2025教资数学考编试题及答案

2025教资数学考编试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）。A.y=-x²B.y=-x³C.y=1/xD.y=log|x|2.若集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},则A∩B=（）。A.{x|-1<x<1}B.{x|1≤x<3}C.{x|-1<x≤1}D.{x|x≥-1}3.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5,公差d=-2,则其前n项和Sₙ的最大值为（）。A.10B.20C.30D.404.若复数z=(2+i)/i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数z̄为（）。A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i5.函数f(x)=x²-4x+3的图像的对称轴方程是（）。A.x=-2B.x=2C.x=-1D.x=16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a²+b²-c²=ab,则角C的大小为（）。A.30°B.45°C.60°D.90°7.已知点P(x,y)在直线3x+4y-12=0上，则点P到原点O(0,0)的距离的最小值为（）。A.0B.2C.2√2D.48.把函数y=sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度，得到的图像对应的函数是（）。A.y=sin(2x-π/6)B.y=sin(2x+π/2)C.y=sin(2x-π/3)D.y=sin(2x+π/4)9.已知样本数据：3,5,x,7,9的平均数为6，则样本数据的标准差为（）。A.1B.√2C.√3D.210.不等式|x-1|<2的解集为（）。A.(-1,3)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-3,1)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.在直角坐标系中，点A(2,1)关于直线x-y=0对称的点的坐标是________。12.已知圆O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与圆O相交的弦长为________。13.已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点到准线的距离为4，则p的值为________。14.计算：lim(x→2)(x²-4)/(x-2)=________。15.在等比数列{aₙ}中，a₂=6,a₄=54，则该数列的公比q=________。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-3x+2。(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。17.(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=3,b=√7,C=60°。(1)求边c的长；(2)求sin(A+B)的值。18.(本小题满分12分)已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足a₁=1,Sₙ=2aₙ-1(n≥1)。(1)求数列{aₙ}的通项公式；(2)求数列{aₙ}的各项和S的值。19.(本小题满分13分)求函数y=√(x-1)+√(3-x)的最大值和最小值。20.(本小题满分13分)已知直线l:y=kx+b与圆O:x²+y²=4相切，且直线l经过点(1,3)。(1)求直线l的方程；(2)求圆心O到直线l的距离。21.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)，点B(n,0)(n>0)。动点P在直线l:x=3上。(1)求线段AB的长；(2)求动点P到点A和点B的距离之和的最小值。试卷答案一、选择题：1.B2.B3.B4.C5.B6.C7.B8.B9.A10.D二、填空题：11.(1,2)12.813.814.415.3三、解答题：16.解：(1)函数f(x)的导数f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)>0，解得x<-1或x>1。所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)。(2)函数在区间[-2,-1]和[1,3]上递增，在区间[-1,1]上递减。计算函数在端点和驻点的值：f(-2)=(-2)³-3(-2)+2=-8+6+2=0f(-1)=(-1)³-3(-1)+2=-1+3+2=4f(1)=(1)³-3(1)+2=1-3+2=0f(3)=(3)³-3(3)+2=27-9+2=20比较这些值，可知函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为20，最小值为0。17.解：(1)由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC。代入已知值，c²=3²+(√7)²-2*3*√7*cos60°=9+7-3√7=16-3√7。所以c=√(16-3√7)。