概率论复习题

概率论

学期：2007至2008学年度第2学期

得分

一、1--------------'（本大题5小题，每小题4分，共20分）

—3-1a

1、4〃为随机事件，夕（4）=P（4UA）=二则尸（4团加=_________

434

V_1

2、随机变量FML9）,则----------------.

3

3、随机变量二仅3,0.6），广仇4,0.6）,才与Y独立,则不广.

4、随机变量rMO,2）,FM2,1）,X与V独立,则〃（加'29=.

5、随机变量r^dOO,0.3）,用契比雪夫不等式估计打|X-3（）|>1）<.

二、I_____1______（本题16分）

甲、乙、丙三个工人负责操作某台机器，他们出现失误的概率分别为0.1,0.2和0.3,

甲、乙、丙误操作时，造成机器故障的概率分别为0.3,0.4和0.3,求这台机器发生故障

的概率。

三、|得分（本题16分，每小题各8分）

设一维随机变量（尤力的概率密度为

〃\—,0<X<1,0<）Y2

0,其它

求（1）关于¥的边缘概率密度（2）P[X>\/2}.

四、|得分||（本题16分,第1,2题各5分，第3小题6分）

设随机变量（尤力的联合分布率为：

求⑴4,(2)£(心,⑶〃⑴.

五、|得分||（本题16分,每小题各8分）

设总体乃的概率密度为

仇?”8+°X>C

fM=，',其中。>0已知，。:>1,。是未知参数

0,其它

X1,X2,…，X”是来自才的样本，玉…，居是相应的观察值，求（D0的矩估计，（2）0的

最大似然估计.

六、得分（本题16分）

某种导线要求其电阻的标准差不得超过0.005欧姆.今在生产的一批导线中取样品10

根，测得s=0.007欧姆，设总体为正态分布，参数均未知。问在水平a=O.（H下能否认为这

批导线的标准差显著的偏大？

（总00s（9）=23.59,总"（9）=1.74,总oQ）=21.67,总股⑼=2.088）

答案：一、（20分）

2

1、一（4分）2、N（0,l）（4分）3、伏7,0.6）（4分）

3

4、6（4分）5、21（4分）

二、（16分）

解：设〃表示机器发生故障，力、B、。分别表示甲、乙、丙操作失误。（2分）

依题意有，204）=0.1,内。=0.2,^（6）=0.3,月）=0.3,2（用面=0.4,P（用0=0.3.

（4分）

由全概率公式知，

尸（历=尸（冷尸（"力）+产（而「（用因+尸（。尸（附。no分）

=0.1x03+0.2x0.4+0.3x0.3

=0.2（16分）

三、（16分）

解：⑴/x*）=广/（^y）dy（3分）

J—<x>

=~~~力=2x（0</1）（8分）

⑵P{X>J}=J：Jx（xg（3分）

-f1Ixdx=—（8分）

Ji/24

四、（16分）

解：（1）因为Z劭=1，所以4=1—。・2—0.1—。.2=0.5（5分）

（2）关于I的边缘分布率为:

X12

Pk0.70.3

（3分）

E（X）=lxO.7+2xO.3=1.3（5分）

（3）关于的边缘分布率为：

13

pK0.60.4

（3分）

E（r）=lx0.6+3x0.4=1.8£；（y2）=l2x0.6+32x0.4=4.2（5分）

D（Y）=£（r2）-[E（r）]2=0.96（6分）

五、（16分）

解：（1）〃=夙*）=匚""）公=「女外一"公=券，（4分）

用x一代替〃，得x='c6j,解得。的矩估计量为e==X—（8分）

O-\X-c

（2）似然函数为：£⑹=口%。产1）=。"/口后（〃+）（3分）

;=1/=1

对数似然函数为：InL（6>）=77In（9+nO\nc-（O+\）^lnx,-（4分）

i=l

d\\\L（0）n弋-公、

令--------=—+〃lnc,一〉inx；=0n（n分）

dO0ft

r—1

AJ

解的e的最大似然估计值为o=-——（7分）

x-In<?

