抽样方法(一)――简单随机抽样

方法（一）一简洁随机抽样

教学目的：1.理解简洁随机抽样的概念.

2会用简洁随机抽样（抽签法、随机数表法）从总体中抽取样本

教学重点：简洁随机抽样的概念.抽签法、随机数表法

教学难点：进行简洁随机抽样时，''每次抽取一个个体时任一个体a被抽到的概率〃与''在整个

抽样过程中个体a被抽到的概率〃的不同

教学过程：

一、复习回顾、创设情境：

（1狂一次考试中，考生有2万名，为了得到这些考生的数学平均成果，将他们的成果全部相

加再除以考生总数，那将是特别麻烦的，怎样才能了解到这些考生的数学平均成果呢？

（激有某灯泡厂生产的灯泡10000只，怎样才能了解到这批灯泡的运用寿命呢？

要解决这两个问题，就须要驾驭一些统计学学问.在初中阶段，我们学习过一些统计学初步学

问，了解了统计学的一些基本概念.学习了总体、个体、样本、样本的容量、总体平均数、样

本平均数的意义：

在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体，从总体

中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容蚩.总体中全部

个体的平均数叫做总体平均数，样本中全部个体的平均数叫做样本平均数.

统计学的基本思想方法是用样本估计总体，即通过从总体中抽取一个样本，依据样本的状况去

估计总体的相应状况.因此，样本的抽去是否得当，对于探讨总体来说就特别关键.原委怎样

从总体中抽取样本？怎样抽取的样本更能充分地反映总体的状况？本节课起先，我们就来学习

几种常用的抽样方法

二、基础学问学习与探讨：

假定一个小组有6个学牛，要诵讨逐个抽取的方法从中取3个学牛参与一项活动,第1次抽

取时每个被抽到的概率是？（），第2次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是？（；，

第3次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是？（）。这样的抽样就是简洁随机抽样。

一般地，设一个总体的个体总数为n,假如通过逐个抽取的方法从中抽取样本，目每次抽取时

各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简洁随机油样。

每次抽取时各个个体被抽到的概率是相等的，那么在整个油样过程中每个个体被抽到的概率是

否的确相等？

例如，从含有6个体的总体中抽取一个容量为2的样本，在整个抽样过程中，总体中的随意

一个个体，在第一次抽取时，它被抽到的概率是？（）；若它第1次未被抽到而第2次被

抽到的概率是？（）。

由于个体第1次被抽到与第2次被抽到是？（填互斥，独立）事务，依据互斥事务的概率加

法公式，在整个抽样过程中，个体被抽到的概率p=?（+=）o又由于个体的随意

性，说明在抽样过程中每个体被抽到的概率相等，都是？（）。

事实上：用简洁随机抽样的方法从个体数为n的总体中逐次抽取一个容量为的样本，那么每

个个体被抽到概率都等于3

由于简洁随机抽样体现了抽样的客观性和公允性，且这种油样方法比较简洁，所以成为一种基

本的抽样方法。

如何实施简洁抽样呢？下面介绍两种常用方法

(1)抽签法

先将总体中的全部个体编号(号码可以从1到n),并把号码写在形态、大小相同的号签上，

号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行匀称搅拌，抽

签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本，对个体编号时，

也可以利用已有的编号，例如从全班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等。

抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，相宜采纳这种方法。

(2)随机数表法

下面举例说明如何用随机数表来抽取样本。

为了检验某种产品的质量，确定从40件产品中抽取10件进行检查，在利用随机数表抽取这

个样本时，可以按下面的步骤进行：

第一步，先将40件产品编号，可以编为00,01,02,,38,39。

其次步，在附录1随机数表中任选一个数作为起先，例如从第8行第5列的数59起先，为

便于说明，我们将附录1中的第6行至第10行摘录如下。

1622779439495443548217379323788735209643842634

9164

8442175331572455068877047447672176335025839212

0676

6301637859169555671998105071751286735807443952

3879

3321123429786456078252420744381551001342996602

/y54

5760863244094?27965449174609629052847727080273

4328

第三步，从选定的数59起先向右读下去，得到一个两位数字号码59,由于59>39,将它去

掉；接着向右读，得到16,将它取出；接着下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21,

随后的两位数字号码是12,由于它在前面已经取出，将它去掉，再接着下去，得到34。至

此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是

16191012073938332134

注将总体中的n个个体编号时可以从0起先，例如n=100时编号可以是00,01,02,

99,这样总体中的全部个体均可用两位数字号码表示，便于运用随机数表。

当随机地选定起先读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。

在上面每两位、每两位地读数过程中，得到一串两位数字号码，在去掉其中不合要求和与前面

重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总沐中抽取的各个个体的号码。由于随

机数表中每个位置上出现哪一个数字是等概率的，每次读到哪一个两位数字号码，即从总体中

抽到哪一个个体的号码也是等概率的。因而利用随机数表油取样本保证了各个个体被抽取的概

率相等。

三、学问应用与解题探讨：

例1对总数为n的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为

0.25,则n的值为()

