【初中 数学】用提公因式法分解因式课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十七章因式分解17.1用提公因式法分解因式第1课时提公因式法(1)

知识关联探究与应用 课堂小结与检测知识关联1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=

；

(2)(a+b)(a-b)=

；(3)(a+b)2=

.ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b22.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=()()(2)a2-b2=()()

(3)a2+2ab+b2=()2ma+b+ca+ba-ba+b都是多项式化为几个整式的积的形式比一比，这些式子有什么共同点？等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积

【探究1】因式分解的概念【尝试交流】问题1:请把下列多项式写成整式的乘积的形式探究与应用

根据整式的乘法，可以得到(1)x2+x=()()(2)x2-1=()()

(3)x2+2x+1=()2xx+1x+1x-1x+1定义：

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【概括新知】

【探究1】因式分解的概念因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即pa+pb+pc

p(a+b+c).探究与应用

【尝试交流】问题2:

整式乘法与因式分解有什么关系?方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．因式分解整式的乘法

【探究1】理解应用探究与应用在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有

，不是的，请说明为什么？

①

②

③④

⑤

⑥

③⑥例：am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x

·8xyx2-1=(x+1)(x-1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+)2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算因式分解的对象不是多项式，是整式乘法每个因式必须是整式

【理解应用】

练习下列由左边到右边的式子变形哪些是因式分解?哪些不是?为什么?(1)2x2+4=2(x2+2);

(2)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2;(3)m(x+y)=mx+my;

(4)(x-y)2=x2-2xy+y2;(5)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;答案:(1)是.(2)(3)(4)(5)都不是，因为因式分解的结果必须是几个整式的积的形式探究与应用

【探究2】

运用提公因式法分解因式

【思考交流】探究与应用pa+pb+pc多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.相同因式p问题1

观察下列多项式，它们有什么共同特点？x2＋x相同因式x探究与应用

【探究2】

运用提公因式法分解因式问题2:请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式.

(a+b+c)pa+pb+pcp=

x2＋x=(x+1)x一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

【概括新知】探究与应用例2

下列各多项式的公因式是什么？3am2(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)

m2+3m2

n-4m3

【理解应用】

【理解应用】

例3分解因式:(1)mx2+my2;(2)3x2-4xy2+x;

(3)ax-ay;(4)a2+2ab;(5)a2+ab;(6)xy-y2+yz.探究与应用答案:(1)mx2+my2=m(x2+y2)

=a(a+b)

=y(x-y+z)(2)3x2-4xy2+x=x•3x-x•4y2+x•1

=x(3x-4y2+1)

=a(x-y)

=a(a+2b)

探究与应用

拓展提升例4利用因式分解计算:(1)1.992+1.99×0.01;(2)49×20.25+52×20.25-20.25;(3)5×34+4×34+9×32解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01)

=3.98(2)原式=20.25×(49+52-1)

=20.25×100

=2025(3)原式=5×34+4×34+32×32

=5×34+4×34+34

=34×(5+4+1)=34×10=

810

【探究2】

运用提公因式法分解因式例5利用提公因式法计算:0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69.【探究2】有理数的概念及分类探究与应用

【拓展提升】

解：

原式=8.69×(0.582+1.236+2.478+5.704)

=8.69×10

=86.9

【小结】课堂小结与检测提公因式法因式分解整式乘法几个整式相乘一个多项式pa+pb+pc=p（a+b+c）

【检测】课堂小结与检测1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是(

)A．6a3b＝3a2·2abB．(x＋2)(x－2)＝x2－4C．2x2＋4x－3＝2x(x＋2)－3D．ax－ay＝a(x－y)D

【

检测】2.把a2-2a分解因式,结果正确的是 ()A.a(a-2) B.a(a+2)C.a(a2-2) D.a(2-a)A课堂小结与检测

【

检测】3.分解因式:(1)ma-mc+3m;(2)x+4xy;(3)pa-an-aq.答案:(1)m(a-c+3)

(2)x(1+4y)

(3)a(p-n-q)课堂小结与检测

【

检测】4.简便计算:(1)0.992+0.99×0.01;(2)(-2)101+(-2)100.课堂小结与检测(2)原式=(-2)100×(-2+1)=2100×(-1)=-2100.解：(1)原式=0.99×(0.99+0.01)=0.99；第十七章因式分解17.1用提公因式法分解因式第2课时提公因式法(2)

