山东省济南市长清区2025-2026学年高二上学期期中学习质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济南市长清区2025-2026学年高二上学期期中学习质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率，因为直线与直线垂直，所以，即，设直线的倾斜角，则，所以直线的倾斜角.故选：C.2.已知空间向量，则（）A.15 B. C.17 D.【答案】D【解析】由题意知，.故选：D.3.若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（）A.或 B.C. D.【答案】C【解析】因为焦距为8，所以，即．若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则，此时，椭圆不存在，舍去；若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则，此时，，所以，椭圆存在，故椭圆的焦点在轴上，标准方程为．故选：C.4.过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（）A.6 B.4 C. D.【答案】B【解析】圆的圆心，半径，由题意可得，则，则当取得最小值时，线段长度的最小，则，所以.故选：B.5.设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A.或 B.或 C. D.【答案】B【解析】依题意，直线的斜率分别为，如图所示：若直线过点且与线段相交，则的斜率满足或，即的斜率的取值范围是或.故选：B.6.在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，，.故选：D.7.已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（）．A.13 B.12 C.25 D.16【答案】C【解析】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：C.8.如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以，为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（）A.直线l恒过定点B.圆C被y轴截得的弦长为C.直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为D.直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为【答案】BD【解析】将直线l的方程整理为，由，解得.则无论m为何值，直线l恒过定点，故A不正确；令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；无论m为何值，直线l不过圆心，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C错误；当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为，即，故D正确.故选：BD.10.记椭圆与椭圆内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上任意一点，则（）A.椭圆C1与椭圆C2的离心率相等B.曲线C关于y＝±x对称C.P到点(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距离之和为定值D.P到原点的距离的最大值为【答案】ABD【解析】由已知椭圆的长轴长和短轴长都分别相等，因此焦点也相等，从而离心率相同，A正确；用替换方程中的得的方程，同样用替换中的得方程，因此椭圆与椭圆关于直线对称，同理可得它们也关于直线对称，因此它们的公共部分边界线关于直线对称，B正确；是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，在椭圆上时，是定值，但不是定值，所以不是定值，C错；设椭圆上在第一象限内的点，则，随的增大而增大，由对称性，曲线上，当点在直线上时，最大，，，因此，D正确．故选：ABD．11.在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（）A.点可以是棱的中点 B.线段的最大值为C.点轨迹是正方形 D.点轨迹的长度为【答案】BD【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为，分别为的中点，则，，，，所以，设，则，因为，所以，，当时，；当时，；取，，，，连接，，，，则，，所以四边形为矩形，则，，即，，又，且平面，平面，所以平面，又，，所以为中点，则平面，所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹为四边形，因此点不可能是棱的中点，即A错；又，，所以，则点的轨迹不是正方形；且矩形的周长为，故C错，D正确；因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B正确.故选：BD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线与之间的距离为，则实数__________.【答案】4或或或4【解析】由题意知，直线，可变形为，所以两平行线与之间的距离为，解得或4.故答案：或413.在空间直角坐标系中，已知，，则到的距离为__________.【答案】【解析】因为，.所以.所以，所以点到直线的距离为：.故答案为：.14.已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是_____________．【答案】或【解析】由可得，即直线过定点，由可得，即曲线C：，作出曲线与直线的图象，如图，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，即，解得或（由图可知不符合题意，舍去），由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点.故答案为：或.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设a=，b=.(1)设|c|=3，c//，求c；(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k.解：(1)因为且c//，所以设得,解得即(2)因为,所以又因为所以即解得k=2或16.如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，.（1）求线段的长；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求证：.（1）解：设，，，则，，，.因为，所以，所以线段的长为.（2）解：设异面直线与所成的角为，则，因为，，所以，，则，即异面直线与所成的角的余弦值为.（3）证明：因为，，所以，所以，即.17.如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，且，点为的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.解：（1）在中，，由余弦定理，得，有，所以，又平面，平面，所以，建立如图空间直角坐标系，，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，故点B到平面的距离为.（2）由（1）得，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，故，即平面与平面所成锐二面角余弦值为.18.已知，是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，且.（1）求的离心率；（2）设，分别为的左、右顶点，点在上（不与，重合），证明：.（1）解：由，得，得，由题意设，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以点是椭圆短轴的一个端点，所以，因为，得，所以椭圆的离心率为.（2）证明：由（1）可得椭圆方程为，则,因为点是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设,由椭圆的对称性，不妨设，，,则，，所以，，所以，所以当时，取得最小值，由（1）可知，所以，所以当取得最小值时，取得最小值，即点与点重合时，取得最小值，此时取得最大，所以.19.现定义：若圆A上一动点，圆A外一点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆A的“白银点”.若点G同时是圆A和圆B的“白银点”，则称G为圆“”的“黄金点”.已知圆.（1）若点为圆A的“白银点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；（2）已知圆，且均为圆“”的“黄金点”.（i）求直线的方程；（ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与圆交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设，因为点为圆的“白银点”，所以，即，得到.所以的轨迹方程为.点的轨迹是以为圆心以为半径的圆.（2）（i）因为为圆“”的“黄金点”，所以同时为圆与圆的“白银点”，由，则，即点在圆上，由为圆