解：因为从含有n个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，每次抽取一个个体时任一个

体被抽到的概率为：在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为：所以=0.25,从而有

n=120.故选a

四、巩固练习：p7练习1、2

五、总结提炼：统计的基本思想，简洁随机抽样，什么样的总体相宜用简洁随机抽样，如何用

抽签法或随机数表法获得样本简洁随机抽样的常用方法：(1抽签法、(糜机数表法简洁随机

抽样是不放回抽样，是一种等概率抽样方法.

六、课后作业：P9习题1一3

七、检验反馈：

*1.下列说法正确的是；

(a)甲乙两个班期末考试数学平均成果相同，这表明这两个班数学学习状况一样

(b)期末考试数学成果的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习状况比乙班好

(d)期末考试数学平均成果甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好

2.一组数据的方差是，将这组数据中的每一个数据都乘以2,所得到的一组数据的方差是

()

a.；b.：c.:d.

3.从某鱼池中捕得1200条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中

捕得1000条鱼，计算其中有记号的鱼为100条，试估计鱼池中共有鱼的条数为()

4.(1)已知一组数据1,2,1,0,-1,-2,0,-1,则这组数数据的平均数为；方差

为；

(2)若5,-1,-2,x的平均数为1,则乂=；

(3)已知n个数据的和为56,平均数为8,则。=；

(4)某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下(单位：万元)：2.8,3.2,

3.4,3.7,3.0,3.1,试估算该商场4月份的总营业额，大约是_万元。

抽样方法(二)--分层抽样

教学目的：1理解分层抽样的概念：2.会用分层抽样从总体中抽取样本

教学重点：分层抽样概念的理解及实施步骤

教学难点：分层抽样从总体中抽取样本

教学过程：

一、复习回顾：简洁随机抽样、系统抽样。

二、基础学问学习与探讨：

一个单位的职工有500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人，50岁

以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工

作为样本，职工年龄与这项指标有关，应当怎样抽取？

为了使抽出的100名职工更充分地反映单位职工的整体状况，在各个年龄段可按这部分职工

人数与职工总数的比进行抽样C

因为抽取人数与职工总数的比为100:500=1：5

所以在各年龄段抽取的职工人数依次是即25,56,19

在各个年龄段分别抽取时，可采纳前面介绍的简洁随机抽样的方法，将各年龄段抽取的职工合

在一起，就是所要抽取的100名职工。

像这样当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的状况，常将总

体分成几部分，然后依据各部分所占的比进行抽样，这种油取叫做分层抽样，其中所分成的各

部分叫做层。

可以看到，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的

比，分层抽样时，每一个个体被抽到的概率都是相等的。

由于分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以依据

详细状况实行不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着广泛的应用。

以上我们简洁介绍了简洁随机抽样和分层抽样，这两种抽样方法的共同特点是：在整个抽样过

程中每个个体被抽取的概率相等。简洁随机抽样是最基本的抽样方法，当总体由差异明显的几

部分组成，实行分层抽样时，其中各层的抽样常采纳简洁随机抽样。

三、学问应用与解题探讨：

例1某单位有老年人28人,中年人54人,青年人bl人，为了调直他们的身体状况的某项

指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，适合的抽取样本的方法是（）

a.简洁的随机抽样b.系统抽样

例2一个单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁〜49岁的有280人，50

岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，如何从中抽取一个容

量为100的样本？

解：由于职工年龄与这项指标有关，故适于用分层抽样，油样过程如下：

Q恒定样本容量与总体的个体数之比100:500=1:5；

（2利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数，依次为

，,,即25,56,19.

（环」用简洁随机抽样或系统抽样的方法，在各年龄段分别抽取25,56,19人，然后合在一

起，就是所要抽取的样本.

说明：@分层抽样适用于总体由差异比较明显的几个部分组成的状况，是等概率抽样，它也是

客观的、公允的；

笏层抽样是建立在简洁随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，使样

本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以依据状况采纳不同的抽样方法，因此在实践中有

着特别广泛的应用.

