高中数学北师大版必修三第一章章末复习课

章末复习课网络构建核心归纳1.关于抽样方法(1)用随机数表法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数.(2)用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝eq\f(N,n)；如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝eq\f(K,n)(其中K＝N－多余个体数).(3)三种抽样方法的异同点类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，按各层个体数之比抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2.关于用样本估计总体(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤.(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，便于记录和表示.(3)平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据的波动程度.3.变量间的相关关系(1)除了函数关系这种确定性的关系外，还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系，对于一元线性相关关系，通过建立回归方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解，主要是作出散点图，写出回归方程.(2)求回归方程的步骤：①先把数据制成表，从表中计算出eq\o(x,\s\up1(－))，eq\o(y,\s\up1(－))，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi；②计算回归系数a，b.公式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up1(－))\o(y,\s\up1(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up1(－))2)，,a＝\o(y,\s\up1(－))－b\o(x,\s\up1(－))；))③写出回归方程y＝bx＋a.要点一抽样方法的运用1.抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.2.三种抽样方法比较【例1】(1)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A.6 B.8C.10 D.12(2)问题：①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会.方法：(1)简单随机抽样；(2)系统抽样；(3)分层抽样.则问题与方法配对正确的是()A.①(1)，②(2) B.①(3)，②(2)C.①(2)，②(3) D.①(3)，②(1)解析(1)分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本.设从高二年级抽取的学生数为n，则eq\f(30,40)＝eq\f(6,n)，得n＝8.(2)问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样.故匹配正确的是D.答案(1)B(2)D【训练1】某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A.11 B.12C.13 D.14解析抽样间隔为eq\f(840,42)＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1,20]).在[481,720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N＋.所以24eq\f(1,20)≤k＋eq\f(x0,20)≤36.因为eq\f(x0,20)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，1))，所以k＝24,25,26，…，35，所以k的值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.答案B要点二用样本的频率分布估计总体分布此类问题通常要对样本数据进行列表、作图处理.这类问题采取的图表主要有：条形图、直方图、茎叶图、频率折线图、扇形图等.它们的主要优点是直观，能够清楚表示总体的分布走势.除茎叶图外，其他几种图表法的缺点是原始数据信息有丢失.【例2】如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为()A.20 B.30C.40 D.50解析前3组的频率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×eq\f(2,1＋2＋3)＝0.25，设样本容量为n，则eq\f(10,n)＝0.25，则n＝40.故选C.答案C【训练2】有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；[30.5,33.5]，8.(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图；(3)估计小于30的数据约占多大百分比.解(1)样本的频率分布表如下：分组频数频率累积频率[12.5,15.5)60.060.06[15.5,18.5)160.160.22[18.5,21.5)180.180.40[21.5,24.5)220.220.62[24.5,27.5)200.200.82[27.5,30.5)100.100.92[30.5,33.5]80.081.00合计1001.00(2)频率分布直方图如图.(3)小于30的数据约占90%.要点三用样本的数字特征估计总体的数字特征为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中间两个的数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用eq\o(x,\s\up1(－))表示；标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用统计量，其计算公式是s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up1(－))2＋x2－\o(x,\s\up1(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up1(－))2]).有时也用标准差的平方(s2－方差)来代表标准差.【例3】(1)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(单位：分)()A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92(2)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010B.eq B.eq\f(2\r(10),5)C.D.eqD.q\f(8,5)解析(1)将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96(单位：分).故平均数eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(1,8)×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5(分)，中位数为eq\f(91＋92,2)＝91.5(分).故选A.(2)∵eq\o(x,\s\up1(－))＝eq\f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，∴s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up1(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up1(－)))2]＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)⇒s＝eq\f(2\r(10),5).答案(1)A(2)B【训练3】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图.(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为eq\o(x,\s\up1(－))1，eq\o(x,\s\up1(－))2，估计eq\o(x,\s\up1(－))1－eq\o(x,\s\up1(－))2的值.解(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意，知eq\f(30,n)＝0.05，解得n＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－eq\f(5,30)＝eq\f(5,6).(2)设甲、乙两校样本平均数分别为eq\o(x′1,\s\up5(－))，eq\o(x′2,\s\up5(－)).根据样本茎叶图知，30(eq\o(x′1,\s\up5(－))－eq\o(x′2,\s\up5(－)))＝30eq\o(x′1,\s\up5(－))－30eq\o(x′2,\s\up5(－))＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\o(x′1,\s\up5(－))－eq\o(x′2,\s\up5(－))＝0.5，所以eq\o(x1,\s\up1(－))－eq\o(x2,\s\up1(－))的估计值为0.5分.要点四数学思想方法1.数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想方法，在解决有关统计问题时，其作用尤为突出.在解题过程中，常结合统计图提取与题目有关的有用信息，例如，由频率分布直方图得出相应频数、频率等；通过茎叶图可直接得出抽样数据，从而求出中位数、众数等数字特征，并分析样本数据的大致分布情况；利用散点图能判断两个变量有无相关关系.【例4】从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图.观察图形，回答下列问题：(1)[69.5,79.5)这一组的频率、频数分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分以上为及格).解(1)频率为0.025×10＝0.25，频数为60×0.25＝15.(2)由频率分布直方图得(0.015＋0.025＋0.03＋0.005)×10＝0.75，所以及格率为75%.【例5】下面一组数据是某生产车间30名工人某日加工零件的个数，请设计适当的茎叶图表示这组数据，并由图说明这个车间该日的生产情况.134112117126128124122116113107116132127128126121120118108110133130124116117123122120112112解茎叶图如图该生产车间的工人加工零件数大多都在110到130之间，且分布较对称、集中，说明该日生产情况稳定.【例6】已知10只狗的血细胞体积及红细胞数的测量值如下表：血细胞体积x/mm345424648423558403950红细胞数y/百万6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72(1)根据上表画出散点图；(2)根据散点图判断血细胞体积x与红细胞数y之间是否具有相关关系.解(1)散点图如图.(2)由散点图可以看出，两个变量的对应点都集中在一条直线周围，且随x的增大，y也在增大.因此血细胞体积x与红细胞数y之间具有相关关系.2.函数与方程思想研究两个变量之间的相关关系，通常先作出相应的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系).本章学习了线性相关关系，通过建立回归直线方程(一次函数)，可以根据其部分观测值来预测两个变量之间的整体关系，其中体现了函数与方程思想.【例7】某企业上半年的某种产品的月产量与单位成本数据如下：月份123456产量/万件234345单位成本/(元/件)737271736968(1)产量与单位成本是否具有线性相关关系？若有，试确定回归直线方程.(2)指出产量每增加10000件时，单位成本下降多少？(3)假定产量为60000件时，单位成本是多少？单位成本为70元/件时，产量应为多少件？解(1)设x表示每月产量(单位：万件)，y表示单位成本(单位：元/件)，作散点图如下图.由图知y与x之间呈线性相关关系，设线性回归直线方程为y＝bx＋a.经计算得，eq\o(x,\s\up1(－))＝3.5，eq\o(y,\s\up1(－))＝71，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)