相应的最大似然估计量为6二」一（8分）

X-lnc

六、（15分）

解：设导线电阻的标准差为。（欧姆）。依题意作出以下假设：

H（）:cr<（T0=0.005,HX\（T>0.005

QIU

2

样本容量/尸10,显著性水平a=0.01,样本标准差为s=0.007取检验统计量Z

（5分）

则该假设检验问题的拒绝域为：Z2>Z«（n-D=Zo.oiW=21.67（10分），

22

而检验统计量的观测值为："L?厂=9"000?=17.64,不满足拒绝域，因此接受H。,

尻（O.OO5）2

认为bKQ005(15分)

一、得分填空题（木大题5小题，每小题4分，共20分）

1、4〃为随机事件，火月）=[，〃（0A）=LP（A|9）=，则尸（Au8）=________

423

2、连续型随机变量才的概率密度为

/（x）=Ae~x则A=.

3、已知随机变量二0（10,0.4）,则£Q）=,〃（%=.

4、随机变量犬兀（2）,广刀（3）,¥与V独立,则£'（右）”.

5、随机变量XlV（l,4）,用契比雪夫不等式估计P{|X-1|>1）<.

二、I（本题16分）

已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机

的挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？（结果用分数表示）

三、|得分（本题共16分，第1小题10分，第2小题6分）

设x〜N（O,1）,（1）求y=e'的概率密度；（2）求y=2x2+1的概率密度。

得分

四、（本题16分，第1,2小题各5分，第3小题6分）

设二维随机变量（X»的分布率为

求(1)P(X=2\Y=2}t

得分

五、本题16分，每小题各8分）

设总体广从1“），X],%，…，X”是来自丫的样本，当，々，…，须是相应的观察值，求⑴〃

的矩估计量，⑵〃的最大似然估计量。

六、|得分（本题16分）

根据累积资料，某种纤维拉力强度的期望为1.64公斤，标准差为0.33公斤；现在改变

生产该纤维工艺，在试样中随机抽取49段纤维进行拉力试验，测得均值为1.57公斤。如果

新纤维和以前生产的纤维拉力标准差相同，问新纤维和以前的纤维拉力的数学期望有无显著

变化？（显著性水平a=0.05）

(z0.05=1.64,z0_025=1.96)

答案：一、（20分）

1、,（4分）2、67（4分）3、4（2分），2.4（2分）

2

4、5（4分）5、4（4分）

二、（16分）

解：设A表示随机抽取的人是男性，B表示患有色盲。（2分）

则依题意有,P（A）=尸（彳）=0.5,P（B|A）=0.05,P（B\A）=0.0025.（4分）

由贝叶斯公式知,

P(B\A)P(A)

P(A\B)=(10分)

P(B\A)P(A)+P(B\A)P(A)

0.05x0,520

(16分)

-0.05x0.5+0.0025x0.5-2?

三、(16分)

解：⑴因为函数g（x）=』,xw（-00,4-00）单调增，其反函数为h（x）=Inx,x£（0,+co）

（2分）

所以，y=e'的概率密度为

fy(y)=fxWx)]\h>(x)\(4分)

=fx(\nx)/x（6分）

I----

=---.C2,XE(0,+8)（8分）

4/2万

（2）设y=2X?+1的分布函数为公（力,则

当灰。时，片（0=0；(2分)

当），20时

4（y）=P{yw），}=P{2X2+l”}=P{-F^wXw，^}=20＞（，^）-l

所以J,的概率密度为

"。（8分）

y<0

四、(16分)

解：(1)由题意知

/12Y01

TT

22

（3分）

P{X=2\Y=]]=-^-=—=~,（5分）

P\1/22

(2)片max(%D的可能取值为1,2o且

P{V=1}=〃2P{V=2}=〃2.（2分）

所以

V12

]”——

1212

（5分）

（3）忙加"卜的可能取值为I,2,3。且

P{W=l}=PmP{W=2}=p“+p2o,P{W=3}=p2i（3分）

所以

V123

1~~5~~r

Pk———

3124

（6分）

五、（16分）

解：（1）〃=E（X）=〃，（3分）

用》代替£(X),得又=〃，(6分)

即得〃的矩估计量为力=又(8分)