例3某学校有职工140人，其中老师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人.

为了解职工的某种状况，要从中抽取一个容量为20的样本.以下的抽样方法中，依简洁随机

抽样、系统抽样、分层抽样依次的是（）

方法1：将140人从1.〜140编号，然后制作出有编号1〜140的140个形态、大小相同的

号签，并将号签放人同一箱子里进行匀称搅拌，然后从中油取20个号签，编号与签号相同的

20个人被选出；

方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按编号，在第一组采纳抽签法

抽出号（1««7）,则其余各组尾号也被抽到，20个人被选出；

方法3：按20:140=1:7的比例，从老师中抽取13人，从教辅行政人员中抽取4人，从总

务后勤人员中抽取3人.从各类人员中抽取所需人员时，均采纳随机数表法，可抽到20个

人.

a.方法2,方法1,方法3b.方法2,方法3,方法1

四、巩固练习：p8练习：1一3

*1.统计某区的高考成果，在总数为3000人的考生中，省重点中学毕业生有300人，区

重点中学毕业生有900人，一般中学毕业生有1700人，其他考生有100人.从中抽取一个

容量为300的样本进行分析，各类考生要分别抽取多少人？

2.某农场在三块地种植某种试验作物，其中平地种有150亩，河沟地种有30亩，坡地种有

90亩.现从中抽取一个容量为18的样本，各类地要分别抽取多少亩？

3.一个工厂有若干车间，令采纳分层抽样方法从全厂某天的2U48件产品中抽取一个容量为

128的样本进行质量检查.若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为

答案：1.省重点中学抽取30人，区重点中学抽取90人，一般中学抽取170人，其他考生

抽取10人2.平地抽取10亩，河沟地抽取2亩，坡地抽取6亩。3.16

五、总结提炼：了解分层抽样的概率，会用分层抽样从总年中抽取样本。

六、课后作业：p9：4、5

总体分布的估计

教学目的：1了解当总体口的个体取不同数值很少时，可用频率分布表或频率分布条形图估

计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布：

2了解当总体中的个体取不同数值较多，甚至无限时，可用频率分布表或频率分布直方图估计

总体分布，并会用这两种方式估计总体分布

教学重点：用样本的频率分布估计总体分布

教学难点：频率分布表和撅率分布直方图的绘制

教学过程：

一、复习回顾：频率分布

二、探究探讨：

阅读p9倒1段后的例1,思索怎样进行总体分布的估计。

例1为了了解某地区高三学生的身体发育状况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁—18

岁的男生的体重状况，结果如下（单位:kg）

56.5

69.5

65

61.5

64.5

66.5

64

64.5

76

58.5

72

73.5

56

67

70

57.5

65.5

68

71

75

62

68.5

62.5

59.5

63.5

64.5

67.5

73

68

55

72

66.5

74

63

60

55.5

70

64.5

58

64

70.5

57

62.5

65

69

71.5

73

62

58

76

71

66

63.5

56

59.5

63.5

65

70

74.5

68.5

64

55.5

72.5

66.5

68

76

57.5

60

71.5

57

69.5

74

64.5

59

61.5

67

68

63.5

58

59

65.5

62.5

69.5

72

64.5

75.5

68.5

64

62

65.5

58.5

67.5

70.5

65

66

66.5

70

63

59.5

试依据上述数据画出样本的频率分布直方图，并对相应的总体分布作出估计。

解:依据下列步骤获得样本的频率分布.

(1)求最大值与最小值的差.

在上述数据中，最大值是76,最小值是55,它们的差(又称为极差)是76-55=21)所得的差

告知我们，这组数据的变动范围有多大.

(2)确定组距与组数.

假如将组距定为2,那么庄21+2=10.5,组数为11,这个组数适合的.于是组距为2,组数

为11.

(3)确定分点.

依据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5,第1小蛆的终点可取为56.5,为了

避开一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是''左闭右开”的.

这样，所得到的分组是

[54.5,56.5),[56.5,58.5),…，[74.5,76.5).

(4)列频率分布表

分组

频数累计

频数

频率

[54.5,56.5)

0.02

[56.5,58.5)

6

0.06

[58.5,60.5)

10

0.10

[60.5,62.5)

10

0.10

[62.5,64.5)

14

0.14

[64.5,66.5)

16

0.16

[66.5,68.5)

13

0.13

[68.5,70.5)

11

0.11

[70.5,72.5)

8

0.08

[72.5,74.5)

7

0.07

[74.5,76.5)

3

0.03

合计

100

1.00

(5)绘制频率分布直方图.

