高等代数知识点归纳

叫

ai\Ai+%可2+…

1.0,iwj.

AOA*A

OB~OB*

oA*A=(-ir|A||B|

BOBO

范德蒙德行列式：

11—1

玉xz…x”

=

X；X2Xnn)

•••\<j<i^n

・•♦••

.n-l..“一I

AvlA2…入〃

代数余子式和余子式的关系：

分块对角阵相乘:

分块矩阵的转置矩阵：

,为中各个元素的代数余子式.

A4"=/f4=|山七,⑷=|A『，k]=]A「.

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分块对角阵的伴(AT)T=A(A6)，=5KM-H—心(A7)・=(A*),

随矩阵：

矩阵转置的性质：

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：(4“尸=A=53甲=呢(A-1/=(A*)­,=A-*

伴随矩阵的性质：W)・=(A・)”

(A-,)*=(A*)-，=1

(4)*=|ArZ(人0*=3*A*

n若"A)=n

1若r(A)=〃-l|明=同网AA^=A^A=\A\E(无条件恒成立)

0若

矩阵的秩的性质:

①AwOor(A)21;A=O。*A)=();0Wr(Awx„)Qmin(私n)

r(A)+r(B)<n

④若人"…若『(AB)=OA

庞勺列向量全部是At=(用勺解

⑤r(AB)Wmin(r(A),r(B)}

⑥若、可逆，则：即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

。Av=o只有零解

r(AB)=r(B)

⑦若，‘d")=n<

=A在矩阵乘法中有左消去律，AB=O=>B=O

AB=AC^B=C

r(AB)=r(B)

若"％,)=〃=><

B在矩阵乘法中有右消去律.

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（EO\（EO\

⑧若=与唯一的1等价.称】有为矩阵A的等价标准型.

C/C//c/C/j

⑨r(A±8)<r(A)+r(8),max{r(4),“B)}<r(A,3)<r(A)+r(8)

。、（OA、zc、

=r(A)+r(B),wr(A)+r(B)

°，。B,

①|标准正交基|〃个〃维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.

..A[H]=，4A4[Ml，i=/，

（7.,A,+^A.+--aA=\..%A+%%+…%A〃=4..

③？？22mjn[0,,〃•？？1°,”〃.？？记为？？？？

|A|,i=j,

ai}A.}+aj2Aj2+^ainAjn=<..

U,I*）.

④向量”（49，的长度|同=J（a,。）=Z。；=《a；+a；+♦+〃；

------------------------f=l

⑤是单位向量.即长度为的向量.

内积的性质：①正定性②对称性③线性性

,称为矩阵的迹.

特征值与特征向量的求法

（1）写出矩阵A的特征方程，求出特征值.

（2）根据（4-/l,£）x=0得到A对应于特征值儿的特征向量.

设（A—4后»=。的基础解系为…其中弓二「仍一4£）.

则A对应于特征值4的全部特征向量为…

3.其中为任意不全为零的数.

4.①|A与B相似[P]AP=B（P为可逆矩阵）

②|A与B正交相砌P]AP=BCP为正交矩阵）

③|A可以相似对角酎A与对角阵A相似.（称A是A的厢似标准形

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7.矩阵对角化的判定方法

①〃阶矩阵A可对角化（即相似于对角阵）的充分必要条件是A有〃个线性无关的特征向量.

这时，为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.

设为对应于的线性无关的特征向量,则有：

化）

,人

P-[AP=~

②可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.

：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数.

③若〃阶矩阵A有〃个互异的特征值nA可相似对角化.

正交矩阵A4r=E

③正交阵的行列式等于1或

⑤两个正交阵之积仍是正交阵；

⑥A的行（列）向量都是单位正交向量组.

求正交矩阵丁，把实对称矩阵/化为对角阵的方法：

1.解特征方程|/一九七|二0,

求出对称阵，的全部不同的特征值44,…・人

2.对每个特征值为，求出对应的特征向量，

即求齐次线性方程组（/-^E）x=0的基础解系。

3.将属于每个4的特征向量先正交化，再单位化。

这样共可得到〃个两两正交的单位特征向量7,%,…,办

4.以7，%，…，力为列向量构成正交矩阵T…，%）

有=A

第4贝共7贝

施密特正交规范化四,%，%线性无关，

正交化邛『%-窑庄0、

\P\，P\）

-=%_（%，⑷夕（%，A）

3（ArA）（A^2）

单位化：

1.（二次型

其中为对称矩阵，

（与合同.（）

求C（AI）T（B（TT）这个变换先进行行变换再进行一致的列变换最后求得C和（TT

③I正惯性指数I二次型的规范形中正项项数pI负惯性指数］二次型的规范形中负项项数r-p

④两个矩阵合同。它们有相同的正负惯性指数。他们的秩与正惯性指数分别相等.

⑤两个矩阵合同的充分条件是：与等价

⑥两个矩阵合同的必要条件是：

2.经过化为标准形.

①正交变换法

用正交变换化二次型为标准形（规范形）的具体

步骤

1.将二次型表成矩阵形式f=求出A：

2.求出，的所有特征值4，乙，…，儿;

3.求出对应于特征值的特征向最［.打，…，之；

4.将特征向量号舄,…电正交化,单位化.得

4彷，…/，记尸=（〃「%「•”）：

5.作iE交变换x=Pj，,则得了的标准形

f-AJ?+…

②配方法

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（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行,

（2）直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;

若二次型中不含有平方项，但是（），则先作可逆线性变换

＜勺=升+匕（％=1,2,，〃且

3.正定二次型不全为零，.

正定矩阵|正定二次型对应的矩阵.

4.为正定二次型（之一成立）：

（1）,;

（2）A的特征值全大于0；