辽宁省辽河油田二中2026届高二上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

辽宁省辽河油田二中2026届高二上数学期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．空气质量指数大小分为五级指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的是（）.A.这14天中有4天空气质量指数为“良”B.从2日到5日空气质量越来越差C.这14天中空气质量的中位数是103D.连续三天中空气质量指数方差最小是9日到11日2．变量，满足约束条件则的最小值为()A. B.C. D.53．已知数列满足，且，那么（）A. B.C. D.4．已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.5．已知命题,，则A.， B.，C.， D.，6．学校开设甲类选修课3门，乙类选修课4门，从中任选3门，甲乙两类课程都有选择的不同选法种数为（）A.24 B.30C.60 D.1207．下列命题中，正确的是（）A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ac>bc，则a<bC.若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D.若，则a<b8．等差数列中，若，则（）A.42 B.45C.48 D.519．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（）A.30 B.29C.28 D.2710．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，11．函数单调减区间是（）A. B.C.和 D.12．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都为1，若平面ABCD，则异面直线AC与BF所成角的大小为______14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中A点，将，，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则四面体的外接球表面积为____________.15．若满足约束条件，则的最大值为_________.16．如图所示，在正方体中，点是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与所成角的取值范围为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是等差数列，，.（1）求的通项公式；（2）若数列是公比为的等比数列，，求数列的前项和.18．（12分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足（1）若平面，求的值；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值19．（12分）已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程20．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为（1）求动点的轨迹方程；（2）已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？21．（12分）已知椭圆与直线相切，点G为椭圆上任意一点，，，且的最大值为3（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于不同两点E，F，点O为坐标原点，且，当的面积取最大值时，求的取值范围22．（10分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题图分析数据，对选项逐一判断【详解】对于A，14天中有1，3，12，13共4日空气质量指数为“良”，故A正确对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确对于C，14个数据中位数为：，故C错误对于D，观察折线图可知D正确故选：C2、A【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.【详解】根据不等式组作出可行域如图，，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.故选：A.3、D【解析】由递推公式得到，，，再结合已知即可求解.【详解】解：由，得，，又，那么故选：D4、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B5、A【解析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，则，，故选A【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6、B【解析】利用组合数计算出正确答案.【详解】甲乙两类课程都有选择的不同选法种数为.故选：B7、D【解析】运用不等式性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误；选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误；选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误；选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.故选：D8、C【解析】结合等差数列的性质求得正确答案.【详解】依题意是等差数列，，.故选：C9、B【解析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有项，其和为，∴偶数项共有n项，其和为，∴故选：B10、A【解析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.【详解】在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量是，，，则，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故选：.11、B【解析】根据函数求导，然后由求解.【详解】因为函数，所以，由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：B12、B【解析】利用平均变化率的公式即得.【详解】∵，∴.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，设直线与所成角为，则，因为，所以；故答案为：14、【解析】由题意在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,则长方体与四面体的外接球相同，从而可求解.【详解】将直角，，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，所以在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,如图.则长方体与四面体的外接球相同.长方体的外接球在其对角线的中点处.由题意可得，则长方体的外接球的半径为所以四面体的外接球表面积为故答案为：15、7【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象和直线在轴上的截距，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为，当直线过点点时，此时直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即,所以目标函数的最大值为.故答案为：.16、【解析】过作平面平面，得到在与平面的交线上，连接，证得平面平面，得到点在上，设正方体的棱长为，且，得到，，设与所成角为，利用向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】过作平面平面，因为点是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，同理可证平面，所以平面平面，则平面即为，点在线段上，设正方体的棱长为，且，则，，可得，设与所成角为，则，当时，取得最小值，最小值为，当或时，取得最大值，最大值为故答案为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意得解方程组求出，从而可求出数列的通项公式，（2）因为是公比为的等比数列，又，，所以，从而可得，然后利用分组求和法求解即可【小问1详解】设等差数列的公差为.由题意得解得，.所以.【小问2详解】因为是公比为的等比数列，又，，所以，所以.所以.18、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)连接ME，证明即可计算作答.(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，因平面面，面面，则有，而为中点，于是得为的中点，所以.【小问2详解】在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又为正方形，即，而平面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，依题意，，则，，设平面的法向量为，则，令，得，又，则到平面的距离，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因，则，，设面的法向量为，则，令，得，于是得，而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，整理得，解得或，所以的值是或.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.19、（1）（2）或【解析】（1）抛物线的方程为，利用抛物线的定义求出点N，代入抛物线方程即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦半径公式可得或，即求.【小问1详解】抛物线的方程为，设，依题意，由抛物线定义，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）得，设直线的方程为，，，由，得.因为，故所以.由题设知，解得或，因此直线方程为或.20、（1）（2）【解析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，再根据二次函数的性质可得最值.【小问1详解】由题设点到点的距离等于它到的距离，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所求轨迹的方程为；【小问2详解】由题意易知直线的斜率存在，设中点为，直线的方程为，联立直线与抛物线，得，，且，，又中点为，即，，故恒成立，，，所以，当时，取最大值为.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21、（1）（2）【解析】（1）设点，根据题意，得到，根据向量数量积的坐标表示，得到，根据其最小值，求出，即可得出椭圆方程；（2）设，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出的面积的最值，得到；得出点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，记，则，得到，根据对勾函数求出最值.【小问1详解】设点，由题意知，所以：，则，当时，取得最大值，即，故椭圆C的标