上海市杨浦区2026届高三上学期11月阶段练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市杨浦区2026届高三上学期11月阶段练习数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）在答题纸的相应位置直接填写结果；1.函数的零点为___________.【答案】【解析】令，解得，，又因为，所以，所以的零点为，故答案为：.2.设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________.【答案】2【解析】因为不能组成平面上的一个基底，所以，得，解得.故答案为：2.3.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.【答案】【解析】依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故答案为：.4.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________.【答案】.【解析】因为复数在复平面内的对应点在第三象限，则，所以则x的取值集合为；故答案为：.5.若，，，则的最小值为________．【答案】32【解析】因为，，，所以，由基本不等式可得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为32．故答案为：32.6.若满足，则曲线在点处切线的倾斜角为__________.【答案】【解析】，设其倾斜角为，则有，又，故.故答案为：.7.设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．【答案】【解析】设，，则，，所以，也即，因为，的中点为，所以，，所以，所以，所以直线的斜率为，经检验满足题意．故答案为：.8.若，则集合B的子集的个数为________.【答案】【解析】因为，所以，则集合B的子集为，所以子集的个数为；故答案为：.9.在中，是边的中点.若，，，则_________．【答案】【解析】如图所示，由题意得，因为，，，所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：，所以，又D是BC中点，所以，所以.故答案为：.10.已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，___________.【答案】【解析】，又，所以，对于任意成立，等价于，当且仅当时取到最小值，则，解得.故答案为：.11.设，的最小值为___________.【答案】【解析】设，设，，把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则，所以，当且仅当四点共线时取最小值，则的最小值为.故答案为：.12.已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论：①的最小值为；②当与坐标轴平行时，最小值为2；③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则；④当直线均为曲线和的公切线时，线段的中点在轴上．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】对于①：因为与互为反函数，它们的图象关于对称，所以的最小值就是点到直线的最小距离的2倍.对求导得，令，解得.此时，即曲线在点处的切线斜率为1，切线方程为，即.切点到直线的距离为，即点到直线的最小距离为，所以的最小值为，故①正确；对于②：当与坐标轴平行时，若与轴平行，此时，则.令，对其求导得，在上单调递增，且，所以存在，使得，即.当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，即；若与轴平行，则可设，（）则，同理可证.综上可知，当与坐标轴平行时，最小值不为2，故②错误；对于③：当四边形为正方形时，因为与互为反函数，它们的图象关于对称.如图，设（），则，因为可由逆时针旋转得到，故，又，可得，且，，故，且，设，设，由，则有；又，联立可得（），由，可解得，则由可得，，若，则，所以，可得，则，这与矛盾；若，则，所以，可得，则，这与矛盾；故，即，从而.所以与直线平行，由此可知与，与关于直线对称；则可设（），所以；；则，可得，所以，所以有，即.令，（）再令，则，故在上单调递增，则，所以即.则，所以，故在上单调递减，由，且，故在内有唯一零点，即方程有唯一解，故仅存在一个这样的正方形.且，，且在为单调增函数，故，故，故③正确；对于④：如图，由图象可知，两函数恰有两条公切线，且两公切线也关于对称.设两公切线分别与相切的切点为，.则点关于直线的对称点即为公切线与相切的切点，由，则公切线的斜率，所以，可得，故线段的中点在轴上，故④正确.故答案为：①③④.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑；13.“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“”成立，则或，当时，，当时，，因此，“”可以推出“”，若“”成立，利用代入，得，即，这只能说明，不能推出“”，例如，当时，，但且，所以，“”是“”的必要不充分条件，故选：A.14.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时【答案】B【解析】由题意可知，即有，令，则有，解得，，故还需要4小时才能消除至最初的.故选：B.15.设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究，因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数，所以只需要在区间是单调函数即可，根据选项可知只需要满足时取值，故，根据余弦函数的单调性，若满足，解得，若满足，解得，若满足，无解，故必满足题意，而，则ABC错误；故选：D．16.已知，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（）A.存在，使得的点C有且只有一个B.任意，使得的点C至少一个C.存在，使得的点C有且仅有两个D.任意，使得的点C最多两个【答案】D【解析】根据题意，，，则，，函数为双曲线的一部分（如图），因为双曲线的渐近线为，所以直线与函数图象交于一点，设直线与函数，图象相切，联立方程组，得，令，得，由图可知，，此时直线与间的距离为，又，当点C为切点时，，又过点与直线平行的直线为，其与直线的距离为，所以当点C为或时，，所以当时，使得的点C有且只有一个，A正确；由于函数，图象向右向上无限延伸，所以点C到直线的距离可以无限大，从而任意，使得的点C至少一个，B正确；当，或时，使得的点C有且仅有两个，C正确；而当时，使得的点C有三个，故D错误.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17.已知等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）因为等比数列满足，则，两式相除可得，解得.所以的通项公式为.（2）.所以.18.某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率.解：（1）因为，所以.平均值：（2）抽取的3天中，“轻度超标日”有2天，记为a，b，“重度超标日”有1天，记为A，样本空间，设事件B为这2天都是“轻度超标日”，则.因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.所以.19.如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，.（1）证明：；（2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离.（1）证明：连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面，所以，又因为BC是直径，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）解：依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，连接OP，设，则，所以，设平面的一个法向量为，所以，则，令，则，所以，设为平面的一个法向量，则，，所以，令，则，所以，因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，所以，令，则，平方化简得，即，又由，可解得或（舍去），所以，所以平面PCA的一个法向量，且，所以点D到平面PCA的距离.20.已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.（1）若，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求证：；（3）求的最小值.（1）解：设，，，与联立可得，，，，，因为，所以，由可得，故因为在第一象限，所以，解得，由得；（2）证明：由题意得，，故，，，则，即；（3）解：由（1）得，，故，因为，所以，当时，，，，故，，，故，所以⊥，，则，由对称性可知，则，当时，，，由得，将其代入中得，显然，当时，，当时，，解得，，，因为，其中，由（2）知，又，故，故，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，由于，故.21.给定函数，若过点恰能作曲线的条切线，则称是的“秩点”，切点的横坐标为的“秩数”.（1）若是函数的“秩点”，求其“秩数”；（2）证明：是函数的“0秩点”；（3）记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为.证明：对，，且，有.（1）解：设切点为，由已知得，所以切线方程为，又切线过点，将其代入切线方程得，即，所以或2，则“秩数”为0和2.（2）证明：假设过点存在切线与函数相切，设切点为，且有，所以切线方程为，又切线过点，所以，令，，则.令，解得，，0，或，当时，，当时，，故在区间，，上单调递减，在区间，，上单调递增，所以，又，，故，故，，即方程无实数解，假设不成立.故是的“0秩点”.（3）证明：由已知得，则曲线在点处的切线方程为.故点当且仅当关于的方程