山东省青岛市四区联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市四区联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设倾斜角为，直线的斜率为，所以，∴，故选．2.已知向量，分别是直线，方向向量，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】因为，所以，可得，解得，则，故D正确.故选：D.3.已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由题意得，则，设，因为的面积为，所以，解得，即.可得，解得，则点的横坐标是，故B正确.故选：B.4.若，，，四点共面，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】因为，，，，所以，，，若四点共面，则，可得，解得，故选项A正确.故选：A.5.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得圆的圆心坐标为，半径为．设点关于直线对称的点，则，解得，．由轴对称的性质得新圆的半径为，对称的圆的方程为，故A正确.故选：A.6.若点在圆外，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为方程表示圆，所以，解得，因为点在圆外，所以，解得，则，故C正确.故选：C.7.正四棱锥中，，，点是的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以底面中心为原点，取中点，中点，易知两两垂直，以方向为建立空间坐标系，如下图：，，由，正方形对角线长度为2，可得，为中点，则，，，，，点到直线的距离.故选：C.8.已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，作出符合题意图形，找到椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，可得，因为，所以，则是等边三角形，由矩形性质得，由等边三角形性质得，，结合题意可得，由椭圆的定义得，可得，化简得，故A正确.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，则（）A.过定点B.当时，与直线垂直C.当时，与直线平行D.当时，在两坐标轴上的截距相等【答案】ABC【解析】对于A，令，解得，则过定点，故A正确，对于B，当时，得到，可得，得到与直线垂直，故B正确，对于C，当时，得到，而，，则与直线平行，故C正确，对于D，当时，得到，令，解得，令，解得，可得在两坐标轴上截距不相等，故D错误.故选：ABC.10.在正方体中，，，，分别是，，，的中点，则（）A.平面B.，，，四点共面C.在线段上存在一点，使得平面D.在线段上存在一点，使得在上的投影向量为【答案】ABD【解析】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，连接，由题意得所求结论与正方体边长无关，不妨设正方体边长为，则，，，，，，，，，，，对于A，由题意得，，则，因为平面，平面，所以平面，故A正确，对于B，设，则，所以，解得，故，即，，，四点共面，故B正确；对于C，假设在线段上存在点，符合题意，设（），则，若平面，则，,因为，，所以，此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；对于D，由投影向量公式得在上的投影向量为，若在上的投影向量为，则，令，可得，，由模长公式得，由空间向量数量积的运算法则可得，满足，故D正确.故选：ABD.11.已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（）A.的方程为 B.的最小值为C.的最小值为2 D.直线恒过定点【答案】ABD【解析】对于A选项，已知，即，整理得，A选项正确；对于B选项，在直线上，圆心到直线距离，圆的半径为2，所以的最小值为，即B选项正确；对于C选项，设，切点弦的方程：.圆心到的距离：，弦长：，，，令，则，，，最小值为，C选项错误；对于D选项，直线即，对任意成立⇒过定点满足：，解得定点，D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆的公切线的条数为_____.【答案】2【解析】对于圆，可得圆心为，半径为，对于圆，可得圆心为，半径为，由两点间距离公式得圆心之间的距离为，而，则两圆相交，可得两圆的公切线条数为2.故答案为：2.13.已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是_____.【答案】【解析】设点，则，整理得，显然.所以点的轨迹方程为.故答案为：.14.已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，则直线与直线所成角的余弦值最大为_____.【答案】或0.5【解析】平面四边形，，，则，过作于，取中点，连接，则，，过作平面的垂线，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设二面角的大小为，在翻折过程中始终垂直于，则，，设直线与直线所成角为，因此，当且仅当时取等号，所以直线与直线所成角的余弦值的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知，.（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）若圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程.解：（1）因为，，所以的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为，即的直线方程为，化简得.（2）由垂径定理得，圆心在的中垂线上，联立，解得，，即圆心为，所以圆的半径，所以所求圆的标准方程为.16.如图，四棱柱的底面是矩形，，，，为棱的中点.（1）求的长；（2）求直线与直线所成角的余弦值.解：（1）设，则，，所以，所以．（2），，，设直线与所成角为，则，所以直线与所成角的余弦值为．17.如图，三棱柱的侧面为菱形，平面平面，，.（1）证明：；（2）点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取的中点，连接，不妨设，因为四边形为菱形，所以，则，得到三角形是等边三角形，，面，因为平面平面，所以平面，而，可得，作，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，设，由题意得，，，，则，，，因为，所以，可得，解得，而，得到，化简得，解得（负根舍去），故，而，得到，故.（2）解：设，可得，，，，同理可求，则，，，设平面的法向量，可得，令，解得，，得到，设点到平面的距离为，由点到平面的距离公式得，因为点到平面的距离为，所以，解得，此时，，，，可得，，设面的法向量为，可得，令，解得，，得到，设直线与平面所成角为，可得.18.如图，椭圆的长轴长为4，离心率为.（1）求的标准方程；（2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，.（i）求的值；（ii）求直线的斜率的最小值.解：（1）因为椭圆的长轴长为4，离心率为，所以，，解得，，，可得的标准方程为.（2）（i）如图，由对称性设，，，，则，得，故，，则，可得为定值；（ii）由，联立，由根与系数的关系可得，所以，所以，可得，又，联立，由根与系数的关系可得，所以，所以，可得，所以，由图知，所以，即，当且仅当，即时取等.所以直线的斜率k的最小值为．19.用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线.（1）说明：曲线为椭圆；（2）建立适当坐标系，求曲线的方程；（3）当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小.解：（1）曲线W是椭圆的几何理由：可将“的点”视作以为顶点、为轴为母线的圆锥面上的点，圆锥轴截面的半顶角为，点，点的轨迹为此圆锥面与平面的交线.因为已知直线与平面垂直，垂足为，，所以，因为在直角三角形中，，，点在线段上，为的平分线，所以与平面所成的角为，，若圆锥的轴与平面所成角（）大于圆锥轴截面的半顶角（），按圆锥曲线的判定规律可知该截线必为椭圆.（2）可取空间直角坐标系：令为原点，令平面为平面，由于平面，可令过点平行于的直线为轴，又知中，，，因为点在上且平分，由角分线定理得，则，.设平面内任意点坐标为.向量，.由可用向量夹角公式，所以，化简可得，所以曲线的方程为；（3）四面体的底面可取三角形(其平面即)，面积为.若在上一步所求椭圆上，则其到平面的距离即.四面体体积，要使最大，需在椭圆上使取最大值.下面用两种方法计算求解.法一：