常微分方程期末试卷(A)

广西师范大学漓江学院试卷

（2008—2009学年第二学期）

课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系

任课教师：陈迪三年级、专业：07数学考试时间：120分钟

闭卷

开卷口试卷类型：八卷■B卷口

;得分一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

（请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分）.

:评卷人

1、方程加（不,），）心+"（工,丁）力，=0有积分因子〃=1，（），）的充要条件为‘--=。（），）.

MIOxdy）

二

上

郛2、//（x,v）连续是保证对v满足利普希茨条件的充分条件条件.

&物

屈

加

±副

蒯

半

一

、函数组的朗斯基行列式值为一一夕

酸32/'=-6/'.

珈e'e''4/

鼎

志

氏

盘

4、若），=%"）,），=/（x）是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们正（有或无）共同零点.

逐

■•<

氐

函5、若矩阵A具有〃个线性无关的特征向量匕-2,…,心，它们对应的特征值分别为4,4,…4〃，

亘

魅

那么常系数线性方程组x=A式的一个基解矩阵中"）=[**,△'%•••,那，].

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）

得分

（请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分）

二,

评卷人

1、形如虫=P（x）y+e（x）y〃（〃工（）』）的方程是（D）.

dx

A.欧拉方程B.贝塞尔方程C.黎卡尔方程D.伯努力方程

教研室主任（签字）:系主任（签字）:

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2、设〃(x),贝x)连续，y,(x),%。)是)'"+P(x)y+贝幻丁=0在(To，”)上的两个线性无关

解・，且y；(0)=0,}<(())=(),贝ij(A).

(A)p(0)=0,夕(0)=0(B)〃(0)=1,夕(0)=0

(C)p(0)=0,式0)=1(D)p(0)=l,夕(0)=1

3,二阶非齐次线性微分方程的所有解(c).

(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间

(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间

4、如果/(x,y),都在my平面上连续,而且/(x,y)有界，则方程少=/(%,)，)的

dy<Lv

任一解的存在区间(A).

(A)必为(-8,+8)(B)必为((),+8)

(C)必为(-8,0)(D)将因解而定

5、若①(x)是齐次线性方程组包=A(x)y的一个基解矩阵，7为非奇异〃X〃常数矩阵，那么

dx

①(x)r是否还是此方程组的基解矩阵(B).

(A)不是(B)是(C)也许是(D)也许不是

三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分)(求下列微分方程的

得分

通解).

评卷人

得分I、口，V

d.ry+x~y

9r

1、解：将方程变为)Wy=-----dx..........................(2分)

(1+厂)

则有ydy=—^-r/(x2+1).......................(1分)

(1+x)

1,)

从而得/y2=m(]+x2)+c(c为任意的常数)..........................(3分)

2、(x3+)d.r+(x2y+>,3Xly=0；

6MAN

解：由于上「二2盯;三，所以原方程是恰当方程.............................□分）

dydx

32

假设存在〃使得它同时满足方程：—=X+Xy和（1分）

oxcy

«AG

则有〃=一%4+一./）,2+0（、,）且丝二12），+夕（）,），所以夕（）,）=）,3...........Q分）

42dy

^0,）=-/,即原方程的通解为：x4+2x2/+/=c..............（I分）

4'

3、x-2x+2x=ecost；

解：齐次方程的特征方程为矛一24+2=0,=1土i

齐次方程的通解为x=e'(qcosf+Qsinf)....................(2分)

令/-2A+2x=/e(,+oz,并求其特解如下：

由于1+i是单根,故设特解为x=t(At+B)e(l+i),

代入原方程比较系数得A=--.B=~.

44

所以x=—tel[(cosz+sinz)+/(sint-zcos^)].

4

则原方程有特解Re{x}=—/^(cosr+rsinr)..................(3分)

4

故原方程的通解为x=et(ccosr+csin0+—te1(cost+1sint)...............(1分)

i24

4、t2x+3tx+x=0；

解：令方程的解为x=/，代入原方程有k(k-\)+3k+l=0.........(3分)

于是攵=-1（二重）（1分）故原方程的通解为x=q尸+cy-”n|r|（2分）

四、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分）

（写出解题的详细步骤）.

设函数。（X）连续且满足。（x）=e'+/］。（1）力一„。）力，求。（x）.

解：两边关于工求一阶导数，有“*）="—..............（2分）

两边关于x再求一阶导数，得-。（戈）..............（2分）

即。”(戈)+。(1)=/而且。(0)="(0)=1...........(1分)

x

而方程“'(X)+。(尤)=e的解表示为^(x)=qcosx+c2sinx+—...........（3分）

由。(0)="(0)=1,可得O(工)=—cosx+—sinx+—ex（2分）

公

一

力一1

（2）求方程组满足初始条件。（（））=]的解.

-办

大

解：方程组的特征方程为

%—3—1

=（/1-3）2=0,所以特征根为2=3（二重）（2分）

0A-3

对应齐次方程组的基解矩阵cxpA，=/，（/+（A—3石）。=/‘1；...........c分）

满足初始条件的特解。⑺=expAt/j+exp41exp（-As）f（s）ds..........（2分）

.................（3分）

得分五、证明题（本大题共2小题，每小题13分，共26分）

（写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后）.

评卷人

1、假设为（。工0是二阶齐次线性方程++%（，）x=0的解，其中

《（/）和/（/）在区间上连续，试证:

（1）々（/）是方程的解的充要条件为：卬'卜，戈』+。|“芭，X2]=°；

（2）方程的通解可以表示为：X=X\1

4,其中

为常数,.

ilk：(1),x2]+aivt[x],x2]=0

<=>XyX2-x2+。内々一〃内工2=0

<=>x]x2+(7)%]x2+alx}x2+a}x]x2-x2=二0

网(+ax々)=

012\2+40...........................(6分)

<=>x2+axx2+a]x2=0,15w0)

即巧为(*曲解。

(2)因为为,£为方程的解，则由刘维尔公式

ds

2%,MM/。))1/3，即：

X1%2

ax{s)ds

xxx2—xxx2=wpo)e‘°

................................(3

分)

(、

d三

Ix"=♦

~re

两边都乘以」则有：丫

rHt,于是：

X9r1-f”i(s)出

"=0?e'°dt+c2

项,x1

即：/=[cJ—4($)ds|............................(4分)

dt+c2X1

\x\7

号