概率（7大题型）（原卷版）

25概率

I|||a■MO必然事件、不可能事件和随机事件

•I

II

I

（1）必然事件I

!I

在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件.

I,I

（2）不可能事件

i

在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件.

I・I

（3）随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

I

J更看'：

,I

i1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；

；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，

II

;不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的!

!大小有可能不同.i

:题型1：必然事件、不可能事件和随机事件1

（I

II

I

|砥1"对于二次函数y=。-1）2+1,当1时，y随x的增大而增大”，这一事件为（）

i

A.必然事件B.随机事件C.不确定事件D.不可能事件

I

【变式11】下列事件中为必然事件的是（）

I

A.任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地B.在一个只装着白球和黑球的袋中，摸出红球

I•II

C.太阳从东边升起D.明天会下雨

,I

I----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4

【变式12]"明天是阴天〃这个事件是（）

I•II

A.确定事件B.不可能事件

I•II

C.必然事件D.不确定事件

卜•---------------------------------------------------------------------------------------------------[I

i【变式13]下列事件是随机事件的是（）

・IfI

A.任意画一个三角形，该三角形的内角和为180。

•I

B.从分别写有2,4,6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除

•I

C.购买一张福利彩票就中奖

I

|D.从装有4个红球和2个黄球的袋中，随机抽取一个是白球!

r---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------!---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\

|概率的意义I注意：

概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的（1）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；

可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果（2）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

事件A发生的频率里会稳定在某个常数P附近，（3）事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于

n

1的数，，即00尸（4）01,其中P（必然事件）=1,

那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为

PP（不可能事件）=0,（KP（随机事件）＜1.

题型2:概率公式及计算

幽L不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出1个球是红球

的概率为（）

【变式2。现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别标有数字-2,0,右3,把这四张卡片背面朝上

洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上的数字是负数的概率为（）

【变式22】某班共有学生36人，在迎新年庆祝会上，随机抽取1名一等奖，3名二等奖，5名三等奖，以

上统称为等第奖，该班每一名学生获得等第奖的概率是.

用列举法求概率

列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能

的结果，通常采用列表法；列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某

•事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树

形图；树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可

能的次数和方式，并求出概率的方法.

注意：

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

（3）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（4）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

题型3:列举法求概率放回型或独立型

B（转盘）如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A.B,这两个转盘除了表面颜色不同外，其它

构造完全相同.游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另•个转盘转出蓝色，那么红色和

蓝色在一起能配成紫色.请你用列表法或树状图法，求游戏者不能配成紫色的概率.

【变式31］如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数-1,1,2,指针位置固定，转动转盘后任其

自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等

分线上，则当作指向右边的扇形）.

（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率.

（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”，用列表法（或树状

图法）求两人“英雄所见略同”的概率.

h（数字）.一个纸箱内装有三张正面分别标有数字-4,6：4的卡片，卡片除正面数字外其他均相

同.将三张卡片搅匀后，从中随机摸出一张卡片记下数字，放回后搅匀，再从中随机摸出一张卡片并

记下数字.请用列表法或画树状图法求两次取得数字的绝对值相等的概率.

【变式41】有四张正面标有数字-1,2,8,9,背面颜色、形状、大小都一样的卡片，正面朝下放在桌面

上，小红从中随机抽取一张卡片记下数字后不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张卡片记下数字.

（1）第一次抽到标有数字2的卡片的概率是.

（2）请用列表或画树状图的方法，求抽取出的两数之和为偶数的概率.

【变式42】一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3,4,5.从袋子中随机取出一

个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的

数字，这样组成一个两位数.这个两位数能被3整除的概率是多少？请你用列表法或面树状图法加以说明.

皿（摸球）.不透明的口袋里装有2个红球和2个黄球（除颜色不同外，其它都相同）.现进行两次

摸球活动，第一次随机摸出一个小球后不放回，第二次再随机摸出一个小球，请用树状图或列表法，

求两次摸出的都是红球的概率.

【变式51］已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球.

!（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率.

!（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸

出的球恰好颜色不同的概率.

i（3）若在原袋子中再放入〃?个白球和机个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出I个球，颜色是白色

\的概率为:，求m的值.

【变式52】一个袋子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个白球，1个红球.从口袋里摸出1个球，记

卜.颜色后放回，搅匀，再摸出一个球.

（1）按顺序先后摸得的两个球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题）

（2）求两次摸出都是白球的概率.

6（硬币）.连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（

1111

Aa

--C--

♦6B.423

【变式61】将一枚均匀的硬币连续抛掷两次，抛掷两次结果如三图所示，则两次都是正面朝上的概率等于

（）

正反

正（正，正）（正，反）

反（反，正）（反，反）

国7（选购方案）.某公司有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A、B两种型号，乙品牌有C、D、

E三种型号.某中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机.

