高三下学期数学专题八 平面解析几何（解析版）

专题八平面解析几何选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2024重庆名校联盟联考，2）已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C分析】结合焦距定义与渐近线方程定义计算即可得.【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则该双曲线的渐近线方程为.故选C.2.（2024河北石家庄质量检测三，2）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为.故选C.3.（2024湖南长沙雅礼中学综合测，2）圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程是A．B．C．D．【解析】因为圆心在y轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得，所以所求圆的方程为．故选A．4.（2024黑龙江部分学校三模，5）已知抛物线焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为（）A.4B.5C.6D.8【答案】D【分析】求出焦点的坐标，设出A，B坐标，利用的，结合抛物线的定义即可得解.【详解】由抛物线，可知，准线的方程为，设，因为，所以，所以，由抛物线定义知，点到准线的距离为.故选D.5.(2024重庆名校联盟联考，6）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】设出、、点坐标，由题意可得、两点坐标间的关系，用点的横纵坐标替换、点坐标代入计算即可得.【详解】设、，，则有，，即，，由题意可得，即，即.故选：D.6.（2024东北三省三校模拟，6）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左1，F2，点P在双曲线的右支上，I为△PF1F2的内心，记△PF1I，△PF2I，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1＝S2+，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．3【分析】根据双曲线的几何性质，内切圆的性质，方程思想，即可求解．【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则S2＝|PF3|r，S2＝|PF2|r，S3＝|F1F7|r＝cr，∴＝ar，又S1＝S2+，∴S1﹣S5＝，∴ar＝cr，∴e＝3，故选：D．7.（2024重庆检测，7）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（

）A.B.1C.D.2【答案】B【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.【详解】直线l：，整理得，由，可得，故直线恒过点，点到的距离，故；直线l：的斜率，故，解得故选：B.8.(2024江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校,8)已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（）A.2B.1C.D.【答案】D【分析】设直线方程为，直线方程为，且设，将直线分别与双曲线联立，求出，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】由题意设直线方程为，直线方程为，设则，同理，所以，，即.故选D.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（2024重庆八中适应性月考，9）已知双曲线过点且渐近线为，则（）A.的方程为B.的离心率为C.直线经过的一个焦点D.的两条渐近线的夹角的正切值为【答案】ACD【详解】若的焦点在轴，，又，则，若的焦点在轴，，又，则，舍；故的方程为，故A正确；所以的离心率为，故B错误；直线过的右焦点，故C正确；的两条渐近线夹角的正切值为，故D正确.故选ACD.10.（2024江苏省扬州中学模拟，9）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率B．C．面积的最大值为12D．的最小值为【分析】对于A，由椭圆方程及离心率概念可得；对于B，由椭圆定义可判断；对于C、D，由椭圆图形的结构特征和性质可得.【详解】对于A，由椭圆方程得，所以，所以离心率为，故A对；对于B，由椭圆定义可知，故B错；对于C，由椭圆图形的结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时，面积取得最大，最大值为，故C对；对于D，由椭圆性质可知，所以的最小值为2，故D错.故选：AC.11.（2024湖南长沙、浏阳重点校联考，11）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（）A.B.C.D.为中点【答案】BD【解析】【分析】由抛物线的焦点坐标可求出的值，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，设，根据结合韦达定理，求出的值，求出点的纵坐标，求出，可判断B选项；求出点的纵坐标，求出、，可判断C选项；计算出、，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为抛物线的焦点，则，可得，A错；对于B选项，如下图所示：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，由A选项可知抛物线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，不妨设，由图可知，，则，所以，，解得，则，所以，，B对；对于C选项，由B选项可知，，直线的方程为，联立，解得，则，所以，，，则，C错；对于D选项，因为，则为的中点，D对.故选：BD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.（2024黑龙江部分学校三模，13）已知圆C：，，若C上存在点P，使得，则r的取值范围为____________.【答案】[4，6]【分析】把转化为圆上的点，进而得出两圆位置关系求参即可.【详解】因为点，而点P满足，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除点A，B外)，圆M：(y≠0)，半径=1，又点Р在圆C：(r>0)上，圆C的圆心C(1，4)，半径为r，，依题意，圆M与圆C有公共点，因此，即，解得.13.（2024广东广雅中学适应性考试，13）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为________________.【答案】【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线的方程，从而求出点坐标，再联立直线与抛物线方程，求出点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，依题意直线的方程为，令可得，即，由，消去得，解得或，又，在轴的两侧，所以，则，所以，所以，解得或（舍去），所以抛物线的方程为.14.（2024福建南平模拟，14）椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为______．【答案】【分析】利用焦半径三角形的性质，即椭圆的几何定义，结合已知的线段比，就可以得到三边关系，从而利用勾股定理得到直角三角形，再解三角形即可得离心率.【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，短轴长为，则，由椭圆的定义得，所以，因为，所以，又，所以为椭圆的短轴端点．设为椭圆的中心，因为，所以，又在Rt中，，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（2024江苏省扬州中学模拟，16）已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为.(1)求C的方程；(2)过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.【分析】（1）由离心率，及顶点坐标得椭圆的方程；（2）设，，将直线方程与椭圆方程联立，求得，，由垂直关系利用数量积等于零，求得圆与x轴的交点.【解析】（1）由题可得，，得，所以椭圆的方程：；（2）椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为，设，，由题，联立方程组，消去x得，所以，，，得，同理，，得，设轴上一点，则，同理得:，，因为，得：，即或，所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，.16.（2024重庆南开中学质量检测，17）已知为圆上一个动点，MN垂直轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为.（1）求点的轨迹方程;（2）记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.【分析】（1）设，根据为的重心，得，代入，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得，设直线方程，与椭圆联立韦达定理，利用得，将韦达定理代入化简即可求解.解析】（1）设，则，因为的重心，故有：，解得，代入，化简得，又，故，所以的轨迹方程为.（2）因为的垂心，故有，又，所以，故设直线的方程为，与联立消去得：，由得，设，则，由，得，所以，所以，所以，化简得，解得（舍去）或（满足），故直线的方程为.17.（2024广东广雅中学适应性考试，17）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程．（2）设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合离心率的定义，将代入椭圆方程计算即可得；（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理表示交点横坐标的关系后，结合斜率公式表示出斜率之积后可得时，，计算即可得解.【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，所以，所以椭圆的方程为，因为椭圆过点，所以，解得，故，，所以椭圆的标准方程为；（2）假设存在定点．设，，易知直线的斜率显然存在，且不为0，设其方程为，联立椭圆方程与直线方程，得，消去并整理，得，所以，，由，解得，且，所以，则当时，为定值，此时．所以存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值．18.（2024山东齐鲁名校联盟检测，19）已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别交于点，与在第一象限的交点为．（1）证明：直线与相切．（2）若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的面积的最小值．【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可证明.【解析】（1）由题意知，设，则，所以，所以，所以直线的斜率为，方程为．联立方程得，因为，所以直线与相切．（2）（ⅰ）设直线的方程为，由可得，则，又因为，所以．由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，由得，由，得．作，垂足为，则，直线的方程为，将直线与的方程联立，得解得．所以，所以，由相似三角形的性质可得．（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，因，所以（当且仅当时等号成立），故，即的面积的最小值为．19.（2024山东青岛模拟，18）已知双