河南省南阳市2025届高三上学期期终质量评估数学试卷（含解析）

河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则集合的真子集个数为（

）A． B． C． D．3．直线交圆于、两点，则（

）A． B． C．1 D．24．的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．5．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（

）A． B． C． D．6．已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．已知函数，则（

）A．当时，在区间上单调递增B．当时，的图象关于点对称C．若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为D．若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为8．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（

）

A．2 B．C． D．49．下列命题中正确的是（

）A．一组数据，，，，，，，，的分位数为B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为C．在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为D．若随机变量，且，则10．小明在“数学建模活动”课中，取两个三角形模具，把它们的斜边靠在一起，如图所示，三角形模具绕着可以转动.其中斜边，，，则（

）A．当A，B，C，D四点共面时，B．当A，B，C，D四点共面时，设与交于点，则C．当平面平面时，D．当A、B、C、D不共面时，四点A、B、C、D在同一球面上，且此球的体积为11．已知函数，，下列说法正确的是（

）A．函数存在唯一极值点，且B．令，则函数无零点C．若恒成立，则D．若，，则二、填空题12．某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为.13．已知等差数列的前项和为，若，且，，，四点共面（为该平面外一点），则.14．已知双曲线的方程为：，离心率为，过的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且.过点作的角平分线，在角平分线上的投影为点，则的取值范围为.三、解答题15．（1）如图（1），在圆O的内接四边形ABCD中，，，，求四边形ABCD的面积．（2）如图（2），设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为．16．已知抛物线.(1)求抛物线在点处的切线方程；(2)若直线交抛物线于不同于原点的两点，，经研究，下面三个结论等价，请选择其中一个作为条件，证明其他两个成立.①；②直线过定点；③，.17．高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；(2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）18．已知函数.(1)当时，求证：的图象关于点对称；(2)若，，证明：；(3)若，恒有，求实数的取值范围.19．空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量.(1)若平面，，且，求实数的值；(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积；(3)记集合中所有点构成的几何体为.①求的体积的值；②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.参考答案1．B解析：因为，则，可得.所以.故选：B.2．A解析：因为，则，所以，集合的真子集个数为.故选：A.3．D解析：联立解得：，，所以.故选：D4．C解析：因为.的二项展开式的通项公式为.而，所以的系数为为.故选：C.5．B解析：.故选：B.6．C解析：为曲线上任意一点，可设，所以当时，最大.故选：C.7．D解析：对于AB，当时，，当时，，函数在区间上单调递减，，的图象关于不对称，AB错误；对于C，的图象向左平移个单位长度，得，由图象与原图象重合，得，解得，的最小值为，C错误；对于D，当时，，由在区间上恰有两个极值点，三个零点，得，解得，因此实数的最大值为，D正确.故选：D8．B解析：设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，则，由，，所以，所以椭圆方程可化为，由，两式相减得，，则，根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.则，直线的方程为.将代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以双曲线方程可化为，由消去并化简得，设，解得，所以，所以.故选：B9．CD解析：对于A：该组数据已从小到大排序，又，故分位数为第位，即，故A错误；对于B：因为样本点都在直线上，说明是负相关且相关系数为，故B错误；对于C：这名同学物理成绩的平均数为：，所以这名同学物理成绩的方差为：，故C正确；对于D：因为，且，所以，所以，故D正确.故选：CD.10．BCD解析：由，，，可得，，.对于A：，由余弦定理得，错误；对于B：由，得即，解得，正确；对于C：过作于，则为的中点，连接.当面面时，面面，面，则面.而面，则，所以为直角三角形，，正确；对于D：取的中点，则，所以四点A、B、C、D在同一球面上，且球的半径为5，所以，正确.故选：BCD11．ABD解析：对于A：，显然在上单调递增，又，，所以，使得，故A正确；对于B：由A得，，使得，即，，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以恒大于0；所以要研究函数的零点，只需研究函数的零点.由，令，，，当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以，即，即在单调递增，又时，，所以，由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确；对于C：由B得，由恒成立，得在恒成立，所以，即，故错误；对于D：因为在单调递增，又，，则，所以，即，整理得，不等式两边同除以得，，故D正确.故选：ABD.12．/0.6解析：由分层抽样知，所抽取的这5人中有3男2女，所以恰有1个男队长的概率.故答案为：13．解析：因为，所以.因为，，，四点共面，所以，即.所以.故答案为：.14．解析：，，即，∴两渐近线方程为，为右支上一点，.设，，分别令，可得，，又，，即，，∴双曲线方程为，故，，.延长交于点，如图，平分且，，又，，为的中点，，，易知，，，，即的取值范围是.故答案为：.15．（1）如图所示：连接BD，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因为，则，两式相减得，又，所以，所以.（2）如图所示：连接AC，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因为，则，两式相减得：，所以，而，因为，所以，所以，所以，则，，即.16．（1）法一：显然抛物线在处的切线的斜率存在，设其为，则切线方程为，与抛物线联立，得，即，只需，解得，所以切线方程为.法二：要求抛物线在处的切线，则由可得所以在处的切线的斜率，所以切线方程为.（2）因为直线交抛物线于，两点，所以可设直线由，消去可得，所以，，，，，由①②③：因为，所以，即，所以（舍去）.所以直线经过定点，即证②.所以，，即证③.由②①③：因为直线经过定点，则由上面可得，，即证③；所以，所以，即证①.由③①②：因为，，所以，所以，即证①.由上面可得，解得，所以直线经过定点，即证②.17．（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则，所以.即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为；解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人，所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为（2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，所以所有可能的取值为：、、、，，，，.所以的分布列为：.②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以.18．（1）当时，的定义域为.对任意，都有因为恒成立，所以的图象关于点对称；（2）解法一：，当时，是递增函数，因此，，又，所以，在上递减，，因为，所以，从而；解法二：因为，所以，欲证，只需证明记，则因为，，，所以，所以，在上递减，因为，所以，从而；（3）解法一：因为，恒有，所以即，所以.当时，因为，所以，记，则在上递减，在上递增，，所以综上所述的取值范围是.解法二：，，当时，，在上是减函数，当时，，因此不可能恒成立.时，由得，记，，则有两个实根，一根小于1，一根大于1，大于1的根为，知它是关于的减函数，注意到在上是增函数，且，即时，，时，，所以时，，递减，时，，递增，所以，时，，此时，记，在上递减，在上递增，且，因此，，即成立.当时，，，当时，，，所以不恒成立.综上，时，恒成立所以的取值范围是.19．（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量，所以，故.（2）不妨设，在平面内取一点，则向量，取平面的一个法向量，所以点到平面的距离为对于，当时，表示经过，，的平面在第一象限的部分.由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体.法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离，则.所以内切球的表面积为；法2：考虑；即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，，此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积，设内切球的半径为，正八面体的表面积为，所以，解得：.所以内切球的表面积为；（3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的，其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、OB、两两垂直，且.集合所表示的几何图形也关于平面，，对称，其在第一卦限内的部分的图形如图（1），

图1①如图2，就是把图1的几何