概率论与数理统计

第一章

1.(1)2,={(1,1),(1,2)(1,3M6,6))

2：

(2)A2={X\X]<X<X2]匹:当日最低价工当日最高价

(3)4={0,1,2,3,}

(4)4={1,2,3,…}

2.(1)(3)

3.2={1,23,4,5,6)

A={1,3,5,}

8={123,4,}

C={2,4,}

A+8={123,4,5}

A-B={5}

3+A={2,4,}

AB={1,3}

AC=0

N+3={1,2,3,4,6}

4.(5)ABC+~ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC

(8)ABC+ABC+ABC+ABC

(10)AB+^C+AB

(11)A+B+C

9.©vP(A-B)=P(A-AB)=P(A)~P(AB)=0.25

又♦:P(A)=0.4

r.P(4^)=0.15

②P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=0.4+0.25-0.15

=0.5

=P(B)-P(AB)

=0.25-0.15

=0.1

(4)P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)

=1-0,5

=0.5

1().•/P(A+B+C)=1-P(ABC)

而P(A)=l-P(A)=l-0.4=0.6

^P(A)=P(AB+AB)

=P(AB)+P(AB)

：.P(AB)=P(A)-P(AB)=0.4

又=~ABC-i^BC

,P(AB)=P(ABC)+P(ABC)

P(4^C)=0.4-0.1=0.3

AP(A+B+C)=0.7

11.A="其中恰有K件”

②B二“其中有次品”

B="一件次品也没有”

_cn,

③C二“其中至少有两件次品”

0="只有一件次品，或没有”

rH「〃一1

S-N\LN'N-N|

P(C)=1-P(C)=1-cF

12.①:A二"男生比女生先到校”

24>6!_24!_1

P(A)=

②B二“李明比王先到学校”

P（8）=；

13.C=“至少两人生日同一天”

C=“每个人生各不同”

P（C）=1_P©=「365.364....（3653D

365”

14.①人二“第2站停车”

4=“不停车”

二.P（A）=I-P（A）=1-（|）25

②B二"第i和第J站至少有一站停车

B="第i站到J站都不停”

③吊一“第i站有人下车（停车）"A.="第j站有人下车”

p（AcA,=1-（47可）=1-p（无o7"）

=ITP（A）+P（A）-p（4A）］

=I-P（4）-P（A/）+P（A4）

=1—g）25x2+?产

④D二“在第i站有3人下车”

P（O）=C*（］）3.（产（贝努里试验）

15.（1）A="前两个邮筒没有信”

（2）B=“第一个邮筒恰有一封信”

16.A="前i次中恰好有取到k封信

17.4="第三把钥匙可以开门”&="第二把钥匙可以开门”

①P（A3）=+A4A+A4A）

尸

=p（A4&）+（aA2A3）+p（4A2A3）+p（AA2A3）

432654463643

=----X—X—+-----X—X-H--------X-X—+------X-X-

1098109810981098

24+120+144

720

4

To

②&="第三把钥匙才可以开门”

③C=“最多试3把就可以开门”

464654

P(Q=-----1-----x——x—x—

101091098

5

6

18.贝努里试验

A="其中三次是正面”

19.A="恰有一红球，一白球，一黑球”

3j

C322248

20.P(4)二

13!13!

21.几何概型

A="等待时间不超过3分钟”X—＞到达汽车站的时间

。=仲W+10}

4=俅+7Wr+10}

•・"黑H

22.A="需要等零出码头的概率”

x—>第1条船到达时刻y—>第2条船到达时刻

Q={(x,y)|0<x<240<y<24}

i4={(x,y)|0<x-y<20<y-x<\}

242—；(22?+23?)

•小嗡=

242

23.A=”第一次取出的是黑球”

B="第二次取出的是黑球”

Q•(Q—1)

P(AB)(a+b)'(a+b-\)a-1

(1)P(8|A)=

产⑷aa+b-\

a+b

a-1

(2)a+ba+h-]a-1

PM瑞aa-\ba

--------+------a+b-\

aA-ba+b—\a+baA-b-}

(3)A="取出两个球，有一个是黑球”B二“两个都是黑球”

nA=a(a+b-})+h-a=a(a+2b-\)

nB=a-(a-1)

P(B\A)=^~a{a-\)

nA[a(a+2b-\)]a+2b-i

24.(1)P(Bk)=P(AB)

P(A)

,:Bn八

AB=A

P(AB)_P(A)

「.P(B|A)

P(A)­一P(AL

B}B2=,

.一(明)+尸(他)