(2)〃的似然函数为：L(p)=f[pXi(l-p)l-*3Xi(3W

i=i

对数似然函数为：InL（p）=In+ln（l-p）（〃一2刈，（4分）

f=li=}

d力*

令一lnL（p）=O得上」=—―，解得力二一£茗二不为〃的最大似然估计值，（7

dpP1-pn1=1

分）

相应的最大似然估计量为力二N（8分）

六、（16分）

解:令/：〃=4=1.64（公斤）,H"“64（4分）

依题意，样本容量炉49,显著性水平a=0.05，标准差为o-=0.33,样本均值为X=1.57,

丘臀，（8分）

取检验统计量Z=

a/yjn

则该假设检验问题的拒绝域为IZ|>Za/2=20,025=1.96,（12分）

1.57-1.64

因为IZH|«1.48<1.96,不满足拒绝域，因此接受“0,不认为新纤维和以前

0.33/749

的纤维拉力的数学期望有显著变化。（16分）

一、填空题（本大题5小题，每小题2分，共10分）

1、48为随机事件，尸（的=0.6,尸（内耳）=0.5则P（彳）+P（巨）=,

2、连续型随机变最I的分布函数为

O,x<-1

F（x）=a+barcsinx,-l<x<1则（t=,b=.

l,x>i

3、随机变量£W5,9）,①⑴=0.8413,中⑶=0.9987，则。{2WXW14}=.

4、随机变量rM7,2）,Y~N（8,3）,pXY=-0.5,则E（X^Y）^,〃（齐丹=.

5、随机变量厂仅50（）,0.3）,用契比雪夫不等式估计P{|X-150|>20}<.

得分

（本题12分）

有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车来的概率分别为0.3,0.5,0.2。如果他乘火

车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为1/4,1/12,1/3。结果他迟到了，问他是乘

火车来的概率是多少？

得分（本题15分）

随机变量才的概率密度为

Asinx,0

/(-*,)=.

0,其它

求⑴4⑵喝“工于，⑶⑷⑸六/的概率密度。

四、得分（本题13分）

设二维随机变量（X»的分布率为

7

-101

-11/81/81/8

01/801/8

11/81/81/8

求⑴。U）,〃⑴，⑶。⑷。（心月。

五、得分（本题13分）

二维随机变量（尤力的概率密度为

如孙（炉一加，辟LI2

f(xty)=«

o,其它

求（1）边缘概率密度/x（x），（2）多心/的概率密度。

六、I得分（本题13分）

设总体X的概率密度为

-7（^~x）,0<x<0

/（x）=企

0,其它

X1,X2,…，X”是来自X的样本。

求（1）。的矩估计量0,⑵。@）。

得分

随机地从一批钉子中扣取10枚,测得其长度为（单位:cm）：2.14,2.10,2.13,2.15,

2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,设钉长的分布为正态，样本标准差为0.。18,

V1O=3.16,求总体均值〃的置信水平为0.90的置信区间。

Jos⑼=L83"o」o（9）=1.38,fo05（lO）=1.81/o[o（lO）=1.37）

得分

测定某种溶液中的水分，它的10个测定值给出样本标准差同0.037船设测定值总体为

正态分布，为总体方差，未知。试在显著性水平a=0.05下检验假设

H。:a2>0.04%,:a2<0.04%

（就so⑼=16.92,就59⑼=333）

答案：一、（共10分）

1、0.9（2分）2、1（1分），-（1分）3、0.84（2分）

271

4、31（1分），5+6（1分）5、3给分）

80

二、（共12分）

解：设A二｛乘火车｝,B二｛乘轮船｝,C=｛乘汽车｝,H=｛迟到｝,（4分）则P（A）=0.3,

P(B)=0.5,P(C)=0.2,P(H|A)=-,P(H|B)=—,P(H|C)=",（7分）所求概率为

4123

P(A|H),（8分）由贝叶斯公式得:

_________03-%___________9_

p⑷用_______________P(HIA)P(A)_______________=

P(H\A)P(A)+P(H|B)P(B)+P(H|C)P(C)O.3x%+O.5x%+O.2x%22

（12分）

三、(共15分)

