高三下学期数学专题五 平面向量与复数（解析版）

专题五平面向量与复数选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2024江苏苏州三模，1）设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念化简复数，然后利用复数的几何意义求解点所在的象限.【详解】因为，所以，所以，对应的点为，所以在复平面内对应的点在第三象限.故选C.2.（2024湖北十一校联考，2）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（

）A.B.C.D.【答案】B【分析】设复数，根据题意，列出方程求得，进而求得复数的虚部，得到答案.【详解】设复数，因为，可得，可得，解得，所以复数的虚部为.故选B.3.（2024广东湛江模拟，4）若复数的实部为，则点的轨迹是（）A.直径为2的圆B.实轴长为2的双曲线C.直径为1的圆D.虚轴长为2的双曲线【答案】A【分析】根据复数运算化简，并根据其实部为，结合曲线方程，即可判断.【详解】因为，所以，即，所以点的轨迹是直径为2的圆.故选：A.4.（2024湖北武汉模拟，2）已知向量，，则在上的投影向量的模为（）A.B.1C.0D.【答案】C【分析】求出，根据投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意知向量，，则，故向量在上的投影向量为，故向量在向量方向上的投影向量的模为.故选C.5.（2024东北三省三校模拟，2）若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则λ=（）A．0B．2C．﹣1D．﹣2【分析】结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】，是夹角为60°的两个单位向量，则，，与垂直，则＝，即，解得λ＝0．故选A．6.（2024湖南常德模拟，6）已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（）A.B.C.D.7.（2024湖南长沙、浏阳重点校联考，4）在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A.B.0C.D.【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算及数量积求解即可.【详解】由题意知，在平行四边形中，，，因为，所以.因为，所以，又，所以，故，则，所以向量与的夹角的余弦值为0.故选B.8.（2024广东省实验中学模拟，8）已知a=2,b=3，则aA．4,213 B．4,10 C．6,213 答案C【详解】设向量a，b的夹角为θ，则a+因为a−所以a+令y=a+b因为cos2θ∈0,1，所以y2∈故选：C选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（2024江苏盐城模拟，9）已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（）A.当时，B.当时，C.若，则存在实数，使得D.若，则【答案】AC【详解】结合复数运算法则及复数几何意义化简计算即可.【解答】对A，即，两边平方可得，A对；对，取，则，当，B错；对，即，两边平方可得，故，故，因此存在实数，使得，C对；对，取，但，D错.故选：AC10.（2024江苏省扬州中学模拟，10）已知复数，，，则下列说法中正确的有（

）A．若，则或 B．若，则C．若，则 D．若，则【分析】根据复数的运算法则可判断A；先计算，再求，判断B；用特例验证C；利用说明D正确.【详解】对于A，或，故A正确．对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．方法二（复数的三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，所以．故B正确．对于C，取，，则，此时，故C错误．对于D，，，所以，故D正确．故选：ABD11.（2024广东省实验中学模拟，10）已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若复数z的共轭复数为z，则z⋅B．若1−3i是关于x的方程x2C．若复数z满足z−i=1，则zD．已知ω=−12+3答案ACD【详解】对于A，设z=a+bi，则z⋅对于B，对于实系数方程存在复数根，则必为一对共轭复数，故1−3i对于C，令z=x+yi,(x,y∈R)，由复数模的几何意义，即z在圆心为(0,1)，半径为1的圆上，数形结合易知z的最大值为2，对；对于D，x3=1⇒x−1x2所以ω为x2+x+1=0的一个根，即ω2当ω=−12+故选：ACD填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.（2024安徽A10联盟检测，12）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是__________.【答案】

【分析】考查复数几何意义，是基础题.由已知得出关于a的不等式组，求解即可.【解答】由题意得，解得，实数a的取值范围是.13.（2024安徽合肥一六八中学模拟，12）已知向量满足，，则__________.【答案】【分析】根据数量积的运算律得到，再由计算可得.【详解】因为，所以，