理，请你观察以下两个式子：和，想一想，商的乘方能否转化为积的乘方呢？问题2

分析：，所以

，即商的乘方

可以转化为积的乘方

．（2）

（m，n是整数）；

整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）

（m，n是整数）；

（3）

（n是整数）．新知

（3）

；

（4）．

例

计算：

（1）

；

（2）

；

解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）．

例

计算：

（1）

；

（2）

；

解：（3）

；

（4）

．注意整数指数幂的运算结果可以是只含正整数指数幂的式子，也可以是含负整数指数幂的式子，但不要写成既有负整数指数幂又有分母的式子．

1．填空：（1）

，

；（2）

，

；（3）

，

．111

2．计算：（1）；（2）．