《两角和与差的正弦-余弦和正切公式(第一课时)》教案

《两角和与差的正弦，余弦和正切公式（第一课时）》教案教学目标教学目标：借助圆的旋转对称性和三角函数的定义推导两角差的余弦公式，并利用公式进行简单的求值；在公式推导中，体会特殊与一般，数形结合的思想，感受知识间内在联系；在公式的推导和应用中，发展数学推理和数学运算的素养.教学重点：两角差的余弦公式的推导和应用.教学难点：两角差的余弦公式的推导.教学过程时间教学环节主要师生活动温故知新知识回顾这是我们最熟悉的两个诱导公式即终边相同角的三角函数值相同。类似的诱导公式还有很多。利用这些公式对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.利用诱导公式化简，，，.探究新知引发思考.之前的三角恒等变换中，可以发现它们都是特殊角与任意角的差的余弦，变换后的结果都与这个任意角正弦或余弦有关，如果把特殊角化为任意角β（α），则的公式展开式会与哪些值有关呢？对比特殊角与任意角差的余弦，α-β的余弦与sinα，cosα,sinβ,cosβ有关.那么有着怎样的具体关系呢？我们共同探索利用问题链，推导公式.教师引领：为了探索与sinα，cosα,sinβ,cosβ的等量关系，我们借助图形加以研究。思考：我们借助哪些工具探究cos(α-β)与sinα、cosα、sinβ、cosβ间的关系？根据以往经验：诱导公式即用到了三角函数的定义，x=cosα,y=sinα，根据单位圆的特殊对称性。如图单位圆上的任意一点，旋转2kπ,仍然在单位圆上，且此时位置不变的特征，推导公式。类比诱导公式的推导经验，单位圆推导。活动1：动手作图：以x轴非负半轴为始边，任取两角α、β，终边分别交单位圆于A1，P1，学生可能出现以下几类情况：师：由于角的终边情况比较复杂，不妨从简单的情况入手讨论，设角α，β为锐角，且α>β．活动2：如何确定横坐标为cos(α-β)的点p？度量α-β的角度，OA逆时针旋转该角度，终边交单位圆于p.我们现在找到了这样三个特殊的点.活动3：如何发现cos(α-β)与sinα，cosα,sinβ,cosβ的等量关系？需要关注单位圆中α-β、α、β相关的恒量关系？发现：.活动4：指明线段A1P1=AP的依据.（法一）扇形AOP绕着点o旋转角，则点A、P分别点A1，P1重合，则，所以.与推导诱导公式用到的圆的特殊对称性不同，这里是单位圆上任意一个点，旋转任意角度后仍在单位圆上，即反映了圆的旋转对称性。（法二），在单位圆中，所以.活动5：下面利用两条线段相等的关系，推导cos(α-β)与α、β三角函数值的关系.平面上任意两点平面上任意两点,如图可得，AB间的距离为根据两点间距离公式分别表示线段AP与A1P1,.....即.当α=β＋2kπ,k∈Z时，上式仍成立。.由圆的旋转对称性，点A、P分别点A1，P1重合，则，所以，对于任意角α，β有.称为差角的余弦公式，简记作C(α-β)（四）归纳结构特点，总结记忆方法.公式对任意角α、β都成立；左边的角是，右边的角是；公式特点是：同名相乘，符号相加.典例剖析例1利用公式C(α-β)证明:,.证明：..点拨：和（差）角公式可以看成诱导公式的一般化表达，诱导公式可以看成和（差）角公式的特例.当α,β中有一个角是的整数倍时，用诱导公式更简便..思考:观察题目的结构特征，联想到刚刚推导的余弦公式，不难发现，欲求的值，必先知道的值，然后利用公式即可求解.从已知条件看，还少与的值，根据诱导公式不难求出，但是这里必须注意利用同角的平方和关系式时，角所在的象限，准确判断它们的三角函数值的符号。,,.课堂小结1.两角差的余弦公式及推导过程；2.数学思想：分类讨论、数形结合、特殊到一般.课后作业教材217页练习1到5，228页习题1到3.课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021黑龙江哈尔滨香坊高一期末)化简cos16°cos44°-cos74°sin44°的值为()A.32 B.-32 C.12 D答案C解析cos16°cos44°-cos74°sin44°=cos16°cos44°-sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=12,故选C2.化简:sinx+π3+sinx-π3=()A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx答案B解析sinx+π3+sinx-π3=12sinx+32cosx+12sinx-32cosx=sin3.若sinπ6-α=cosπ6+αA.-1 B.0 C.12 D.答案A解析由已知得12cosα-32sinα=32cosα-12sinα,因此1-32sinα=3-12cos4.(2021新疆维吾尔自治区哈密伊州高一期末)已知tanα-3π4=23,则tanα=(A.15 B.-C.5 D.-5答案B解析tanα-3π4=tanα-tan3π41+tanα·tan5.(2021天津和平高一期末)已知tanA=2tanB,sin(A+B)=14,则sin(A-B)=(A.13 B.14 C.112 D答案C解析由tanA=2tanB得sinA即sinAcosB=2cosAsinB,∵sin(A+B)=14,∴sinAcosB+cosAsinB=1得sinAcosB=16,cosAsinB=1则sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=16−1126.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cosαcosβ=答案0解析由已知得cosαcosβ-sinαsinβ=45,cosαcosβ+sinαsinβ=-45,两式相加得2cosαcosβ=0,故cosαcosβ=7.