P(A)

P(AB})।P(AB2)

-P(A)一⑷

=P(B,|A)+P(B2|A)

25.(1)4={(男，男)，(男，女)(女，男)(女，女)}

A=”已知一个是女孩，”=｛（男，女）（女，男）（女，女）｝

C="两上都是女孩”=｛（女，女）｝

p(C|A)=-

3

(2)解略P(A,|4)=1A="第i个是女孩”

26.A="点数为4”

「⑷啜W

27.A="甲抽难签"B二“乙抽难签”C二"内抽难签”

4

①。⑷F

②2初)=隔)，(甲)

64

=------

109

24

90

4

~L5

③尸(A8O=P(Q•尸C(@A)・P(qAB)

432

=—X—X—

1098

24

-720

28.A="试验成功，取到红球”

舔=”从第二个盒子中取到红球”

B、="从第三个盒子中取到红球”

P(A)=P(AB(j+4用)

=P(AB°)+P(ABJ

=尸（综）尸（川综）+尸田）.尸（刈四）

1738

----------1-----x—

21()1()10

59

100

=0.59

29.A=“废品”用=“甲箱废品"B2=“乙箱废品”

（1）尸（A）=P（Ag+他）

=尸（4）0（闻4）+尸（层），（川当）

320

=—-0.06+—0.05

5050

=0.056

。、…、3000x0.06+2400x0.05

"）P（A）=--------------------------------

30x100+20x120

180+120

5400

1

"18

30.Bj=“第二次取球中有i个新球”i=0.1,2,3

4="第一次取球中有j个新球”j=0,1,2,3

（1）

P（B2）=P（B2\+B2A.+B2A2+B2A3）

=p（4）•P14）+P（A）•Pla）+）

（色（层P（A2）.P（B2\A2

+P（4）•尸（闵4）

「J

P（A/）=力―J=0,1,2,3①

CI2

p（4）二*聂

J=0,1,2,3②

分别对应代入该式中，可得:

P（B2）=0.455

尸（4吗）_P（A）P（当同）

（2）P（A忸2）=

P（B?）-P（B2）

将①，②代入该式，可得:

p（4忸2）=0.14

31、A="确实患有艾滋病”

B="检测结果呈阳性”

由题知：。(qA)=0.95夕印)=0.01P(A)=0.001

①呻忸)=迪=——“世_

P(B)p(4).尸(即A)+尸(A)•P(BA)

0.001x0.95

-0.001x0.95+0.999x0.01

=0.087

②c二"高感染群体确实患有艾滋病”

P(C)=0.01

PC网二屿=—e竺).

P(B)P(C)•P(B|C)+P(C)•P(BC)

0.01x0.95

-0.0lx0.95+0.990.01

=0.49

32.解：不能说明“袭击者确为白人的概率”为0.8

设A=”被袭击者正确识别袭击者种族”

"错误识别袭击者种族”

B="袭击者为白人"B="袭击者为非白人”

根据已知条件，有

P(A)=0.8P(A)=0.2

P(B)=P(BA+BA)

=P(AB)+P(AB)

=Q(A)•P(B|A)+P(A)-P(@A)

=0.8xP(B|A)+0.2xP(BA)

因P(B\A)与P(B\A)未给出，因而不能断定

P(B)=0.8

33.解：P(A)=P(B)=P(C)=-P(AB)=P(BC)=P(AC)=-

24

/.AB,C两两独立,

又P(ABC)=-^P(A)P(B)P(C)=-

48

.•.ABC不相互独立，只是两两独立。

34.①P(A)=0WB/有P(AB)=O=P(A)P(B);.A,8独立

②P(4)=l有P(A)=0「.不与B独立独

vP(AB)=P(B)-P(AB)nP(AB)=P(B)-P(AB)

=P(B)-P(A)P(B)

=P(B)(1-P(A))

=P(B)P(A)

35.P(A)>0且P(B)〉O且A,B互不相容

则A,B不可能相互独立

因为尸(A3)=0)=0但因为P(A)>0P(B)>0

P(AB)=0#P(A)P(B)

不独立

36.A,B,C相互独立，证明,，豆6亦相互独立

证：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)MP(AB)=P(A)P(B)

P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)

贝ijpCAB)=P(7UB)-I-P(A+B)

=1-P(A)-P(B)+P(AB)

=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

=[1-P(A)][l-P(B)]

=P(办P(初

同理可证P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)

下证P(ABC)=P(A+B+C)=1-P(4+B+C)

