2026届福建省莆田四中、莆田六中高一数学第一学期期末预测试题含解析

2026届福建省莆田四中、莆田六中高一数学第一学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数（且）图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B.C. D.2．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.3．已知的三个顶点A，B，C及半面内的一点P，若，则点P与的位置关系是A.点P在内部 B.点P在外部C.点P在线段AC上 D.点P在直线AB上4．下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的是（）A. B.C. D.5．最小值是A.-1 B.C. D.16．已知是第三象限角，则是A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第四象限角 D.第二或第四象限角7．下列说法错误的是（）A.球体是旋转体 B.圆柱的母线垂直于其底面C.斜棱柱的侧面中没有矩形 D.用正棱锥截得的棱台叫做正棱台8．已知，则的值为A. B.C. D.9．设函数，则下列结论不正确的是（）A.函数的值域是；B.点是函数的图像的一个对称中心；C.直线是函数的图像的一条对称轴；D.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数10．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆标准方程为_____________________.12．设，则________.13．如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是_____①∥平面；②平面⊥平面；③三棱锥的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线与成角°14．已知幂函数在上单调递减，则______15．已知非零向量、满足，若，则、夹角的余弦值为_________.16．若函数在区间内为减函数，则实数a的取值范围为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：(1)AD边所在直线的方程；(2)DC边所在直线的方程18．已知集合（1）当时，求；（2）若“”是“”充分条件，求实数a的取值范围19．求下列各式的值：（1）；（2）.20．已知角的终边在第二象限,且与单位圆交于点（1）求的值；（2）求的值.21．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁载客量为.（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】∵由得，∴函数（且）的图像恒过定点，∵点在直线上，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴最大值为，故选D【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2、A【解析】由可得或，数形结合可方程只有解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.【详解】由可得或，当时，；当时，.作出函数、、图象如下图所示：由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则.故选：A.3、C【解析】由平面向量的加减运算得：，所以：，由向量共线得：即点P在线段AC上，得解【详解】因为：，所以：，所以：，即点P在线段AC上，故选C．【点睛】本题考查了平面向量的加减运算及向量共线，属简单题．4、B【解析】利用函数的定义域、奇偶性、单调性等性质分别对各选项逐一判断即可得解.【详解】对于A，函数图象总在x轴上方，不是奇函数，A不满足；对于B，函数在R上递增，且，该函数是奇函数，B满足；对于C，函数是偶函数，C不满足；对于D，函数定义域是非零实数集，而，D不满足.故选：B5、B【解析】∵，∴当sin2x=-1即x=时，函数有最小值是，故选B考点：本题考查了三角函数的有界性点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题6、D【解析】因为是第三象限角，所以，所以，当为偶数时，是第二象限角，当为奇数时，是第四象限角.故选：D．7、C【解析】利用空间几何体的结构特征可得.【详解】由旋转体的概念可知，球体是旋转体，故A正确；圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，故B正确；斜棱柱的侧面中可能有矩形，故C错误；用正棱锥截得的棱台叫做正棱台，故D正确.故选：C.8、C【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为sin2α+cos2α，然后给分子分母求除以cos2α，把原式化为关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值【详解】因为tanα＝3，所以故选C【点睛】本题是一道基础题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值的能力，做题的突破点是“1”的灵活变形9、B【解析】根据余弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为，，所以，即函数的值域是，故A正确；因为，所以函数关于对称，故B错误；因为，所以函数关于直线对称，故C正确；将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；故选：B10、D【解析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.【详解】若，则，所以，，，ABC均错；因为，则，因为，则，即.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，故答案为（x-1）2+（y-1）2=25【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径12、2【解析】先求出，再求的值即可【详解】解：由题意得，，所以，故答案为：213、①②③④【解析】在①中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，从而得到面ACF⊥平面BEF；在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，从而三棱锥E﹣ABF的体积为定值；在④中，令上底面中心为O，得到存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°【详解】由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，知：在①中，由EF∥BD，且EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，而BE⊂面BDD1B1，BF⊂面BDD1B1，∴AC⊥平面BEF，∵AC⊂平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正确；在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，三棱锥A﹣BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E﹣ABF的体积为定值，故③正确；在④中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝300，故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确故答案为①②③④【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题14、##【解析】依题意得且，即可求出，从而得到函数解析式，再代入求值即可；【详解】解：由题意得且，则，，故故答案为：15、【解析】本题首先可以根据得出，然后将其化简为，最后带入即可得出结果.【详解】令向量与向量之间的夹角为，因为，所以，即，，，，因为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查向量垂直的相关性质，若两个向量垂直，则这两个向量的数量积为，考查计算能力，考查化归与转化思想，是简单题。16、【解析】由复合函数单调性的判断法则及对数函数的真数大于0恒成立，列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：因为，函数在区间内为减函数，所以有，解得，所以实数a的取值范围为，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】分析：（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为，然后由点到直线的距离得出，就可以求出m的值，即可求出结果.详解：(1)由题意：ABCD为矩形，则AB⊥AD，又AB边所在的直线方程为：x－3y－6＝0，所以AD所在直线的斜率kAD＝－3，而点T(－1，1)在直线AD上所以AD边所在直线的方程为：3x＋y＋2＝0.(2)方法一：由ABCD为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.方法二：方程x－3y－6＝0与方程3x＋y＋2＝0联立得A（0，-2），关于M的对称点C（4，2）因AB∥DC，所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况18、（1）；（2）或.【解析】(1)解一元二次不等式化简集合B，把代入，利用补集、交集的定义直接计算作答.(2)由给定条件可得，再借助集合的包含关系列式计算作答.【小问1详解】当时，，解不等式得：或，则或，有，所以.【小问2详解】由(1)知，或，因“”是“”的充分条件，则，显然，，因此，或，解得或，所以实数a取值范围是或.19、（1）（2）2【解析】（1）结合指数的运算化简计算即可求出结果；（2）结合对数的运算化简计算即可求出结果；【小问1详解】【小问2详解】20、【解析】(1)先求出，再求出的值.(2)先利用诱导公式化简，再把tan的值代入求解.【详解】（1）由题得因为角终边在第二象限，所以所以.(2)=.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的商数关系和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.21、（1），人（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元【解析】（1）由题