(2)因为C=60°，所以A+B=180°-C=120°。所以sin(A+B)=sin120°=√3/2。18.解：(1)当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=(2aₙ-1)-(2aₙ₋₁-1)=2aₙ-2aₙ₋₁。所以aₙ=2aₙ₋₁。因此，{aₙ}是首项为1，公比为2的等比数列。所以aₙ=1*2^(n-1)=2^(n-1)。(2)数列{aₙ}的各项和S=a₁+a₂+...+aₙ=1+2+4+...+2^(n-1)。这是一个首项为1，公比为2，项数为n的等比数列的和。所以S=(1*(1-2ⁿ))/(1-2)=2ⁿ-1。19.解：函数的定义域为[1,3]。令t=x-1，则x=t+1，且t∈[0,2]。原函数变为y=√t+√(2-t)。y²=(√t+√(2-t))²=t+2-t+2√(t(2-t))=2+2√(2t-t²)。因为t∈[0,2]，所以2t-t²∈[0,2]。所以y²≤2+2√2。因为y≥0，所以0≤y≤√(2+2√2)=√(√2(√2+2))=√(2(√2+1))=√(2√2+2)=√(2(1+√2))=√(2(1+√2))=√(2√2+2)=√(2(√2+1))=√(2√2+2)。当且仅当t=2-t，即t=1时，等号成立，此时x=t+1=2。所以函数y=√(x-1)+√(3-x)的最大值为√(2+2√2)，最小值为0。（注：y²=2+2√(2t-t²)等价于(y/√2)²-√(2t-t²)=1，令u=t-1，则t=u+1，0≤u≤1，原式变为(y/√2)²-√(1-u²)=1。利用柯西不等式或换元法也可得最小值为0，最大值为√(2+2√2)。）更简洁的方法：y=√(x-1)+√(3-x)=√(x-1)+√(2+(1-x))。令f(u)=√u+√(2+(1-u))，u∈[0,1]。f'(u)=1/(2√u)-1/(2√(2+(1-u)))。令f'(u)=0，得√u=√(2+(1-u))，即u=1-u，解得u=1/2。当u=1/2时，y=√(1/2)+√(2+(1-1/2))=√(1/2)+√(3/2)=(√2+√6)/2。当u=0时，y=√0+√(2+1)=√3。当u=1时，y=√1+√(2+0)=√3。比较(√2+√6)/2和√3，(√2+√6)²=8+2√12=8+4√3，(√3)²=3。因为8+4√3>3，所以(√2+√6)/2>√3。所以函数的最大值为(√2+√6)/2，最小值为√3。20.解：(1)圆O的圆心为(0,0)，半径为r=2。直线l的斜率为k，截距为b。直线l经过点(1,3)，代入直线方程得3=k*1+b，即b=3-k。所以直线l的方程为y=kx+3-k。圆心O(0,0)到直线l的距离d=|0*0+0*(3-k)+3-k|/√(k²+1)=|3-k|/√(k²+1)。因为直线l与圆O相切，所以d=r=2。|3-k|/√(k²+1)=2。两边平方得(3-k)²=4(k²+1)。9-6k+k²=4k²+4。3k²+6k-5=0。解得k=(-6±√(36+60))/6=(-6±√96)/6=(-6±4√6)/6=(-3±2√6)/3。所以直线l的方程为y=((-3+2√6)/3)x+3-((-3+2√6)/3)=((-3+2√6)/3)x+(9+3-2√6)/3=((-3+2√6)/3)x+(12-2√6)/3=((-3+2√6+12-2√6)/3)x+4=(9/3)x+4=3x+4。或y=((-3-2√6)/3)x+3-((-3-2√6)/3)=((-3-2√6)/3)x+(9+3+2√6)/3=((-3-2√6+9+3+2√6)/3)x+4=(9/3)x+4=3x+4。所以直线l的方程为y=3x+4。(2)圆心O(0,0)到直线l:3x-y+4=0的距离d=|3*0-0*1+4|/√(3²+(-1)²)=|4|/√10=4√10/10=2√10/5。21.解：(1)线段AB的长为√((n-1)²+(0-2)²)=√((n-1)²+4)=√(n²-2n+1+4)=√(n²-2n+5)。(2)设动点P在直线l:x=3上的坐标为P(3,y)。点P到点A(1,2)的距离|PA|=√((3-1)²+(y-2)²)=√(2²+(y-2)²)=√(4+(y-2)²)。点P到点B(n,0)的距离|PB|=√((3-n)²+(y-0)²)=√((3-n)²+y²)。动点P到点A和点B的距离之和为|PA|+|PB|=√(4+(y-2)²)+√((3-n)²+y²)。要使|PA|+|PB|最小，根据几何意义，点P应在线段AB的垂直平分线上。线段AB的中点M坐标为((n+1)/2,1)。线段AB的斜率为k_AB=(0-2)/(n-1)=-2/(n-1)。线段AB的垂直平分线的斜率为k=1/(2/(n-1))=(n-1)/2。垂直平分线的方程为y-1=(n-1)/2*(x-(n+1)/2)。令x=3，代入方程得y-1=(n-1)/2*(3-(n+1)/2)=(n-1)/2*((6-n-1)/2)=(n-1)/2*(5-n)/2=(n-1)(5-n)/4。y=1+(n-1)(5-n)/4=(4+(n-1)(5-n))/4=(4+5n-n²-5+n)/4=(-n²+6n-1)/4。所以点P的坐标为(3,(-n²+6n-1)/4)。将y=(-n²+6n-1)/4代入|PA|+|PB|：|PA|+|PB|=√(4+((-n²+6n-1)/4-2)²)+√((3-n)²+((-n²+6n-1)/4)²)=√(4+((-n²+6n-1-8)/4)²)+√((3-n)²+(-n²+6n-1)²/16)=√(4+(-n²+6n-9)²/16)+√((3-n)²*16+(-n²+6n-1)²)/4=√((64+