解：⑴l=jf(x)dx=£Asinxdx=2A,（2分）所以

4=%（3分）

⑵P[-<X<—]=f^f(x)dx

（5分）

口乃/丫,3万If%.,V2+V3

所以P{—<X<——}=-.smxclx=-------（6分）

642」％4

⑶E(X)=jxf(x)dx（8分）

I广kTT

所以E(X)=]Joxs\nxdx=—（9分）

(4)E(X2)-Jx2f{x}dx—x1sinxdx-——2

D(X)=E(X2)-[E(X)]2（11分）

所以O（X）二二一2（12分）

4

（5）因为g*）=在（0,乃）上单调增，所以丫=J无=g（X）的概率密度为

,g(o)<y<g⑺

=(13分)

]o,其他

|ysin(y2),0<y<7^

10,其他(15分)

四、（共13分）

解：

由题意知

X-101Y-101

313313

Pi———P.,———

848848

313

(1)E(X)=-lx|+0x^-+lx|=0,同理后(丫)=0,（1分）

E(X2)=(-1)2X-+0X-+12X-=-,同理七(丫2)=2,

84844

D(X)=E(X2)-(E(X))2,（3分）

333

D(X)=__02=_同理D(y)二三（5分）

444

33

(2)f(xy)=ZZx，匕Pq=°，c(w(x,y)=E(xy)—E(x)E(y)（7分）

1=17=l

所以Cou(x,y)=o-oxo=o(9分)

(3)由⑵知X,Y不相关,D(X+Y)=D{X}+D(Y)⑴分)

333

所以。(x+y)='+'=3(13分)

442

五、（共13分）

解：⑴人（x）=「/（K），）外（3分）

J—00

口+刈（/2-），2）]由，i|X|<1（5分）

=<4J7=<2（7

0[o,其他

(2)fz(z)=j_f(x,z-x)dx(10

—f[l+x(z-x)(x2-(z-x)2)]t£x\-2<z<0

4J-i

^-j1[1+x(z-x)(^2-(z-x)2)Xr,()<z<2

(12分)

0,其他

2+z

——,-2<z<0

4

2-z

,0<z<2(13分)

0,otherwise

六、(共13分)

解：(1)//=E(X)=xf(x)dx=£(<9-

（3分）

_e-

用x代替〃，得]=X,（5分）所以

8(0<e<1)的矩估计量为0=2X（7分）

⑵E(X2)=匚x"(幻公=[1条{O-x)dx=某（10分）

2

D(X)=E(X2)-(E(X、N=--(-)=—,（11分）所以

1()22()

4D(X)O1

D(<9)=D(2X)=(13分)

n5n

七、(共12分)

解：钉子的平均长度为

_2.14+2.10+2.13+2.15+2.13+2.12+2.13+2.1()+2.15+2.12。

x=---------------------------------------------------------------------=2.127cm

10

(2分)

置信区间为亍士京*2（〃-1），

（8分）所以置信

区间为

（2.127一甯标式9）2127+甯品式9）），

(10分)

0.0180.018

=(2.127-xl.83,2.127+x1.83)=(2.117,2.137)(12分)

屈回

八、（共12分）

解：依题意5；=0.04%,样本容量n=10,显著性水平a=0.05,取检验统计量

2=(〃-1)：=9x(Q.Q37%)2

cr；6^04（3分）

=0.00308（4分）

则该假设检验问题的拒绝域为Z2</L（«-1）=%嬴⑼=3.33,（9分）

因为0.003080.33,（10分）满足拒绝

域，因此拒绝〃°,接受片,认为b2Vo.04%。（12分）

一、填空题（本大题5小题，每小题2分，共10分）

1、48为随机事件，夕（用」，火8|A）=LP（4|8）=，则尸（AD8）=_____.

543

2、连续型随机变量I的概率密度为

/⑴=。,其它则A=.

3、随机变量b（n,p）,旦左（a=20,〃（心=15则/尸,尸,

4、随机变量r；V(7,2),fM8,3),X与y独立,则£(2/3/=〃(片6口=

5、随机变量『6(1000,0.2),用中心极限定理估计P{X>200}=

得分

二、(本题12分)

在不超过100的自然数里任取1数，则它能被2或能被5整除的概率为多少？

三、得分(本题13分)

设二维随机变量(X»的概率密度为

x(y+l

xe~\x>Oyy>O

0,其它

求⑴求边缘概率密度fx(x)，4()，).(2)求条件概率密度fxlY(X|)，),fYlx(y\x).

