2026届广西贵港市覃塘高中高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2026届广西贵港市覃塘高中高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（）A. B.C.或 D.2．若任取，则x与y差的绝对值不小于1的概率为（）A. B.C. D.3．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）A.i B.-iC.1 D.-14．已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.20 B.30C.40 D.505．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或6．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）A. B.C. D.7．已知函数，则的值为（）A. B.0C.1 D.8．抛物线上的一点到其焦点的距离等于（）A. B.C. D.9．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）A. B.C. D.10．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（）A.“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列B.“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列C.“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列D.“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列11．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（）A. B.C. D.12．设为数列的前n项和，且，则=（）A.26 B.19C.11 D.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为曲线上一点，，，若，则__________14．根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额（单位：千亿元）和出口总额（单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年若每年的进出口总额，满足线性相关关系，则______；若计划2022年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为______亿元15．正方体，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.16．已知数列则是这个数列的第________项.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点（1）求圆A的方程（2）当时，求直线l方程18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，，且，求a.19．（12分）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和20．（12分）已知为各项均为正数的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前n项和.21．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由22．（10分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分或（）两种情况讨论，由面积列方程即可求解【详解】由题意得，当时，，解得；当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.故选：C.2、C【解析】根据题意，在平面直角坐标系中分析以及与差的绝对值不小于1所对应的平面区域，求出其面积，由几何概型公式计算可得答案.【详解】根据题意，，其对应的区域为正方形，其面积，若与差的绝对值不小于1，即，即或，对应的区域为图中的阴影部分，其面积为，故与差的绝对值不小于1的概率.故选：C3、C【解析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.【详解】由题意，，则z的虚部为1.故选：C.4、B【解析】根据等比数列前项和的性质进行求解即可.【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，即成等比数列，显然，故选：B5、A【解析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集【详解】，即为，故选：A6、C【解析】由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.【详解】由底面是正方形，E为的中点，且，根据向量的运算法则，可得.故选：C.7、B【解析】求导，代入，求出，进而求出.【详解】，则，即，解得：，故，所以故选：B8、C【解析】由点的坐标求得参数，再由焦半径公式得结论【详解】由题意，解得，所以，故选：C9、B【解析】求出两圆相交公共部分两个弓形面积，结合两圆面积可得概率【详解】如图，是两圆心，是两圆交点坐标，四边形边长均为，又，所以，所以，四边形是正方形，，弓形面积为，两个弓形面积为，两圆涉及部分面积为所以所求概率为故选：B10、C【解析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，故选：C【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题11、A【解析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积【详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因为S−ABC是正三棱锥。所以，以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，所以.故选：A.12、D【解析】先求得，然后求得.【详解】依题意，当时，，当时，，，所以，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】化简曲线方程，得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果【详解】由，得，即，故为双曲线右支上一点，且分别为该双曲线的左、右焦点，则，.【点睛】本题考查了双曲线的定义，解题时要先化简曲线方程，然后再结合双曲线定义求出结果，较为基础14、①.1.6②.3.65千##3650【解析】根据给定数表求出样本中心点，代入即可求得，取可求出该年进口总额.【详解】由数表得：，，因此，回归直线过点，由，解得，此时，，当时，即，解得，所以，预计该年进口总额为千亿元.故答案为：1.6；3.65千15、【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果.【详解】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.16、12【解析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.【详解】数列中每一项被开方数分别为：6，10，14，18，22，…，因此这些被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，设该等差数列为，其通项公式为：，设数列为，所以，于是有，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆A半径r，所以，所以圆A的方程为（2）设的中点为Q，则由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知，设动直线l方程为：或，显然符合题意由到直线l距离为1知得所以或为所求直线方程【点睛】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件，运用余弦定理化简可求出；（2）由可求出，利用诱导公式和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.【小问1详解】）∵且，∴，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，，∴.19、（1）（2）【解析】（1）当时，由，可得，两式相减化简可求得通项，（2）由（1）得，然后利用裂项相消法可求得结果【小问1详解】因为，所以时，，两式作差得，，所以时，，又时，，得，符合上式，所以的通项公式为【小问2详解】由（1）知，所以即数列的前n项和20、（1）；（2）.【解析】（1）先通过等比数列的基本量运算求出公比，进而求出通项公式；（2）结合（1）求出，然后根据错位相减法求得答案.【小问1详解】设等比数列公比为q,,,，（负值舍去），所以.【小问2详解】，，所以，解得：.21、（1）（2）存在，【解析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线与的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论.【小问1详解】（1）则，，，，故C的方程为：；【小问2详解】假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，，，，，所以Δ>0y1+即或，，，则，，使得直线与的斜率互为倒数.22、（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.【解析】（1）设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，建立不