知识关联探究与应用 课堂小结与检测请同学们回忆单项式乘多项式的运算法则并完成下面的题目:2.下列计算正确的是 ()A.(6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2yB.(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1C.(-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2yD.（

an+1-b）·2ab=an+2b-ab21.计算-3x2(4x-3)的结果为 ()A.-12x3+9x2B.-12x3-9x2C.-12x2+9x2 D.-12x2-9x2A知识关联D探究与应用

【探究1】

公因式含有多个字母或因式的因式分解

找3x2–6xy

的公因式.系数：最大公因数3字母：相同的字母x

所以公因式是3x指数：相同字母的最低次数1问题

如何确定一个多项式的公因式？

【探究】公因式含有多个字母或因式的因式分解

【尝试交流】

试一试:把下列各式分解因式:探究与应用(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2-a3(4)9m2n-6mn

(5)-6x2

y-8xy2

解：(1)原式=3（x+2y）(2)原式=a（b-2c）(3)原式=a2（1-a）(4)原式=3mn（3m-2）(5)原式=-2xy（3x+4y）

【理解应用】探究与应用(1)8a3b2+12ab3c；例1

把下列各式分解因式.解：（1）

8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)；如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.

【探究2】公因式为多项式

【尝试交流】

试一试:找出下列各式公因式:探究与应用(1)3（x+y）-6（x+y）(2)4(m+n)2+2(m+n)(3)7(2a2-1)+(1-2a2)(4)2a（c+b)-c-b

解：(1)x+y(4)c+b(2)2(m+n)(3)2a2-1

(5)8(m-n)3-2(n-m)2.(5)2(m-n)2归纳总结:确定公因式的“四看”:(1)看系数;(2)看字母;(3)看相同字母的指数;(4)看整体，即提相同的多项式.

【理解应用】探究与应用例2

把下列各式分解因式.(1)2a(b+c)-3(b+c).解（1）

2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).

(2)4(a-b)3+8(b-a)2.解（2）

4(a-b)3+8(b-a)2=4(a-b)3+8(a-b)2=4(a-b)2(a-b+2)提公因式法分解因式的注意点:(1)当多项式的某项恰好是公因式本身时，提取该项之后应保留其系数1；(2)提取公因式后，若另一因式化简后又有公因式，应再次提取；(3)可用单项式乘多项式的法则检验结果是否正确．

【理解应用】【变式】(1)多项式-6xyz+3xy2-9x3y各项的公因式为 ()A.-3x

B.3xz

C.3yz

D.-3xyD(3)若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=

.

4探究与应用(2)多项式a-b+c(a-b)分解因式的结果是 ()A.(a-b)(c+1) B.(b-a)(c+1)C.(a-b)(c-1) D.(b-a)(c-1)

(4)分解因式:(x+2)x-x-2=

.

A

(x+2)(x-1)

【变式】(5)分解因式:①(2x-3y)(3x-2y)+(2y-3x)(2x+3y);探究与应用

【理解应用】②m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x).解:①原式=(2x-3y)(3x-2y)-(3x-2y)(2x+3y)=(3x-2y)[(2x-3y)-(2x+3y)]=(3x-2y)[2x-3y-2x-3y]=-6y(3x-2y)②原式=m(a-x)(x-b)+mn(a-x)（x-b）=m(a-x)(x-b)(1+n)例3先分解因式，再求值:(1)x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)，其中a=3、x=2、y=4;(2)-ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2，其中a=3、b=2、c=1.答案:(1)原式=(a-x)(a-y)(x-y)

当a=3、x=2、y=4时

原式=2探究与应用

【理解应用】

(2)原式=-a(a-b)2(b-1+c)

当a=3、b=2、c=1时原式=-6

1.已知ab=2，a-4b=-5，求a2b-4ab2+ab的值.2.设n为奇数，求证：n2除以8的余数为1.【探究2】有理数的概念及分类探究与应用

【拓展提升】

解：1.原式=ab(a-4b+1)把ab=2，a-4b=-5代入得

2×（-5+1）=2×（-4）=-8解：2.设奇数

n=2k+1(k为整数)，