四、得分(本题13分)

设二维随机变量(XJ)的分布率为

X123

01/121/81/6

11/81/241/4

21/121/241/12

求⑴P(X=2|Y=2},P{y=l|X=3},⑵片max(%»的分布率,⑶―什J'的分布

率

五、得分(本题13分)

设总体XI,X2,…，X”是来自X的样本。求凤》),O(T),E(S2)。

六、得分(本题13分)

设总体I的概率密度为

/。）=/。7,0＜工＜1,其中，＞0是未知参数

X”X2,…，X”是来自I的样本，芯,修，…，X〃是相应的观察值，求（1）。的矩估计量，⑵

e的最大似然估计量。

七、|得分（本题13分）

随机地选取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差s=ll（m/s）。设炮口速度服

从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的方差的置信水平为o.95的置信区间。

（Z；O25（9）=19.02,/975（9）=2.70,/Q025（8）=17.54,7Ms（8）=2.18）

八、|得分（本题13分）

某纱厂纺一种纱线，根据累积资料，这种线强度的数学期望为1.56公斤，标准差为0.22

公斤，现在改变纺纱方法，在试纺的线中随机抽取49段进行强力试验，测得均值为1.45

公斤。如果新纺的线和以前纺的线的标准差相同，问新纺的线和以前纺的线的强力的数学期

望有无显著差异？（显著性水平a=0.05）

（Zoos=LM，Z（1O25=1.96）

答案：一、（10分）

1、a（2分）2、2（2分）2、80（1分），,（1分）

104

4、38（1分），110（1分）5、0.5（2分）

二、（12分）

解：设力二｛取出的数能被2整除｝,庐｛取出的数能被5整除｝,（3分）由于

P（AU8）=P（A）+P｛B\-P（AB）且A,B独立，（3分）而P（A）=—=-,

iOO2

2（）1

P（B）=—=（3分）所以

1005

P（AUB）=P（A）+P（B）—P（A）P（B）=，+，—Lx，=3（3分）

25255

三、（13分）

解：⑴/x（x）=「/（x，y）d）‘=』疝，:>0

Jf（）[0,othenvi:

