2025-2026学年上海上师大附中高三上学期数学月考（含答案）

上师大附中2025-2026学年第一学期高三年级数学月考一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．若复数满足（其中i表示虚数单位），则.

2．已知函数为偶函数，则实数．

3．在中，，面积，则边长为．

4．设，若，则．

5．设，若幕函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为．6．若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值是.

7．已知，则的最大值为．8．今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为.

9．若曲线有两条经过坐标原点的切线，则实数的取值范围是.

10．已知函数.对任意，存在，使得，则实数的取值范围是．

11．若关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为．

12．已知函数，其中，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是.

二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）

13．英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（）.

A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则14．函数的图像如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（）.

A．B．C．D．

15．对于函数，下列结论中正确的是（）.

A．该函数的值域是 B．当且仅当时，该函数取得最大值1C．当且仅当时， D．该函数是以为最小正周期的周期函数

16．已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）.

①＂＂是＂＂的充要条件；

②＂对任意，都有＂是＂在上为严格增函数＂的充要条件．

A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题

三、解答题（共5题，满分78分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数的表达式为．

（1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程；

（2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的单调增区间和值域.

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）已知，解不等式；

（2）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，求在上的解析式．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

现今许多运动赛事使用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道．记，三条轨道的总长度为米．

（1）将表示成的函数，并写出的取值范围；

（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）若，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围；

（3）若，对任意的，都有，求实数的取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与＂局部趋同＂．（1）判断函数与是否＂局部趋同＂，并说明理由；

（2）已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与＂局部趋同＂；

（3）对于给定的实数，若存在实数，使得函数与＂局部趋同＂，求实数的取值范围．

上师大附中2025-2026学年第一学期高三年级数学月考一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．若复数满足（其中i表示虚数单位），则．

【答案】

2．已知函数为偶函数，则实数．

【答案】

3．在中，，面积，则边长为．【答案】或

4．设，若，则．

【答案】

5．设，若幕函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为．

【答案】6．若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值是．

【答案】

7．已知，则的最大值为．

【答案】8．今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为．

【答案】

9．若曲线有两条经过坐标原点的切线，则实数的取值范围是．

【答案】

10．已知函数.对任意，存在，使得，则实数的取值范围是．

【答案】

11．若关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为．

【答案】【解析】当时，方程可化为，即，则或（舍）；

当时，方程可化为；要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根，则且，解得且，所以实数的取值范围为．

12．已知函数，其中，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是．

【答案】【解析】记．下分情况讨论．若．若存在，使得，且对于不成立，只需．

若，同理可知．

若，此时对于任意的正整数，令即可，因此不存在最大的正整数，综上所述，实数的取值范围是．

二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）

13．英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（）.

A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则

【答案】D14．函数的图像如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（）.

A．B．C．D．

【答案】C

15．对于函数，下列结论中正确的是（）.

A．该函数的值域是 B．当且仅当时，该函数取得最大值1C．当且仅当时， D．该函数是以为最小正周期的周期函数 【答案】C

16．已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）.

①＂＂是＂＂的充要条件；

②＂对任意，都有＂是＂在上为严格增函数＂的充要条件．

A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题

【答案】C【解析】对于①：设，则，

因为在上为严格增函数，故，

即，则在R上单调递增，

由于，故，即.

即；

当成立时，即

由于在R上单调递增，故，

故＂＂是＂＂的充要条件，①为真命题；对于②，当在上为严格增函数时，由对任意，则都有成立；当对任意都有时，假设在上不为严格增函数，即不恒大于等于0，即，使得，

由于在上为严格增函数，故时，，

此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，

故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大，这与对任意都有矛盾，则假设不成立，即＂在上为严格增函数＂成立，即＂对任意都有＂是＂在上为严格增函数＂的充要条件，②为真命题，故选C.

三、解答题（共5题，满分78分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数的表达式为．

（1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程；

（2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的单调增区间和值域.

【答案】（1），对称轴方程为；（2）单调增区间为;值域为．【解析】（1）由已知，则函数的最小正周期为，

令，得，即函数的对称轴方程为；

（2）由（1），所以

∵，

即在上的值域为．

由，可得，即在上的单调增区间为．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）已知，解不等式；

（2）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，求在上的解析式．

【答案】（1）（2）【解析】（1）原不等式可化为，∴，且，且，得．∴不等式的解集为．

（2）∵是奇函数，∴，得，

当时，．

当时，

∴

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

现今许多运动赛事使用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道．记，三条轨道的总长度为米．

（1）将表示成的函数，并写出的取值范围；

（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为点是弧的中点，由对称性，知，，又，由正弦定理，得，所以．所以

因为，所以，所以．

（2）法一：由（1）得：．

记，则，由辅助角公式可得：，解得，当时，可有，等号可以取得．

故当时，三条轨道的总长度最小，此时．

法二：由（1）得：．

记，则由万能置换公式可得：，当且仅当即时等号成立．

故当，三条轨道的总长度最小，此时．

法三：令．

由，解得，则有

所以当，即米时，有唯一的极小值，即是最小值，则，三条轨道的最小值为．

故当时，三条轨道的总长度最小，此时．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）若，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围；

（3）若，对任意的，都有，求实数的取值范围．

【答案】（1）极大值为，无极小值．（2）（3）【解析】（1）若，则，得，由，当时，严格增；当时，严格减．所以，的极大值为，无极小值．

（2）若，则，设函数上的动点，则处切线斜率范围为，当且仅当即时取等号；

所以切线倾斜角的正切值，所以角的范围为.

（3）若，则，对任意的，不妨设，由得即，

令，则在上单调递增，则在上恒成立，即，由当时取最大值1，所以．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与＂局部趋同＂．（1）判断函数与是否＂局部趋同＂，并说明理由；

（2）已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与＂局部趋同＂；

（3）对于给定的实数，若存在实数，使得函数与＂局部趋同＂，求实数的取值范围．

【答案】（1）不是（2）证明见解析（3）【解析】（1），即为，也即由与都不满足方程，故（＊1）无解，所以与非＂局部趋同＂.

（2）即为等价于（＊2）

令，