2026高考数学涨分秘籍：第14讲 利用“权方和不等式”快速求最值

第14讲利用“权方和不等式”快速求最值在教学不等式法求最值时，老师们一般讲解配凑均值不等式及变式系列，也会涉及选修4-5的配凑柯西-施瓦兹不等式.实际上，上述方法结构变形复杂，学生不易掌握.本专题提供一种新的不等式法，既好掌握，又可快速求最值，即“权方和不等式”.供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.在教学不等式法求最值时，老师们一般讲解配凑均值不等式及变式系列，也会涉及选修4-5的配凑柯西-施瓦兹不等式.实际上，上述方法结构变形复杂，学生不易掌握.本专题提供一种新的不等式法，既好掌握，又可快速求最值，即“权方和不等式”.供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.知识与方法简介一、四元变量的权方和不等式：已知x，y,a,b∈R+,且m>0,则am+1xm+推论（1）：已知x，y,a,b∈R+,且m=1,则a2x+b推论（2）：已知x，y,a,b∈R+,且m=1则ax+by二、多元变量的权方和不等式：已知ai,bi∈R+,且m>0,则推论（1）：已知ai∈R,bi>0且m=1,则≥当且仅当a推论（2）：已知ai、bi同号且均不为0,则≥当且仅当我们称m为不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.备注：m可以取任意实数，m与m+1符号不同时，不等号的方向有差异；因为高中常涉及到的是m>0，所以本专题只介绍m>0的权方和不等式.题型一已知整式和方程求分式和的最值题型一已知整式和方程求分式和的最值【典例1】（直接用权方和不等式）已知a＞0，b＞0，且则的最小值是．解析：；当，即时，等号成立．【典例2】（构造二元和用权方和不等式）已知x>-1,y>0,且满足x+2y=1，求的最小值.解析：因为x>-1，故x+1>0；=，所以由权方和不等式，可知．能力达标训练1.已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是．解析：当，即，．2.已知a>2b>0,且满足a+b=1，求的最小值.解析：因为a>2b>0，故a-2b>0；=所以由权方和不等式，可知．3.已知a，b，c为正实数,且满足a+b+c=1，求的最小值.解析：由权方和不等式，可知=所以的最小值为9．题型二已知分式和方程，求整式和的最值题型二已知分式和方程，求整式和的最值【典例4】已知a>b>0,且满足，求a+b的最小值.解析：由权方和不等式，可知,所以1,所以a+b，a+b的最小值为．能力达标训练4.已知a>0，b>0,且满足，求a+2b的最小值.解析：由权方和不等式，可知,所以1,所以a+b，a+b的最小值为．题型三求分式和的最值题型三求分式和的最值【典例5】已知x＞1，y＞1，则的最小值是．解析：令，当，即，两个等号同时成立能力达标训练5.已知则的最小值为.解析：，当且仅当时,等号成立.6.已知，则的最小值为.解析：当且仅当时,等号成立.题型四杂合型求最值题型四杂合型求最值【典例6】已知a>b>0,且满足，求的最小值.解析：由权方和不等式，可知.能力达标训练7.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是．解析：∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴，且∴，当且仅当时取“＝”．8.已知正数满足，则的最小值为.解析：，当且仅当，等号成立.9.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是．解析：x+y＝xy可化为，题型五求三角式相关和的最值题型五求三角式相关和的最值【典例7】已知,求的最小值.解析：由权方和不等式，可知==,所以的最小值为．能力达标训练10.已知,求的最小值.解析：由权方和不等式，可知,所以