《基本不等式(第二课时)》教案

《基本不等式（第二课时）》教案教学目标教学目标：1．使学生进一步理解基本不等式，能用基本不等式解决简单的最值问题；2．通过运用基本不等式解决实际问题中的最值问题，使学生经历数学建模的过程，并体会基本不等式在解决实际问题中的作用；3．在运用基本不等式解决实际问题的过程中，提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的数学建模素养．教学重点：运用基本不等式解决实际问题中最值问题的过程与步骤．教学难点：如何运用基本不等式解决实际问题中的最值问题．教学过程时间教学环节主要师生活动4分钟复习引入教师与学生共同回顾基本不等式的基本内容，以及运用基本不等式研究最值问题的两个重要模型，为本节课的进一步学习做好铺垫.1.基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立．2.已知x，y都是正数，（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值．（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．教师追问：请同学们尝试用自然语言，一句话表达出上述（1）和（2）这两个基本问题．学生：当两个正数变量的积或和为定值时，它们的和有最小值或积有最大值．10分钟研究新知问题一（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？在此环节中，教师从以下两个方面引导学生对问题进行思考与分析：①教师引导学生回顾根据数学建模思想研究实际问题的一般过程．②通过审题，教师分别针对（1）和（2）两个问题引导学生识别问题中的数量关系，判断是否符合利用基本不等式解决最值问题的两个基本模型的条件，即有两个正数变量，且它们的积或和为定值．教师与学生共同完成问题一的解答过程如下．解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，则篱笆的长度为2(x+y)m.（1）由已知，得xy=100，教师追问：当我们已知两个正数的积为定值时，如何求它们的和的最小值呢？学生：运用基本不等式.根据基本不等式，可得，所以，2(x+y)≥40.当且仅当x=y=10时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知，得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xym2.教师追问：当我们已知两个正数的和为定值时，如何求它们的积的最大值呢？学生：仍然是运用基本不等式根据基本不等式可得，，所以，xy≤81.当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园面积最大，最大面积是81m2.【设计意图】通过对上述两个问题的研究，使学生体会如何运用基本不等式模型来理解和识别实际问题，从而利用基本不等式解决实际问题.特别地，在解决这两个问题的过程中，分别有不同的侧重点：对于问题（1）重点分析变量的个数、已知条件、是否符合基本不等式的模型等特征，以说明解决问题中每一步的必要性；对于问题（2）侧重于运用基本不等式时判断等号是否成立的必要性的再认识，从而对实际问题的结果的合理性作出解释．8分钟思维提升问题二某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？在此环节中，首先由学生独立思考与分析，教师可建议学生画出几何示意图进行研究．然后，教师与学生共同进行分析，识别问题中的数量关系，结合已知条件，引入适当的变量；根据题意可知，水池的总造价由池壁面积（也就是长方体的侧面积）和池底面积（也就是长方体的底面积）及相应的单价来确定的，从而可以将水池的总造价转化为关于池底边长的解析式，进而可以考虑如何求出总造价的最小值．教师与学生共同完成问题二的解答过程如下．解：设贮水池池底的相邻两条边的长分别为xm，ym，水池的总造价为z元.根据题意，得z=150xy+120(2×3x+2×3y)=150xy+720(x+y)由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600，根据基本不等式可得，，根据不等式的基本性质可得，720(x+y)≥720×，所以，240000+720(x+y)≥240000+720×，则z=240000+720(x+y)≥240000+720×=240000+720×=297600.当且仅当x=y=40时，上式等号成立.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.教师追问：同学们，你能自己设计一个有关最值问题的实际问题吗？并解决它.你可以改变上述问题二中的某个条件或某些条件，或者另外设计一个问题.预案：①将问题二中的“容积为4800m3”改为“容积为6000m3”；②将问题二中的“深为3m”改为“深为4m”；③将问题二中的“池底每平方米的造价为150元”改为“池底每平方米的造价为180元”；……【设计意图】通过对问题二中的实际问题的研究过程，使学生能够根据数学建模的数学思想，将实际问题转化为数学问题，再利用基本不等式模型进行求解，最后将数学问题回归到实际问题中，得出实际问题的设计方案；最后通过一个开放性问题，可以给学生一个自由发挥的空间，有利于学生对问题的再认识.3分钟归纳小结在此环节中，教师引导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，逐步提升数学学科的核心素养.（1）基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立；（2）两个基本模型：当两个正数的积为定值时，当这两个正数相等时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，当这两个正数相等时，它们的积有最大值；（3）通过对实际问题的分析与解决，经历了数学建模的基本过程，体会了数学建模的基本思想，逐步提升数学建模素养.课后篇巩固提升合格考达标练1.已知正实数a、b满足a+b=ab,则ab的最小值为()A.1 B.2 C.2 D.4答案D解析∵ab=a+b≥2ab,(ab)2≥2ab,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4.2.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()A.13 B.12 C.14 答案B解析∵0<x<1,∴1-x>0.∴x(1-x)≤x+1-x22=14,当且仅当x=1-x3.