化简:sin(α-150答案-1解析原式=sin=-32sin8.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);(3)cos21°·cos24°+sin159°·sin204°.解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-32(3)原式=cos21°cos24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos21°cos24°-sin21°sin24°=cos(21°+24°)=cos45°=22等级考提升练9.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan2α=(A.16 B.2213 C.322 答案D解析tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(10.设α∈0,π2,β∈0,π2,且tanα=A.3α-β=π2 B.3α+β=C.2α-β=π2 D.2α+β=答案C解析由tanα=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sinαcosβ-cosαsinβ=cos又α∈0,π2,β故α-β=π2-α,即2α-β=π11.(2021北京朝阳高一期末)已知tanα-π6=2,tan(α+β)=-3,则tanβ+π6=()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析因为α-π6+β+π6=α+β,所以tan(α+β)=tanα-π6+β+π6=tan(α-π6)+tan(β+π6)1-tan(α-π6)tan(β12.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=33,tan2B=tanA·tanC,则角B等于()A.30° B.45° C.120° D.60°答案D解析由公式变形得tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=tan(180°-C)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC,∴tanA+tanB+tanC=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=33.∵tan2B=tanAtanC,∴tan3B=33,∴tanB=3,则B=60°.故选D.13.(多选题)下面各式中,正确的是()A.sinπ4+π3=sinπ4cosB.cos5π12=22sinπC.cos-π12=cosπ4cosπD.cosπ12=cosπ3-答案ABC解析∵sinπ4+π3=sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=sinπ4cosπ3+32cosπ4,∴A正确;∵cos5π12=-cos7π12=-cosπ∵cos-π12=cosπ4−π3=cosπ4cosπ3+6∵cosπ12=cosπ3−π4≠cosπ3-cosπ414.(多选题)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,下列各式正确的是(A.A+B=2C B.tan(A+B)=-3C.tanA=tanB D.cosB=3sinA答案CD解析∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,∴tan(A+B)=3,∴选项A,B错误;∵tanA+tanB=3(1-tanA·tanB)=23∴tanA·tanB=13,①又tanA+tanB=233,∴联立①②解得tanA=tanB=33∴cosB=3sinA,故选项C,D正确.15.已知锐角α,β满足(tanα-1)(tanβ-1)=2,则tan(α+β)=,α+β=.

答案-13解析因为(tanα-1)(tanβ-1)=2,所以tanα+tanβ=tanαtanβ-1.因此tan(α+β)=tanα+tan因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π16.若cosα=-13,sinβ=-33,α∈π2,π,β∈3π2,2π,则sin(α+β)的值为.答案5解析∵cosα=-13,α∈π2,π,∴sinα=1-cos2α=223.∵sinβ=-3∴cosβ=1-∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=223×63+-13×-3317.已知α,β均为锐角,且tanβ=cosα-sinαcosα解tanβ=cosα-sinα因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0又y=tanx在-π2所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=新情境创新练18.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的取值范围是.

答案[8,+∞)解析由已知条件sinA=2sinBsinC,sin(B+C)=2sinBsinC,sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,两边同除以cosBcosC,tanB+tanC=2tan