巢湖市重点中学2026届高二上数学期末统考模拟试题含解析

巢湖市重点中学2026届高二上数学期末统考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.62．椭圆的焦点坐标为（）A.和 B.和C.和 D.和3．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．已知圆的方程为，直线：恒过定点，若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.65．设双曲线C：的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A B.2C. D.6．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．“”是“直线与互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（）A. B.C. D.9．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（）A. B.C. D.10．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为A. B.C. D.11．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A. B.C. D.12．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某市开展“爱我内蒙，爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示，记分员算得平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是______14．设等差数列的前项和为，且，，则__________.15．容积为V圆柱形密封金属饮料罐，它的高与底面半径比值为___________时用料最省.16．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线：的焦点是圆与轴的一个交点.（1）求抛物线的方程;（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点A、B，О为坐标原点，证明：.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，是线段上的动点，轴于点，于点，与相交于点.（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；（2）过点作抛物线的切线交轴于点，过抛物线上的点作抛物线的切线交轴于点，……，以此类推，得到数列，求，及数列的通项公式.19．（12分）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为，且（1）求抛物线的方程；（2）经过焦点作互相垂直的两条直线，，与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点．若，分别是线段，的中点，求的最小值20．（12分）已知，p：，q：（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围21．（12分）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，椭圆右焦点也为，离心率为（1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过的直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值22．（10分）在平面直角坐标系中，有一条长度为3的线段，端点，分别在轴、轴上运动，为线段上一点，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知不过原点的直线与相交于，两点，且线段始终被直线平分.求的面积取最大时直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故选：A.2、D【解析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标.【详解】，可得焦点坐标为和.故选：D3、D【解析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，∴，，，，∴，，∴，所以AN与BM所成角的余弦值为.故选：D4、B【解析】求得定点，然后得到关于直线对称点为，然后可得，计算即可.【详解】直线可化为，令解得所以点的坐标为.设点关于直线的对称点为，则由,解得,所以点坐标为.由线段垂直平分线的性质可知，，所以（当且仅当，，，四点共线时等号成立），所以的最小值为4.故选:B.5、A【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，因为O为的中点，所以,而,则，为等腰三角形，故，由，得，又为等腰直角三角形，故，即，解得，即，故选：A.6、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】若，则，即或，推不出；反过来，若，可推出.故“”是“”的充分不必要条件故选：A.7、A【解析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为直线与互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.8、A【解析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.【详解】连接、，因，因为是线段上一点，且，则，因此，因此，.故选：A.9、B【解析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B10、D【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴椭圆方程为：.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.11、C【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【详解】设直角边长，斜边，则线段的长度大于的长度的概率.故选：C12、A【解析】利用向量的加法法则直接求解.【详解】在四面体中，，分别是，的中点，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】由平均数列出方程，求出x的值.【详解】由题意得：，解得：.故答案为：114、【解析】根据，利用等差数列前项和公式，列方程求出，再由，能求出【详解】等差数列的前项和为，且，，，解得，，，解得，故答案为：1015、【解析】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，由，得到，进而求得表面积，结合不等式，即可求解.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，则，即有，可得圆柱的表面积为，当且仅当时，即时最小，即用料最省，此时，可得.故答案为：.16、【解析】先求出直线倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过，所以直线的方程为，即，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由圆与轴的交点分别为，可得抛物线的焦点为，从而即可求解；（2）设直线为，联立抛物线方程，由韦达定理及，求出即可得证.【小问1详解】解：由题意知，圆与轴的交点分别为，则抛物线的焦点为，所以，所以抛物线方程为；【小问2详解】证明：设直线为，联立方程，有，所以，所以，所以.18、（1）在抛物线上，理由见解析（2）,,.【解析】（1）根据直线的方程设出点的坐标，利用已知条件求出点的坐标即可判断点是否在抛物线上；（2）设出直线的直线方程，与抛物线联立，令，即可求出，同理可以求出，设出直线的直线方程，与抛物线联立，令即可求出的方程，若令，，即，故数列是首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.【小问1详解】由已知条件得直线的方程为，设点，则，由直线的方程为可得点的坐标为，点满足抛物线，则点是否在抛物线上；【小问2详解】设的直线方程为，将直线与抛物线联立得，，解得，的直线方程为，则，即，由此可知，设的直线方程为，将直线与抛物线联立得，，解得，的直线方程为，则，即，由此可知设点，设直线方程为，将直线与抛物线联立得，，其中，即，，解得，直线的方程为，即，令得，即直线过点，则直线的斜率为，直线的方程也可以表示为，即，令，，即，则，即数列是首项，公比为的等比数列，故.19、（1）；（2）8.【解析】(1)写出抛物线E的准线，利用抛物线定义求出p即可作答.(2)由(1)求出焦点坐标，设出直线的方程，并与抛物线E的方程联立，由此求出C点坐标，同理可得D点坐标，列式计算作答.小问1详解】抛物线：的准线方程为：，由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.【小问2详解】由(1)知，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，直线的方程为：，由消去y并整理得，设，则，于得线段PQ中点，同理得，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是8.【点睛】结论点睛：抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离20、（1）（2）或【解析】（1）根据命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式解得结果即可得解；（2）“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于与一真一假，分两种情况列式可得结果.【详解】（1）因为p：对应的集合为，q：对应的集合为，且p是q的充分不必要条件，所以，所以，解得.（2），当时，，因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以与一真一假，当真时，假，所以，此不等式组无解；当真时，假，所以，解得或.综上所述：实数x的取值范围是或.【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数取值范围，一般可根据如下规则转化：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含21、（1）抛物线方程为，椭圆方程为（2）【解析】（1）由，可得，继而可得，故，再利用离心率，以及，即得解；（2）设直线方程为，与抛物线联立，，结合韦达定理可得，再与椭圆联立，，韦达定理代入，结合均值不等式即得解【小问1详解】由题意，解得：，故，，，，，所以抛物线方程为，椭圆方程为【小问2详解】设直线方程为，由消去得，，设，，则因，所以或（舍去），所以直线方程为由，消去得，设，，则设直线与轴交点为，则所以令，则，所以，当且仅当时，即时，取最大值22、（1）（2）【解析】(1)设，根据题意可得，，利用两点之间的距离公式表示出，化简即可得出结果；(2)设，，线段的中点为，利用两点坐标表示直线斜率的公式和点差法求