高考数学 第9节　函数与方程

课标解读1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.会判断函数零点所在区间及零点个数.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.3.能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.知识梳理1.函数的零点函数零点的定义：对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数[教材知识深化]1.函数的零点不是一个点，而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.函数y=f(x)的图象与x轴有公共点方程f(x)=0有实数解误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域，零点必须是定义域中的2.函数零点存在定理不断的曲线端点值满足f(a)f(b)<0条件结论[教材知识深化]1.零点存在定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数.若函数在某区间上是单调函数，又满足零点存在定理，则该函数在该区间上有唯一一个零点2.图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值同号.3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定零点x₀的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精度ε.(2)求区间(a,b)的中点c.(4)判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复第(2)~(4)步.1.奇偶函数的非零零点成对出现，且互为相反数.2.周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点.一、基础自测(3)偶函数若有零点必有偶数个.(×)(4)只要函数有零点，就可以用二分法求出其近似值.(×)2.(人教B版必修第一册习题3-2B第5题改编)函零点所在的大致区间是(C)3.(人教A版必修第一册习题4.5第13题改编)若函数y=ax²-2x+1只有一个零a=1.综上，实数a的值为0或1.二、连线高考解析(方法一)由得,设,h(x)在(-1,1)上为偶函A.(2,3)B.(3,4)象在区间[3,4]上是一条连续不断的曲线，根据零点存在定理知该函数的零则n的值为(B)解析易知函数f(x)=x+2x的定义域为R,且f(x)在R上单调递增.规律方法首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，(a,b)内必有零点，若没有，则不一定有零点通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断[对点训练1](1)(2024·北大附中模拟)已知f(x)=22x+x-2,若f(x₀)=0,则x₀所在区间为(BCCB解析由已知得函数f(x)连续且单调递增，由函数零点存在定理可知存在.使得f(x₀)=0,故选B.解析易知f(x)=ex+4x-3在R上单调递增.的图象是一条连续不断的曲线，则f(x)的零点在区间内，又k∈Z,所以k=1.故选C.A.2B.1或2C.3D.1或3取值集合为(0,+o).由g(x)=0,,得|Inx|=k,解得x=e-k或x=ek,g(x)在(0,+∞)上有2个零点，所以函数g(x)的零点个数为2.故选A.规律方法解方程f(x)=0,该方程有几个不同的根就有几个零点解方程f(x)=0,该方程有几个不同的根就有几个零点单个函单个函数图象两个函则f(x)的零点个数就是h(x)和g(x)的图象的交点个数及性质确定满足g(x)=t的x的个数即得零点个数A.当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点D.当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点解析研究函数f(x),g(x)的零点个数转化为研究函数的图象与直线y=a的交点的个数.作出y=|2*-1|,y=x²-4|x|+2的大致图象，如图所示.解析作出函数t=f(x)+1,t=t₁,t=-2,t=0的图象如图所示.由图象可知，直线t=t₁与函数t=f(x)+1的图象有2个交点；-5-4-3-2-1直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有2个交点；直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有1个交点.综上所述，函数y=f(f(x)+1)的零点个数为5.故选D.考向1根据函数有零点求参数b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为()A.[0,1]B.[0,1]化为函数y=f(x)的图象与直线y=b有四个交点，由函数y=f(x)解析式可知，当332解析因为零点，故.5变式探究1本例(1)中，若所有条件不变，且设四个不同的零点分别为x₁,x₂,x3,x4(x₁<x₂<x₃<x4),那么x₁x₂x₃x4的取值范围是[0,1].解析由本例(1)的解题过程可知，x₁+x₂=-2,x₃x4=1,变式探究2函数y=sint的图象与直线y=m在上有两个不同的交点，画出函数亿亿2元4πy=m元4π202考点一考点一已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解.考点一考点一考向2根据函数零点的范围求参数例4已知函数f(x)=2x+log₂x+b在区间内有零点，则实数b的取值范围是 所以即解得-10<b<0.规律方法规律方法根据零点的取值范围求参数范围的方法(1)直接法：直接求出函数的零点，将零点用参数表示，解关于参数的不等式即得参数的取值范围；数零点存在定理求解；[对点训练3]若函数f(x)=ln.在区间(1,e)内存在零点，则实数a的取值范CD因为f(x)=ln在区间(1,e)内存在零点，所以f(x)=ln在区间(存在唯一零点，所以考向3等高线的应用解析作出函的图象与直线y=m如图所示.-2,x₃>0,x₄>0,且1-lnx₃=-(1-lnx₄),则1nx₃+lnx₄=2,即1n(D.abc的取值范围是(0,4)故D正确.因为3<c<4,所以3<6-(a+b)<4,则2<a+b<3,故C正确.规律方法规律方法等高线问题重在“减元”,要充分利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量取值之间的等量关系.[对点训练4](1)已知函若方程f(x)=a有四个不同的解x₁,x₂,x₃,x4,且x₁<x₂<x₃<x₄,则的取值范围是()解析