福建省部分地市2026届高中毕业班适应性练习卷（1月省质检）数学试卷（含答案）

福建省部分地市2026届高中毕业班适应性练习卷（1月省质检）数学试卷注意事项： 2026.011.答题前，考生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本练习卷上无效。3.答题结束后，考生必须将练习卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,3,5,7},B={a+b|a∈A,b∈4};则A∩B=A.{1,3} B.{3,7} C.{1,3,5,7} 2.若复数z满足z2=3A.2 B.3 C.22 3.设函数f(x)={xA.8 B.9 C.5 D.44.若数据1，0，5，8，5的第p百分位数为5，则正实数p的取值范围是A.[60,80) B.(20,40] C.(40,80) D.[40,80)5.在x2−25A.-280 B.-300 C.-320 D.-3406.设数列{an}和annn分别是公差为45的等差数列和公比为A.2025 B.1980 C.2115 D.20707.已知平面α与单位正方体相交得到一个六边形，若该六边形有3个内角是120°，则它的周长为A.3 B.32 C.33 8.已知双曲线((C:x2−y2=1与过x轴正半轴上的一点M的直线l交于P，Q两点，直线l分别和直线x-y=0及直线x+y=0交于A,B两点,且A,Q,P,B在直线l上顺次排列.设O为坐标原点,若|OA|=|OP|,∠AMOA.−3−7 B.-5 C.−1−17 D.数学练习第1页(共4页)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知a,b∈R,若max{a,b},min{a,b}分别表示a,b中的较大者和较小者,则下列选项中,是命题“ab≠0”的充要条件的有A.a2+b2C.maxabmin10.设a,b∈Z,且4b＞5a＞5.若随机变量X,Y满足X~Nab2,Y~Bbab,则(已知若随机变量Z~N(μ,σ²),A.E(X-Y)=0 B.C.D7Y=7b−ab D.P(X＞a-11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜π/2)的部分图像如图所示，将方程f(x)=1的所有正实数根从小到大排列得到x₁,x₂,……,则A.B.存在正整数n使得.fC.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆x2+y2−2x+ay=013.若实数λ使得命题:“∃c∈R,使得∀a,b∈R,均有λa2+b214.已知在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=PD,tan∠BAD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3asinB+bcosA=c.(1)求tanB;(2)点D在直线BC上,且AD⊥AB.若sin∠CAD=16.(15分)在统计一些敏感性问题的回答时，往往很难得到受调查者的诚实性答复.为了解决这一问题，我们往往需要适当地采用一些统计学方法，下面的例子给出了一个有效的手段.某地卫生部门派遣调查组前往当地某校问询校内学生的吸烟情况，很明显，如果直接询问这样的问题很难得到学生的诚实回答.为此，调查组成员想到了一个统计方法，首先设计了如下的调查问卷形式：问题甲：你父亲的生日日期是奇数吗?请用2B铅笔填涂相关选项：是□ 否□问题乙：你是否有吸烟的习惯?请用2B铅笔填涂相关选项：是□ 否□而后，准备好一个不透明盒子，其中放入足够多质量、大小、质地相同的小球，且其中红白两色小球各占一半，在受调查学校高一、高二、高三三个年段采用分层随机抽样的方式抽取共200名学生作为样本.让参与调查的学生轮流抽取盒子里的一个球，如果抽到了红色球，则需要回答问题甲；如果抽到了白色球，则需要回答问题乙.抽球和回答问卷时不安排人员监督，提交问卷时，只需上交其答案，而不需要透露其回答的问题内容.依据此方法，调查过程中共拿到了54张填涂“是”的答卷.(1)请说明此调查方式的合理性，并估计该校吸烟学生在总人数中所占的百分比；(2)为了更精确地了解该校学生的吸烟状况，调查组经商议决定让全校共6000名学生参与此次问卷调查.