陕西省榆林市2025-2026学年高二上学期期中校际联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省榆林市2025-2026学年高二上学期期中校际联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为直线的斜率为，设其倾斜角为，则，且，所以.故选：A.2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（）A. B.4 C. D.10【答案】B【解析】因为，所以，所以，解得，故选：B．3.圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圆心坐标为，且圆与轴相切，圆的半径等于圆心到轴的距离，圆的方程为：，故D正确．故选：D．4.圆与圆的公共弦所在直线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，所以圆心，半径；由，所以圆心，半径.所以，且，所以两圆相交.所以两圆公共弦所在的直线方程为：，即，就是.故选：B.5.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下，为，故C正确.故选：C.6.已知平行直线与之间的距离为，则实数（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】因为与平行，所以，得，则，所以，计算得或，所以或.故选：A.7.定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为向量在基底下的斜坐标为所以，所以向量在基底下的斜坐标为.故选：D.8.如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因正方体的棱长为2，由图易得：，，，，，而，分别是棱，的中点，可得，，则，，设平面的法向量为，依题意在平面上，所以，则，因为，所以，则，令，，，故，而，设直线与平面所成角为，可得，故C正确.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线的方程为，则下列选项正确的有（）A.直线不经过第二象限 B.直线的一个方向向量为C.直线在轴上的截距为 D.直线在轴上的截距为3【答案】ACD【解析】直线的方程为，化为斜截式得：，当时，，即直线在轴上的截距为，故C正确；当时，，即直线在轴上的截距为3，故D正确；直线经过第一、三、四象限，故A正确；直线的方向向量与直线斜率一致，直线斜率为，直线的一个方向向量为，对应斜率为，不是直线的方向向量，故B错误．故选：ACD．10.下列命题为真命题的是（）A.若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底B.点为平面上的一点，为平面外一点，且，则C.若平面的法向量为，直线的方向向量为，则D.若两个不重合的平面，的法向量分别是，，则【答案】BD【解析】对于A，，即共面，故不是空间的一组基底，故错误；对于B，由点为平面上的一点，为平面外一点知四点共面，故，即，故正确；对于C，由于，故或，故错误；对于D，由于，即，所以，故正确；故选：BD11.已知直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.当直线与圆相切时，切线方程是C.当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于D.圆上的一点到直线的最大距离是【答案】ABD【解析】对于A，将直线转化为，由，解得，直线恒过定点，A正确；对于B，圆，可得圆心，半径，由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离，即，解得，故切线方程为，即，B正确；对于C，当时，直线，点到此直线距离为，因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误；对于D，因为直线恒过定点，可得，当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线与的交点坐标是________．【答案】【解析】由得，所以交点坐标是.故答案为：.13.已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】因为方程表示的曲线是一个圆，所以，解得，所以的取值范围为，故答案为：.14.如图①，在中，，分别为，上的点，，，，．如图②，将沿折起，当平面平面时，点到平面的距离为________．【答案】或【解析】由得，所以，因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面一个法向量是，则，取得，所以点到平面的距离为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线经过、两点．（1）求直线的方程；（2）设直线，若，求实数的值．解：（1）直线经过、两点，，直线，即：．（2）由，直线，，得，解得，即实数的值为．16.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.（1）试用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.解：（1），，故∵点E为AD中点，故.（2）由题意得，故，故.17.已知圆的半径为2，圆心在射线上，点在圆上．（1）求圆的标准方程；（2）请判断圆与圆的位置关系，并说明理由．解：（1）由圆的圆心在射线上，设圆心的坐标为，又圆的半径为2，点在圆上，则，则，所以圆的标准方程为.（2）圆与圆外切，由（1）知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径，，所以圆与圆外切.18.如图，正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题：（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，即，，又，平面，所以平面．（2）解：由（1）知，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，由（1）知平面一个法向量为，故，所以二面角的正弦值为．19.已知圆，直线．（1）求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点；（2）设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程；（3）是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？（1）证明：证法1：联立直线与圆的方程得，整理得，，直线与圆总有两个不同的交点．证法2：圆，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为：，又，，直线与圆总有两个不同的交点．（2）解：设圆心到直线的距离为，则，如下图所示，，取中点，则，，，，，即，解得，直线的方程为或．（3）解：，由