教科版必修二　第三章万有引力定律同步测试题2026届高二数学第一学期期末监测试题含解析

教科版必修二第三章万有引力定律同步测试题2026届高二数学第一学期期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（）A. B.C. D.2．已知空间向量，则（）A. B.C. D.3．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（）.A. B.C. D.4．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A. B.C. D.5．命题“”的一个充要条件是（）A. B.C. D.6．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）7．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A. B.C. D.8．若数列是等比数列，且，则（）A.1 B.2C.4 D.89．已知向量，，且，则的值为（）A. B.C.或 D.或10．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A.120 B.84C.56 D.2812．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输人的（）A. B.或C. D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，且，则实数______.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，垂直于轴，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为__________15．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点.设异面直线与所成的角为，则的最大值为____16．有一组数据，其平均数为3，方差为2，则新的数据的方差为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在棱长为4的正方体中，点分别在线段上，点在线段延长线上，，，连接交线段于点.（1）求证平面；（2）求异面直线所成角的余弦值.18．（12分）已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长19．（12分）如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点（1）求证：CE//平面PAB；（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由20．（12分）已知等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记的前n项和为，证明：，，成等差数列21．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程22．（10分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先根据已知条件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，当且仅当，即时，等号成立故选：D.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，本题关键是求出，属常规考题.2、C【解析】A利用向量模长的坐标表示判断；B根据向量平行的判定，是否存在实数使即可判断；C向量数量积的坐标表示求即可判断；D利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标表示求即可.【详解】因为，所以A不正确：因为不存在实数使，所以B不正确；因为，故，所以C正确；因为，所以，所以D不正确故选：C3、A【解析】把抛掷两枚硬币的情况均列举出来，利用古典概型的计算公式，把，，算出来，判断四个选项的正误.【详解】两枚硬币，记为与，则抛掷两枚硬币，一共会出现的情况有四种，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，则，，，所以A错误，BCD正确故选：A4、B【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，其面积，圆的面积为则所求概率.故选：B【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.5、D【解析】结合不等式的基本性质，利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.当时，满足，推不出，故不充分；B.当时，满足，推不出，故不充分；C.当时，推不出，故不必要；D.因为，故充要，故选：D6、D【解析】根据图形可得（1）具有函数关系；（2）（3）的散点分布在一条直线或曲线附近，具有相关关系；（4）的散点杂乱无章，不具有相关关系.【详解】对（1），所有的点都在曲线上，故具有函数关系；对（2），所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系；对（3），所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系；对（4），所有的散点杂乱无章，不具有相关关系.故选：D.7、C【解析】由题意可得且，从而求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.【详解】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C8、C【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.【详解】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.故选：C.9、C【解析】根据空间向量平行的性质得，代入数值解方程组即可.【详解】因为，所以，所以，所以，解得或.故选：C.10、B【解析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.11、B【解析】按照框图中程序，逐步执行循环，即可求得答案.【详解】第一次循环：，，第二次循环：，，第三次循环：，，第四次循环：，，第五次循环：，，第六次循环：，，第七次循环：，，退出循环，输出.故选：B12、A【解析】根据题意可知该程序框图显示的算法函数为，分和两种情况讨论即可得解.【详解】解：该程序框图显示得算法函数为，由，当时，，方程无解；当时，，解得，综上，若输出的，则输入的.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用向量平行的条件直接解出.【详解】因为向量，，且，所以，解得.故答案为：.14、.【解析】通过垂直于轴,可以求出，由已知为等腰三角形，可以得到，结合关系，可以得到一个关于离心率的一元二次方程，解方程求出离心率.【详解】∵垂直于，∴可得，又∵为等腰三角形，∴，即，整理得，解得.【点睛】本题考查了求椭圆离心率问题，关键是通过已知条件构造出关于离心率的方程.15、【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，，由向量法可得，令，，，利用导数研究函数的单调性即可求得的最大值，从而可得答案【详解】解：由题意，根据已知条件，直线AB，AD，AQ两两互相垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系不妨设，则，0，，，0，，，1，，设，，，，，，，，，，，令，，则，函数在上单调递减，时，函数取得最大值，的最大值为故答案为：16、2【解析】由已知得，，然后计算的平均数和方差可得答案.【详解】由已知得，，所以，.故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角【小问1详解】证明：且，由三角形相似可得，，，又，，又平面，平面平面；【小问2详解】解：以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，如图．则设异面直线所成角为，则18、（1）见解析；（2）2＋4.【解析】（1）由抛物线的简单几何性质易得结果；(2)由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|=2.设A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周长【详解】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2或m＝－2.所以A(3,2)，B(3，－2)所以|OA|＝|OB|＝.所以△OAB的周长为2＋4.【点睛】本题考查了抛物线简单性质的应用，解题关键利用好三角形重心的性质，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）为中点，连接，由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证结论；（2）取中点N，连接，，根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性【小问1详解】如下图，若为中点，连接，由E是PD的中点，所以且，又BC//平面PAD，面，且面面，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，而面，面，则面.小问2详解】取中点N，连接，，∵E，N分别为，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，线段存在点N，使得平面，理由如下：由（1）知：平面，又，∴平面平面，又M是上的动点，平面，∴平面PAB，∴线段存在点N，使得MN∥平面20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设等比数列的公比为，根据，求得的值，即可求得数列的通项公式；（2）由等比数列的求和公式求得，得到，，化简得到，即可求解【小问1详解】解：设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，所以数列的通项公式【小问2详解】解：由（1）可得，，，所以，所以，即，，成等差数列21、（1）（2）【解析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求