调查过程中共拿到了1836张填涂“是”的答卷，且其中有720张答卷来自女生.已知该校男女比例为1：1，请估计该校吸烟学生中男、女生的人数，并据此判断能否有99.9%的把握认为吸烟行为和性别相关联.附：χ217.(15分)如图，在圆锥S-O中，AB为底面圆的直径，点C为AB的中点，点D在劣弧AC上,线段BD,OC交于点E,且OE=DE.(1)证明:SD⊥AE;(2)若∠OSD=2∠CBD,求直线SC和平面SDB所成角的正弦值.数学练习第3页(共4页)18.(17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab＞(1)求椭圆E的方程；(2)当r=1时,设直线l:y=kx+1与圆O交于P,Q两点,与椭圆E交于A,B两点,且点Q不在y轴上.(i)若Q为AB中点,求k;(ii)求(OA+19.(17分)已知函数.fx=ax−1.（(1)若a=e,证明:f(x)≥x;(2)若对任意实数x，均有f(i)求a;(ii)设正整数n≥2,证明:1−2026届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案与评分标准第一部分选择题、填空题答案摘要单项选择题1~8:DDBCAABD;多项选择题:9.ABC 10.ABD A.3填空题:12.（23） 13.((-∞,1]) 14.15.(1)解法一由余弦定理得，acosB+bcosA=a所以由3asinB+bcosA=c,a＞0,得3sinB=cosB .5分又B∈(0,π),所以3sinB=cosB＞0,故而tanB=sinB解法二由正弦定理得，sinAsin所以3sinAsinB=sinAcosB, 4分又因为A∈(0,π),所以sinA＞0,故3sinB=cos⋯ 5分下同解法一.(2)由sin∠CAD=cosA2=sinπ又∠CAD=A−π2或π分别解得A=2π3或A=故只有如图情况，即D在线段BC上，且A=于是， BCCD=S△ABCS注：本题仅给出如上解法供参考。16.(1)此调查方式的合理性在于，受调查者在调查过程中完全匿名，他们可以诚实地回答敏感性问题.(言之有理即可)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分每个学生从袋子里摸出1个白球或1个红球的概率都是0.5，即我们期望有100人回答了问题甲⋯⋯3分因为回答父亲的生日日期是奇数的概率为186365≈0.51,所以在回答问题甲的人中，大约有51人回答了“是”，因此在回答问题乙的人中，大约有3人回答了“是”，由此估计该校学生中大约有3%的人会吸烟⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)依题意可知，该校男生和女生各有3000人.同(1)，可以估计该校对问题甲回答“是”的人数约为3000×0.51=1530人,所以对问题乙回答“是”的人数约为1836-1530=306人,即吸烟人数约为306人⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分其中女生人数约为306×7201836=120,男生人数约为故有吸烟行为的女生约有120人，没有吸烟行为的女生约有2880人，有吸烟行为的男生约有186人，没有吸烟行为的男生约有2814人⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分作出2×2列联表如下：性别吸烟情况合计有吸烟无吸烟男生12028803000合计30626946000…………11分零假设H₀：吸烟行为和性别没有关联 12分由2×2列联表,可知a=186,b=2814,c=120,d=2880,n=6000,所以χ2= 14分根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H₀不成立，即认为吸烟行为和性别有关联，且该推断犯错误的概率不超过0.001，所以有99.9%的把握认为吸烟行为和性别有关联…15分注：本题仅给出如上解法供参考。17.【解析】(1)连接AD,AE.