体重

54.5

频率/组距

56.5

58.5

74.5

72.5

66.5

68.5

70.5

76.5

62.5

60.5

64.5

由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积的形式反映了数据落在

各个小组的频率的大小.

在反映样本的频率分布方面，频率分步表比较准确，频率分布直方图比较直观，它们起着相互

补充的作用.

在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体状况作出估计.例如可以估计，体重在（64.5,

66.5）kg的学生最多，约占学生总数的16,体重小于58.5kg的学生较少，约占8%；等

等.

四、巩固练习：pl2练习1、2

五、总结提炼：用样本的频率分布估计总体分布，可以分成两种状况探讨：

1当总体中的个体取不同数值很少（并不是总体中的个数很少）B寸，其频率分布表由所取样本

的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图：

2当总体中的个体取不同值较多、甚至无限时，对其频率分布的探讨要用到初中学过的整理样

本数据的学问.

它们的不同之处在于：前者的频率分布表中列出的是几个不同数值的频率，相应的条形图是用

其高度来表示取各个值的频率；后者的频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，相

应的直方图是用图形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率

六、课后作业：pl2习题：1、2

七、检验反馈：

1..为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级

品8件，三级品13件，次品14件.

（甲J出样本频率分布表；（2恸出表示样本频率分布的条形图；

（3依据上述结果，估计此种商品为二级品或三级品的概率约是多少？

解：（1样本的频率分布表为

产品

频数

频率

一级品

5

0.17

二级品

8

0.27

三级品

13

0.43

次品

4

0.13

（2样本频率分布的条形图如右：

（3肚种产品为二极品或二极品的概率为0.27+0.43=0.7

2.如下表：

分组

频数

频率

分组

频数

频率

[10.75,10.85）

3

[11.25,11.35)

20

[10.85,10.95)

9

[11.35,11.45)

7

[10.95,11.05)

13

[11.45,11.55)

4

[11.05,11.15)

16

[11.55,11.65)

2

[11.15,11.25)

26

合计

100

(季成上面的频率分布表.据上表，画出频率分布直方图.

(3依据上表，估计数据落在[10.95,11.35]范围内的概率约为多少？

答案：1、(蹴据落在[10.95,11.35)范围的频率为0.33+0.16+0.26+0.20=0.75

总体期望值的估计

教学目标：1、使学生驾驭用样本的平均数去估计总体期望值。

2、培育学生分析数据的实力。

教学重点：计算样本（总体）的平均数。

教学难点：适当抽样提高样本的代表性。

教学过程：

一、复习回顾：

在初中，总体平均数（又称为总体期望值）描述了一个总体的平均水平。对许多总体来说，它

的平均数不易求得，常用简洁求得的样本平均数：对它进行估计，而且常用两个样本平均数

的大小去近似地比较相应的两个总体的平均数的大小。

二、探究探讨：

例1在一批试验田里对某早稻品种进行丰产栽培试验，抽测了其中15块试验田的单位面积

（单位面积的大小为hm2）的产量如下：（单位：kg）

504402492495500501405409

460486460371420456395

这批试脸田的平均单位面积产呈约是多少？

例2某校高二年级进行一次数学测试，抽取40人，算出其平均成果为80分，为精确起

见，后来又抽取50人，算出其平均成果为83分，通过两次抽样的结果，估计这次数学测试

的平均成果。

例3被誉为''杂交水稻之父〃的中国科学院院士袁隆平，为了得到良种水稻，进行了大量试

验，下表是在10个试验点对a、b两个品种的对比试验结果：

品种

各试验点亩产量（kg）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a

490

509

527

497

520

582

497

489

538

532

b

504

486

463

475

530

473

470

475

453

512

试估计哪个品种的平均产量更高一些？

三、巩固练习：pl5：1、2

四、总结提炼：用样本的平均数去估计总体平均数（总体期望值）简洁易行，因而用途特别广

泛，但估计的结果具有确定的近似性，甚至可能出现较大的偏差与疏误，这与确定性数学中通

过逻辑推理得到确定的结论的状况有所不同，学习中要留意体会。为了使样本更充分地反映总

体的状况，可在条件许可的状况下，适当增加样本容量，并力求使抽样方法更加合理，以提高

样本的代表性。

四、课外作业：pl7习题1、2

五、检验反馈：

1、已知10个数据：

1203120111941200120412011199120411951