(多选题)下列不等式一定成立的是()A.x2+14>x(x>B.x+1x≥2(x>C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x答案BC解析A中,当x=12时,x2+14=x,所以AB中,当x>0时,x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;D中,因为x2+1≥1,所以0<1x2+1≤1,所以4.(2020江苏南菁高级中学高一月考)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释,这个说法正确的是()A.如果a>b>0,那么a>bB.如果a>b>0,那么a2>b2C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立D.对任意正实数a和b,有a+b≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立答案C解析依题意,图中的四个直角三角形是全等的直角三角形,设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则大正方形的边长为a2+b2,如题图,整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和,即a2+b2≥4×12ab=2ab,当a=b时,中间空白的正方形消失,5.(多选题)设x>0,y>0,xy=x+y+a,其中a为参数.下列选项正确的是()A.当a=0时,x+y的最大值为4B.当a=0时,x+y的最小值为4C.当a=3时,xy的最小值为9D.当a=3时,xy的最大值为3答案BC解析当a=0时,x>0,y>0,xy=x+y,∴1x+1x+y=(x+y)1x+1y=2+yx+xy≥2+2yx·xy=4,当且仅当yx=xy,且1当a=3时,xy=x+y+3≥2xy+3,当且仅当x=y时,等号成立,解得xy≥3,即xy≥9,故xy的最小值为9,C正确,D错误.故选BC.6.已知t>0,则t2-3t答案-1解析t2-3t+1t=t+1t-3≥2t·1t-7.已知正实数x,y满足x+2y=4,则xy的最大值为,2x(y+1答案23解析正实数x,y满足x+2y=4,则xy=12x·2y≤12×x+2y22=2,当且仅当x=2y即x=2,y=1时∵2x(y+1)=4×12x·(y+1即x=3,y=12时,等号成立8.设a>0,b>0,且不等式1a+1b+解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k≥-1a+1b(a+b),所以k≥-ba+ab-2.因为ba+ab≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.所以-ba+ab-2的最大值为-4.所以9.已知a,b,c为正数,求证:b+c-证明左边=ba+ca-1+cb+=ba+a∵a,b,c为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=bca+ac≥2(当且仅当a=ccb+bc≥2(当且仅当b=c时从而ba+ab+ca+a∴ba+ab即b+c-等级考提升练10.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是()A.ab有最小值14 B.a+C.14a+14b有最小值1 D.答案ABD解析∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14,当且仅当a=b=12时,∴ab有最大值14,∴选项A错误;(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+214=2,∴a+b≤2,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以a+b有最大值2,∴B项错误;14a+14b=a+b4ab=14ab≥1,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴14a+14b有最小值1,∴C正确;a2+b2=(a+b)2-211.(2021安徽宣城高一期末)已知a>0,b>0,若不等式1a+2b≥A.10 B.9 C.8 D.7答案C解析因为a>0,b>0,则m≤1a+2所以1a+2b(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8,当且仅当ba=即实数m的最大值为8.故选C.12.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是()A.ab2<1a+1C.ab≤a+b22答案BCD解析当a>0,b>0时,因为21所以2ab≤1a+1b,当且仅当a=b时,等号成立,故13.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=(A.-3 B.2 C.3 D.8答案C解析y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得y=x+1+9x+1-5≥2(x+1)·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x14.(多选题)(2021江苏南通中学高二期中)若实数a>0,b>0,ab=1,则下列选项的不等式中,正确的是()A.a+b≥2 B.a+bC.a2+b2≥2 D.1a+答案ABC解析因为实数a>0,b>0,ab=1,所以a+b≥2ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故A正确;a+b≥2a·b=2成立,当且仅当a=b时等号成立,a2+b2≥2ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故C正确;1a+1b≥21ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故D15.已知a>b>c,则(a-b)(答案(解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-当且仅当b=a+c2时16.直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为.

答案3-22解析设直角三角形的两直角边长为a,b,则斜边长为a2+b2,面积为S,周长L=2,由于a+b+a2+b2=L≥2∴ab≤∴S=12ab≤12L2+22=12·(2-2)L22=17.已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y解∵(x+y)1x+ay=又x>0,y>0,a>0,∴yx+axy≥2y∴1+a+yx+axy≥1当且仅当y=ax时,等号成立.∴要使(x+y