2025-2026学年上海交大附中高一上学期数学周练（含答案）

交大附中2025-2026学年第一学期高一年级数学周练一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，则．

2．不等式的解集为.

3．若集合，且，则．

4．设集合，若，则的取值范围是．

5．已知，则的取值范围是．

6．已知为实数且，给出下列不等式：①；②；③；④．其中不正确的为．（填写相应的序号）

7．已知正实数满足，则的最小值为．

8．已知，则的最小值为．

9．设是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则实数的值为．

10．若＂存在，使得＂为假命题，则实数的取值范围为.11．若集合中恰含有2个整数，则实数的取值范围是．

12．已知表示中的最小值若，则的最大值是.

二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）

13．＂＂的一个充分非必要条件是（）.

A．B．C．D．

14．设集合，则（）.

A．B．C．D．

15．已知集合，则中元素的个数为（）.

A．9B．8C．6D．5

16.已知为实数，若同时满足不等式与的全体实数所组成的集合等于．则关于结论：

①至少有一个为0；②．下列判断中正确的是（）.

A．①和②都正确B．①和②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确三、解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤）

17．（本题满分14分，题（1）满分7分，题（2）满分7分）

（1）设，求关于的方程的解集；

（2）已知，若．证明：中至少有一个不小于0．

18．（本题满分14分，题（1）满分6分，题（2）满分8分）

设全集，集合，其中．

（1）若，求；

（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．

19．（本题满分14分，题（1）满分6分，题（2）满分8分）

设集合．

（1）若集合至少有一个元素，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．20．（本题满分18分，题（1）满分4分，题（2）满分6分，题（3）满分8分）

假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.

（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式；

（2）证明你提炼出的不等式；

（3）运用你提炼出的不等式证明：，其中且．

21．（本题满分18分，题（1）满分4分，题（2）满分6分，题（3）满分8分）

若集合中有且仅有三个元素，且同时满足①；②；

③为偶数，那么称集合具有性质．

设集合，其中且，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均为集合的元素，则称集合是集合的＂期待子集＂．

（1）对于集合，是否存在具有性质，并说明理由；

（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的＂期待子集＂；

（3）证明：＂集合存在具有性质＂的充要条件是＂集合是集合的＂期待子集＂．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.12．已知表示中的最小值若，则的最大值是.【答案】【解析】令，因为，所以，

所以，当且仅当时取等号，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以当且，即时，的最大值为．二、选择题13.C14.A15.C16.A15．已知集合，则中元素的个数为（）.

A．9B．8C．6D．5【答案】C【解析】因为集合

共6个元素．故选：．16.已知为实数，若同时满足不等式与的全体实数所组成的集合等于．则关于结论：

①至少有一个为0；②．下列判断中正确的是（）.

A．①和②都正确B．①和②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确【答案】A【解析】将三个不等式相加可得：恒成立，∴中至少有一个为正数，不妨设，

若，则原三个不等式的解集都是，，或的形式，

它们的交集不可能为的形式；

若，则的解集是，或形式，它们的交集也不可能为的形式；同理若，也不满足题意，综合可得中至少有一个为0，不妨设，则，当时，解得，不满足题意；

当时，解得，满足题意，综上所述可得：①②都正确．故选：．三、解答题17.（1）当时，解集为当时，解集为（2）证明略18.（1）（2）19.（1）（2）20．（本题满分18分，题（1）满分4分，题（2）满分6分，题（3）满分8分）

假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.

（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式；

（2）证明你提炼出的不等式；

（3）运用你提炼出的不等式证明：，其中且．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）提炼出的不等式为．

（2）证明：．

因为都是正数，且，所以，可得，所以．

（3）证明：由（2）可知．取，则，故有，则有先证明左边：

因为

所以，故；

再证明右边：

因为

所以，故．

综上，21．（本题满分18分，题（1）满分4分，题（2）满分6分，题（3）满分8分）

若集合中有且仅有三个元素，且同时满足①；②；

③为偶数，那么称集合具有性质．

设集合，其中且，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均为集合的元素，则称集合是集合的＂期待子集＂．

（1）对于集合，是否存在具有性质，并说明理由；

（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的＂期待子集＂；

（3）证明：＂集合存在具有性质＂的充要条件是＂集合是集合的＂期待子集＂．【答案】（1）不具有，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）集合不具有性质，理由如下：

（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③，（ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设，

则有，即，不满足条件②，综上所述，可得集合不具有性质.

（2）证明：由是偶数，得实数是奇数，当时，由，得，即，不合题意，

当时，由，得，即，或（舍），

因为是偶数，所以集合

令，解得，，

显然，所以集合是集合的＂期待子集＂得证．

（3）证明：先证充分性：当集合是集合的＂期待子集＂时，存在三个互不相同的，使得均属于，

不妨设，令，则，即满足条件①，

因为，所以，即满足条件②，

因为，所以为偶数，即满足条件③，

所以当集合是集合