山东省济宁市兖州区2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济宁市兖州区2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若过点的直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由过点的直线的倾斜角为，得，所以.故选：D.2.已知向量，，若与共线，则（）A.12 B.9 C. D.【答案】C【解析】由向量，共线，故存在，使得，即，解得，，所以．故选：C．3.从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（）A.和不互斥 B.和互斥且不对立C.和不互斥 D.和互斥且不对立【答案】D【解析】这个试验的样本空间为，则和互斥且对立，和互斥且但不对立．故选：D.4.在空间直角坐标系O-xyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为，，则l，m所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】l，m所成角的余弦值为==.故选：D.5.不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为：，共10个样本点，其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个.所以数字之和是偶数的概率为.故选：B6.在三棱锥中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若，则（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】设，则，所以,解得．故选：D.7.如图，在棱长为1的正方体中，那么直线与平面所成的角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成的角为，，则，．故选：B．8.已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，，化简后得，相减得，将，代入后化简可得.故选：D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（）A.“从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点B.“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为C.“丁、戊至多有一人被录用”的概率为D.“甲或乙被录用”的概率为【答案】ABD【解析】由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，故A正确；其中“甲，乙，丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），共7种，故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为．故B正确；其中“丁，戊至多有一人被录用”的对立事件“丁，戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有（甲，丁，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共3种，故“丁，戊至多有一人被录用”的概率为．故C错误；其中“甲或乙被录用”的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有（丙，丁，戊）这1种，故“甲或乙被录用”的概率为1－．选项D正确．故选：ABD.10.已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（）A.直线过定点B.半径的取值范围是C.当时，线段长的最小值为D.当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则【答案】ACD【解析】由直线l：，可化为，由方程组，解得，即直线过定点，A正确；因为直线与圆总有两个公共点，得点在圆内部，所以，解得，B不正确；当时，圆的方程为，得圆心，所以，可得线段长的最小值为，C正确；当时，圆的方程为，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，所以到直线的距离为2，所以，D正确.故选：ACD.11.如图1，在平行四边形中，，，，是中点，把沿直线翻折成（点位于平面上方），连接，，是中点，设平面与平面所成二面角为，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，C.当时，直线与平面所成的角的正弦值是D.当时，三棱锥外接球的半径最大值是【答案】BD【解析】在图1中，因，，是中点，且，则，由余弦定理，则，所以，故在翻折后得图2中，，所以为平面与平面所成二面角的平面角，即.对于A，当时，为等边三角形，如图以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，则，故A错误；所以，故B正确；对于C，当时，在轴上如图所示，则，则，又平面的一个法向量为，则，故直线与平面所成的角的正弦值是，故C错误；对于D，因为在平面翻折过程中，因，，且，平面，所以平面，又平面，故平面平面.设为的外心，分别为的中点，则，又平面平面，平面，所以平面，设是三棱锥外接球的球心，因为是直角三角形，为的外心，则平面，从而越大，则外接球半径越大，从而的外心到平面的距离越大，进而可知需越大，即越大，由，可知时，符合题意，此时因，设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为____________.【答案】【解析】由题可知：甲、乙至少有一人中靶的概率为.故答案为：.13.已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是________．【答案】相离【解析】圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为1，由两圆存在四条切线，故两圆外离，则．，即或，可得或，圆的圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离，直线与圆相离．故答案为：相离.14.记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为___________．【答案】【解析】由题意，得正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，令，可得，故点到平面距离为，故圆的半径，由得，，故，故的最小值为．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图所示，已知三角形的三个顶点为，求：（1）边上的中线所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程；（3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程.（注意：最后结果统一用一般式表示）解：（1）由已知得的中点，即，解法一：边上的中线的两点式方程为，即；解法二：边上的中线的斜率为，所以中线的方程为：，即.（2）因为，又，则，所以，则直线的方程为，即.（3）由已知得的中点，即，因为分别是线段的中点，所以，即，又，所以，则直线所在直线的方程为：，即.16.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局．（1）设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率；（2）若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率．解：（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型，样本空间：共个样本点，事件含有：.共12个样本点，故．（2）记事件为第局甲胜，，由题意知，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立，则，，因为，且事件与互斥，所以，所以甲恰好胜一局的概率为．17.如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.（1）证明：，平面为平行四边形，，平面，平面，平面．（2）解：设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，设直线与平面所成角为，则．（3）解：正方体棱长为2，同（2）中假设，，平面的法向量，点到平面的距离．18.已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A．（1）求圆的标准方程；（2）求r值以及点A的坐标；（3）过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程．解：（1）设圆，由题意可知，解得，所以圆的标准方程为.（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，因为两圆内切于点，所以，解得或（舍去），所以圆的标准方程为，联立，解得，所以点的坐标为.（3）由题意可知，直线的斜率显然是存在的且大于，设直线的方程为，即，圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得，圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得，所以，解得或（舍去），故直线的方程为.19.如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合），且满足，实数.（1）求三棱锥的体积.（2）若二面角的余弦值不超过，求实数的取值范围.（3）求四面体的外接球半径的取值范围.解：（1）根据题意，，又，因为在直三棱柱中，，，当点是线段上的中点时，平面，所以点到平面的距离，即三棱锥的高，所以.（2）在直三棱柱中，，，，则以为原点，以为轴，以为轴，以为