（1）利用树状图或列表法写出所有的选购方案；

（2）如果各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？

【变式71】甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶

制品：A.纯牛奶，B.核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C.纯牛奶.酸奶，E.核桃奶.若甲

喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品,

请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率.

题型4:列举法求概率不放回型

西8（摸球不放回）.一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球.1个红球，它们除颜色外均相同.从

箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球.请你用列表或画树状

图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率.

【变式81】将分别标有"最〃、"美济"、"外〃四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不

同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上汉字

可以组成“济外〃的概率是（）

1111

--C-a-

A.6B.432

圆曲（选人问题）.某市准备举行初中生“党史知识竞赛“，学校通过初赛选出了2位男生A、B和2位

女生C、D共4位选手，准备从4人中任选2人代表学校参加比赛.求所选代表都是女生的概率.

!【变式91】医院准备从甲、乙、丙二位医生和力、A两名护十中选取一位医生和一名护+支援某地的防汛

I

5救灾工作.

1（1）若随机选一位医生和护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果.

（2）求恰好选中医生甲和护士力的概率.

利用频率估计概率注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可

能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可

将较为精确.

能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.I

-------------------------------------------------.L__________________________________________

题型5:游戏的公平性

题10.现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球.其中，A袋装有2个白球,

1个红球；B袋装有2个红球，1个白球.小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A,B两袋中

随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则小林获胜.请用

列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平，如果不公平，谁获胜的机会大.

【变式IOI】“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发r同学们学习航

天知识的热情.在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的

方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得.游戏规则如下：甲口袋（不透明）装有编号

为1,2,3的三个小球，乙口袋［不透明）装有编号为1,2,3,4的四个小球，每个口袋中的小球除编号

外其他都相同.小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和

为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜.

（1）小明摸到小球的编号为2的概率为；

（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

【变式102】在一个不透明的盒子中只装2枚白色棋子和2枚黑色棋子，它们除颜色外其余均相同，从这个

盒子中随机地摸出2枚棋子.

（1）请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子是不同颜色的概率.

（2）若小明、小亮做游戏，游戏规则是：两次摸出的棋子颜色不同则小明得1分，颜色相同小亮得2分.你

认为这个游戏公平吗？请说明理由.

题型6:利用频率估计概率

1

II

砥11.在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出•个球，，

।记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，冉从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的

!频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为（）

II

I

A.20个B.30个C.40个D.50个

【变式111】利用六张编号为1,2,3,4,5,6的扑克牌进行频率估计概率的试验，小张统计了某一结果i

II

I

:出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）

频率

0-'200'400*600；^^.

A.抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率B.抽中的扑克牌编号是奇数的概率

C.抽中的扑克牌的编号是6的概率D.抽中的扑克牌的编号大于3的概率

・-OB--«■>>

【变式112］如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，

她采取了以下的办法：用一个长为10cm,宽为6cm的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向

长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则

图案的面积大约为cm2.

题型7:统计概率综合

的12.为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选性课：A.书法：B.绘画：C.乐器：D.舞蹈.为

了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若二名学生进行问卷调查（每个被调查的学

生必须选择而且只能选择其中一门）.将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图

中所给信息解答下列问题：

学生选修课程扇形统计图学生选修课程条形统计图

（1）本次调查的学生共有人；扇形统计图中Na=度；

（2）请把条形统计图补充完整；

（3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈四项艺术形

式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概

率.

【变式121】林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数I

据:

移植的棵数100015C0250040008000150002000030000

成活的棵数8651356222035007056131701758026430

成活的频率

0.8650.9040.8880.8750.8820.878ab

（精确到0.001）

（1）a=,b=；

（2）估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到0.01）

（3）若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？

【变式122】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.2m0.250.20.1

说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则瓶=；

(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；

(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率xl.5+0.1,第二类电影

上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率xl.5+0.1.现有一部第一类的力电影和一部第二类的B电影将

同时在某影院上映.A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000

人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片.现有3个场次

可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配4、8两部电影的场次，以使得当天的

票房收入最高？

一、单选题

1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（）

1113

--C-a-

A.3B.424

2.卜.列事件中：①两个奇数的乘积是奇数；②抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为2；③每天太阳从东边

升起：④明天要下雨：⑤长分别为2,3,4的二条线段能围成一个二角形.是必然事件的是（）

A.①②③④⑤B.①③⑤C.②④D.①③

3.连续掷一枚硬币，结果1连8次正面朝上，那么第9次出现正面朝上的概率为（）

1

O-

A.2D.不确定

4.在50包型号为L的衬衫的包裹中混进了型号为M的衬衫，每包20件衬衫，每包中混入的M号衬衫数

如表：

M号衬衫数0145791011

包数73101554