由C为AB的中点,知OC⊥AB………………⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由AB为直径，知∠又OE=DE,AE=AE,所以△AOE≌△ADE(SAS) 故∠AEO=∠AED,又OE=DE,所以AE⊥OD.⋯⋯⋯ .4分由圆锥知SO⊥平面AOD,又AE⊂平面AOE,所以SO⊥AE 5分因为SO∩OD=O,SO,OD⊂平面SOD,AE⊥OD,SO⊥AE,所以AE⊥平面SOD.又SD⊂平面SOD,所以SD⊥AE 6分(2)解法一由OE⊥AB,OA=OB知AE=BE,所以∠ABE=∠BAE=∠DAE.又∠BAD+∠ABD=90°,所以3∠ABE=90°,即∠ABE=30° 7分所以∠CBD=∠CBA-∠ABE=45°-30°=15°,故∠OSC=∠OSD=2∠CBD=30° 8分设OA=R,则(OS ..10分作SF⊥BD于F,因为SD=SB,所以BF故由勾股定理，SF=SD又V三棱锥S−BCD=13V 13分所以h=3−14hSC=313故直线SC和平面SDB所成角的正弦值为解法二由题意可知，OA，OC，OS两两垂直，以OA,OC,OS的方向分别为x，y，z三轴的方向，以 7分……不妨设OA=1，同解法一可知，OB为等边三角形， 8分所以A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,0),D(12,52,0),S(0,0,3 …9分设平面SBD的一个法向量为n=xyz,x−3z=0，令z=1,则x=3,y=3.设θ为平面SDB与直线SC的所成角，则sin又因为SC=01−3,所以sinθ=∣01−注：本题仅给出如上解法供参考。18.(1)由题意知， a=4,b=2, 所以椭圆E的方程为(2)解法一(i)设P(xp,yp),Q(x₀,y₀).将直线l的方程与圆O联立，得到{消去y，并整理得1+k2x因为Q不在y轴上，所以xP=0,xQ=−2kk2+1,设点.A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),因为A，B都在椭圆上，所以x1两式相减，得x1−x因为Q是AB中点，所以x1+x又y1−y2x1因为k≠0，所以−14+1−k2=0, 解得k=±32(ii)作OH⊥PQ于H,由垂径定理知,H为PQ中点,所以(OP故OA 10分因为OH⊥PQ，所以由点到直线距离公式， OH2=1又OP⋅OA+OB=01将直线l的方程与椭圆E联立，得到{消去y，并整理得1+8k2x其中，△=256根据韦达定理，有x1+x故OA+OB⋅令15k当l=72, 即k=±66时，等号成立，故解法二(i)同解法一，可得P(0,),Q−2设点Ax1y1,{消去y，并整理得1+8其中，△=256k2+32(1+8根据韦达定理，有x1+因为Q是AB中点，所以−16k1+8因为k≠0，所以4k2+4=1+8故所求k的值为±32 (ii)由(i)知,x1+x2=−16k8k所以OA 15分下同解法一.注：本题仅给出如上解法供参考。19.(17分)已知函数f(x)=aˣ-1.(a＞0且a≠1)(1)若a=e,证明:f(x)≥x;(2)若对任意实数x，均有f(i)求a;(ii)设正整数n≥2,证明:1−【解析】(1)当a=e时,f设gx=ex−1−x,则x(-∞,0)0(0,+∞)g'(x)＜00＞0g(x)极小值 ..1分所以g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥x 2分(2)(i)设hx=f情形1:a∈(0,1),则h1=a−1−2−情形2:a∈(1,e²),则h取正整数k，使得k+12π＞loga2lna,则h'k那么对任意x∈(0,x₁),恒有h'(x)＜0.(否则,存在实数:x1'∈0x1使得h'x1'＞故h(x)在区间(0，x₁)上单调递减，于是hx1＜h情形3：a∈e2+∞,则/h'(0取负整数k，使得k+12π＜loga2lna,则h'k同情况2可知，h(x)在区间(x₂，0)上单调递增，于是hx2＜h综上，只可能a下面证明a=当x＜-1时,hx=e2x−2x−1−sin2设φ(x)=x-sinx,则(φ'(x)=1-cosx≥0,故φ(x)为增函数.于是当x∈[-1,0)时,φ(x)＜φ(0)=0,故x＜sinx＜0,所以x2当x∈[0,1)时,φ(x)≥φ(0)=0,故x≥sinx≥0,所以.x2当x∈[1,+∞)时,x2≥1≥si