产\rxe~x（y+l）dx—^—,>>0

fY（y）=I/（x,），）c/x=J。=〈），+l（4分）

J—n

”0,otherwise

/（x,）,）Jx（y+l）e-3），x>0

⑵以i“r|y）=（3分）

fY（y）[0,otherwise

/（2分）

0,othenvise

四、（13分）

解：（1）由题意知

X|123Y012

~15r3~~5r

P:-Pj

242428TI24

（3分）

〃22J/24（i分）p{y="x=3}=也>=里!（i分）

P{X=2|丫=2}=

P.2-5/245P条1/22

(2)片max。；D的可能取值为1,2,3。且

P{V=1}=Pg+Pu，P{V=2）=/八2+P2.，尸{丫=1}=〃3.（2分）所以

V|123

-37r

Pk———

24242

（2分）

（3）於/F的可能取值为1,2,3,4,5。且

P{W=l}=Pio，P[W=2}=pu+p20,P{W=3}="I2+〃2I+〃30

P{W=4}=p22+p31,P{W=5}=〃32（2分）所以

V12345

ii77F~

PL—————

124242412

（2分）

五、（13分）

解：因为X~N（〃Q2）,所以E（X）=4，D（X）=/,a分）有

E（下）=E（-yX/.）=-yE（Xj）=E（X）=//（4分）

〃,=i〃i=i

Dg=D（眩X,）=；之D（Xj）==匚（4分）

n/=|八~i=]nn

由（〃；?S2〜72（〃_]）知,《史著：'=〃—],所以七（§2）=。2（4分）

六、（13分）

解：（D/7=E（X）=rxf（x）dx=「a”公=〃一,（3分）用刀代替E（X）,得兄=2

-x

（1分）解得夕的矩估计量为9=上=（2分）

1-X

（2）似然函数为:"。）=巾（时T）=夕寸煨（2分）

1=11=1

对数似然函数为：lnL（0）=〃lnO+（〃—l）flnx,,（1分）令4InL（6）=0得

i=ide

人/?AU

0=-n为8（0<6<1）的最大似然估计值，（3分i相应的估计量为。二-三一（1

口修£lnXj

1=1f=l

分）

七、（13分）

解：炮口速度的样本标准差511（m/s）,样本容量为炉9,置信水平为1一。=0.95,（3分）

由（n-\）S~~/（〃一，口分）知口/加⑻<丝匚</ms⑹}=0.90,

b<y

Zo.o25（8）=17.54,麻9乃⑻=2.18,（3分）所以/的一个置信水平为0.95的置信区间为

Qx112ox112

（----------,----------）,（3分）即（55.19,444.04）（w2/r）（l

17.542.18

八、（13分）

解：令"o:〃=A。=1.56（公斤）.H]:4Hl.56（2分）

依题意，样本容量中49,显著性水平a=0.05,标准差为。=0.22,样本均值为X=1.45,

取检验统计量Z=土牛■,（2分）则该假设检验问题的拒绝域为|Z|>z0/2=z°o”=1.96，

cr/y/n

1.45-1.56

（6分）因为|ZH1=3.5>1.96,满足拒绝域，因此拒绝“0,新纺的线和以前

0.22/、®

纺的线的强力有明显差异，（3分）

一、填空题（每题3分，共计15分）

1设AB为随机事件,P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(B|A)=0.8,则P(AUB)=0.62

2

2设连续型随机变量X的概率密度如下，则八=一

3

Acosx,--<x<0

2

/(x)=*A(l-x),0<1

0,其它

3设随机变量X〜N(2,4),中⑴=0.8413,0(2)=0.9772,则P(-2WXW6}=0.9544o

4若X,Y相互独立，且X〜N(2006,2),Y〜N(2007,3),则E(X+2Y)=6020,

D(X-2Y)=14.

5设随机变最X的方差为4,期望为16,则根据契比雪夫不等式估计概率P{|X—16|28}W二

二、得分某炮兵营共有36门火炮，其中一等炮9门，二等炮12门，三等炮15

门。

已知这三种等级火炮的命中概率分别为0.80,0.75,0.36。现在任令一门炮发射一发，试求

命中目标的概率。（12分）

设4={第/•等火炮发射一发）"=1，2,3）,B={一门炮发射一发命中目标}3分

p（8）=tp（4）p（8|4）3分

/=!

9I?1S

=—X0.8（）+—X0.75+—X0.364分

363636

=0.602分

得分（15分）

设随机变量x的概率密度为/"）="'丁，求：

（）,其匕

1、A2、P{1<X<2：,3、E（X）4、D（X）5、Y=cosX的概率密度

1、1=fAxdx=A'-2分，A=1分

J。242

「22j3.

2、P{1<X<2}=—xdx=-3z分

7T7l~

122

3、E(X)=Ix-xdx=-7l3分

J。7l~3

开

4、E(X2)=Vx12-xdx=1-7l2D(X)=E(X2)-[E(X)]2=]-^2-'2-7u\=—23分

Jo7T~22UJ18

—arccos>♦.-1<y<1

5、4(y)=丁V1->,23分

0,其它

得分（12分）设二维连续型随机变量（X,V）的密度函数

0<x<y<4-oo

f(x,y)=<

其他

试求：⑴边缘密度函数&*）,⑵边缘密度函数6（y）,闭2=乂+丫的密度函数。

f4-X

「/、xe~ydy=xe~x,x>0八

⑴/x*）={L4分

0,其它

['xe~ydx=-y2e~y,y>0八

⑵4（），）=,J。2?4分

0,其它

(3)由0<xVy<+8,z=x+y得x>0,z>2x,则

z>0W,A(z)=JJ^-(2-x)clx=^~e'1+e~2,3分

zWO时，。(z)=01分

五、得分（12分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为:

c-xy,0<x<2,0<y<2,、

/(X,y)=8，求：1、E(X),2、E(Y)3、COV(X,Y)

0,其它

1、E(X)=|x2ydcdy==1

4分

2、EC)=J2”“必="J>可》沁、

4分

3、E(XY)=££^x2y:dxdy=y2^=1