常微分方程期末试卷及答案

2009——2010学年第二学期

数学专此常微分方程便程试卷(A)

教研组长系主任考试需答题

命题教师考试班级考试日期

审批签字人数纸页数

俱鹏岳04本科班1

题号―•二三四五六七总分

得分

总分教师复核教师

得分评卷教师一、填空题(每空2分,共16分)。

1.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平

面

2.方程组的任何一个解的图象.n+.....维空间中的一条积分

曲线.

3.连续是保证方程初值唯一的充分条件.

4.方程组的奇点的类型是中心

5.方程的通解是

6.变量可分离方程的积分因子是

7.二阶线性齐次微分方程的两个解，成为其基本解组的充耍条件是线性无关

8.方二、选择题(每小题3分，共15分)。

程的9.一阶线性微分方程的积分因子是(A).

基本-Jp(x)dv

评卷教师J；J3

解组(A)//=e(B//=e(C)//=e

是-Jq(x)&

得分(D)4=e」

10.微分方程是(B)

(A)可分离变量方程(B)线性方程

(C)全微分方程(D)贝努利方程

11.方程x(y2—l)dx+y(x2—l)dy=0的所有常数解是(C).

(A)x=±l(B)y=±1

(C)>'=±1,x=±\(D)y=1,x=\

12.阶线性非齐次微分方程的所有解（D）.

（A）构成一个线性空间（B）构成一个〃一1维线性空间

（C）构成一个〃+1维线性空间（D）天能构成一个线性空间

13.方程（D）奇解.

（A）有一个（B）有无数个（C）只有两个（D）无

得分评卷教师三、计算题（每小题8分，共48分）。

14.求方程的通解

解：令，则，于是，

所以原方程的通解为），=」一X?

1+Cr

15.求方程的通解

解:取=f,N（x,y）=y3+]nx

x

则，于是原方程为全微分方程

所以原方程的通解为「2公+『），3力=。

即y]nx+^y4=C

16.求方程的通解

解:令，得到（*）,两端同时关于求导，

整理得，则

*>

Xr*

取2〃一尤=0,得〃=土，代入（*）得解y=—

24

取生一1=0,得〃=x+c,代入（*）得原方程得通解为

dx

v.2

y=—+Cr+Cr2

2

17.求方程的通解

解对应的齐次方程的特征方程为，

特征根为，

3r

故齐次方程的通解为y=G+C2e

因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

y（x）=Ae5'

代入原方程，得

25Ae5x-15Ae5A=e5x

即，

3v5v

故原方程的通解为y=G+C2e+-^e

18.求方程的通解

解：先求解对应的其次方程：，则有，

2x

九2+4—2=0，4=1，4=—2;y=G。'+C2e~

因为数不是特征根，故原方程具有形如

=e'（Acosx+Bsinx）的特解。

将上式代入原方程，由于

y[=e[（4+B）cosx+（8—A）sinx]

）；=ex[2Bcosx-2Asinx]

故y"+丁'-2y=ex[2Bcosx-2Asinx]+ex[（A+B）cosx4-（B-A）sinx

-2e'（Acosx+Bsinx）=e'（cosx-7sinx）

或（38-A）cosx-（B+3A）sinx=cosx-7sinx

比较上述等式两端的为系数，可得

因此，故

x

所求通解为y=e'（2cosx+Isinx）+。[求+C2e

19.求方程组的实基本解组

解：方程组的特征多项式为，其特征根是，那么

属于的特化向量，

属于％的特征向量。2=[.。

则方程的基本解组为，

其实基本解组为①

/•1、T./1、

而①广（。）=\.=~1.

1-1-I211i

因此所求实基本解组为

,

(D(x)=0>I(x)01-(0)

1(小+办0(3-5小、(_j_A<*cos5xey,sin5x、

3/

丸修加_诂(内以1i厂［一/1力工ecos5x>

得分评卷教师四、应用题(每小题11分，共u分)。

20.(1)求函数的拉普拉斯变换

,...»xn—3x'+2.x-2/',,/力

(2)求初值问题《的解

x(0)=0,/(0)=0

解：(1)

(2)设，是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普

拉斯变换，可分别得到

心”—3f+2x]=4犬]—3m+2dx]=X($)p_3s+2]=X(.s)(.y2-3s+2)

=X(s)(s-l)(s-2);

[2川=2曲]=三

2

故有X(s)=H_2)(s—3)

使用部分分式法，可得

由(1)可知，

,2t3f

故所求的初值解为x(t)=e-2e+eo

得分评卷教师五、证明题(每小题10分，共10分)。

21.证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件

的解在上存在。

证：由于

(2y-1)(1+/