福建省厦门市集美高中2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

福建省厦门市集美高中2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于()A. B.C. D.2．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元3．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）A. B.C. D.4．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则A.2 B.3C. D.45．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.A. B.C.20 D.4006．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A. B.C. D.7．已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.8．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.10．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C.对任意， D.对任意，12．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；14．已知等差数列的前n项和为，，则___________.15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.16．已知抛物线的准线方程为，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC中点，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.18．（12分）已知圆.（1）过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.19．（12分）已知圆，圆心在直线上（1）求圆的标准方程；（2）求直线被圆截得的弦的长20．（12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围.21．（12分）（1）已知：方程表示双曲线；：关于的不等式有解.若为真，求的取值范围；（2）已知，，.若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.22．（10分）已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】连接，利用，化简即可得到答案.【详解】连接，如下图.故选：D.2、D【解析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，由题意得出的递推关系，变形构造出等比数列，由得其通项公式后可得结论【详解】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，，、同理可得，所以，而，所以数列是等比数列，公比为，所以，，总利润为故选：D【点睛】思路点睛：本题考查数列的实际应用．解题方法是用数列表示月初进货款，得出递推关系，然后构造等比数列求解3、B【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，∴椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线方程为，故选：B.4、D【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵直线∴直线的倾斜角为，∵过分别作的垂线与轴交于两点，∴，故选D.5、B【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.【详解】由题设，，则，所以在时的瞬时降雨强度为mm/min.故选：B6、B【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，由韦达定理得所以的解集为，故选B.7、C【解析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.【详解】设圆的标准方程为，将坐标代入得:,解得，故圆的方程为，故选：C.8、A【解析】由，结合基本不等式可得，由此可得，由此说明“”是“”的充分条件，再通过举反例说明“”不是“”的必要条件，由此确定正确选项.【详解】∵，∴（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），∴（当且仅当时等号成立），若，则，∴，所以“”是“”的充分条件，当时，，此时，∴“”不是“”的必要条件，∴“”是“”的充分不必要条件，故选：A.9、D【解析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，故选：D10、B【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.【详解】设，则，由，可得，所以，因为，可得，又由，两式相减得，即，即，又因为，所以，即又由，所以，解得.故选：B.11、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.12、C【解析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】函数，又函数在区间上单调递减∴在区间上恒成立即，解得:，当时，经检验适合题意故答案为【点睛】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解14、36【解析】根据等比数列下标和性质得到，再根据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：因，所以，所以；故答案为：15、##【解析】设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求.【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，设，，，设的内切圆为圆，由双曲线的定义可得，得，由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，过圆心作的垂线，垂足为，因为，所以，∴，即∴，即故答案为：.【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等，计算即得.16、【解析】由准线方程的表达式构建方程，求得答案.【详解】因为准线方程为，所以故答案为：4【点睛】本题考查抛物线中准线的方程表示，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件推导证得，再借助直角三角形中锐角的正切列式求解作答.(2)由给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量求解面面角作答【小问1详解】连结BD，如图，因底面ABCD，且平面ABCD，则，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，则，有，又，则有，有，则，解得，所以.【小问2详解】依题意，DA，DC，DP两两垂直，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，，，，，，，，设平面AMP的法向量为，则，令，得，设平面BMP的法向量为，则，令，得，设二面角A-PM-B的平面角为，则，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值为.18、（1）；（2）或.【解析】（1）根据直线与圆相切，求得切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程；（2）利用弦长公式，结合已知条件求得直线的斜率，即可求得直线方程.【小问1详解】圆，圆心，半径，又点的坐标满足圆方程，故可得点在圆上，则切线斜率满足，又，故满足题意的切线斜率，则过点的切线方程为，即.【小问2详解】直线过点，若斜率不存在，此时直线的方程为，将其代入可得或，故直线截圆所得弦长为满足题意；若斜率存在时，设直线方程为，则圆心到直线的距离，由弦长公式可得：，解得，也即，解得，则此时直线的方程为：.综上所述，直线的方程为或.19、（1）；（2）【解析】（1）由圆的一般式方程求出圆心代入直线即可求出得值，即可求解；（2）先计算圆心到直线的距离，利用即可求弦长.【详解】（1）由圆，可得所以圆心为，半径又圆心在直线上，即，解得所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为（2）由（1）知，圆心，半径圆心到直线的距离则直线被圆截得的弦的长为所以，直线被圆截得弦的长为【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.20、（1）在上单调递减，在上单调递增（2）【解析】（1）研究当时的导数的符号即可讨论得到的单调性；（2）对原函数求导，对a的范围分类讨论即可得出答案.【小问1详解】当时，，令，则，所以在上单调递增.又因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】，且.①当时，由（1）可知当时，所以在上单调递增，则，符合题意.②当时，，不符合题意，舍去.③当时，令，则，则，，当时，，所以在上单调递减，当时，，不符合题意，舍去.综上，a的取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用21、（1）1m2；（2）(0，1]【解析】（1）由pq为真，可得p真且q假，然后分别求出p真，q假时的的取值范围，再求交集即可，（2）求得p：1x2，再由p是q的必要不充分条件，得，解不等式组可求得答案【详解】（1）因为pq为真，所以p真且q假，p真：m1m301m3，q假，则不等式无解，则402m2，所以1m2.（2）依题意，p：1x2，因p是q的必要不充分条件，于是得（不同时取等号），解得0