=1-P(A)-P(B)-P(C)+尸(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC)

=1-P(A)-P(B)-P(C)+P(A)P(8)+P(A)P(C)

+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)

=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)

=P(A)P(B)P(C)

：.相互独立

37.证略，可用数学归纳法

38.A="第一道工序出品”

B="第二道工序出废品”

c="第三道工序出废品”

P(A+B+=P(ABC)

=1-P(&•P(B)-P(C)

=1-0.9x0.95x0.8

=0.316

39.A="雷达失灵”B=”计算机失灵”

P(AB)=P(A)xP(B)(因为独立)

=0.9x0.7

=0.63

40.B="击落”A,B,C分别代表三收炮弹

4=，发炮弹击中敌机i=1,2,3

P(4)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.3x0.7x0.7+0.7x0.7x0.3+0.7x0.7x0.3

=0.441

P(A2)=P(ARC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.3x0.3x0.7+0.3x0.3x0.7+0.3x0.3x0.7

=0.189

P(A3)-P(A5C)=0.27

P(@A)=0・2

尸(日&)=0.6

P(4M=I

P(B)=0.44lx0.2+0.189x0.6+0.027x1

=0.2286

P(A).P(B|A)

P(B)

0.1890.6

0.2286

=0.496

习题二（A）

I.解：X:甲投掷一次后的赌本。

Y：乙......

X2040Y1030

p11P11

2222

0.XV200,x<10

x〜Fx(x)=J,20<x<40丫〜Fy（），）=1()<x<3()

2'2

I,x>401,x>30

Fx(X)

Fr(y)

1030

2.解

(1)

IOD100

ZP(x=，)=1=Za2'=1

;=i;=i

100|

=汇2'=1=。=元L

t2,

f-1

(2)

1()08

Xp(x=，)=1nZ2a'=1

/=l/=1

=2象/=

i=li=l2

3.解

X-5-202

7^~~111

5io52

4.解

C17

(1)X:有放回情形下的抽取次数。P(取到正品)=-^-=—

C：。10

P(取到次品)=—

10

X123i••,

77373产7…(3M7…

10'101010101010

(2)Y:无放回情形下。

Y1234

77327~~3217

10109109810。87

5.解

14

P(X>-3)=1-p(X<-3)=1-p(X=-5)=1一一=-

5

P(|x|<3)=p(-3<X<3)=p(X=-2)+P(X=0)+P(X=2)=-

5

P(|x+1|>2)=p(X+l>2)+P(X+l<-2)

=p(X>l)+p(X<-3)

=p(X=2)4-p(X=—5)

7

=To

6.解

(1)根据分布函数的性质

Xr/(幻=/⑴=W+A£=1nA=1

(2)尸(0.5<X<0.8)=尸(0.8)—尸(0.5)=0.82-0.52=0.39

7.解：依据分布满足的性质进行判断：

(1)—CO<X<4-00

单调性：々=>产（F）<尸（々）•在0<x<”时不满足。

（2）0<X<4-00,不满足单调性。

（3）—8VXV0,满足单调性，定义”-8<*,°是可以做分布函数

6,0<x<oo

的.所以，F（x）=—能做分布函数。

1+厂

8解

所以X是连续型

(2)F(x)在x=0处连续，但在X=1处间断,所以X不是连续型。

9解：

(1)

i)求a,由

f(x)dx=1=「a/"dx=1

n2a/e~xdx=1n-2w£e~xcl(-x)=1

1

=>a=—

2

ii)F(x)=P(X<x)=「dx,

当x<0,F(x)=「-e^dx=--e-x二=-ex

J-822-2

当x20,F(x)=j°+£"；e7dx=1-1r

-e

2

-e\x<0

所以F(x)={2,

x>0

2

iii)

P(-l<X<^-)=F(^-)-F(-l)

22

(2

i]~Tl-i[1z--

=1——e2——e=1——(er+/)

222

p(X>1)=F(+oo)-F(l)=l-(l-^e-,)=^e_,

I1

P(—<X<V2)=1__e-叵-(1__J7)=—(J万-e^)

2222

⑵i)求a:

「/(x)dx=l

J-8

=>j0必:+£xdr+J(2-x)dx+[Odx=1

o+(2x-^x2)

n/-4〃+4=0

=>a=2

ii)F(x)=P(X<x)=jf(x)dx

X<0,F(X)=0.

0WXV1,F(x)=^xdx==x2

Kx<2,,F(x)=])x<Zr+j(2-x)tZx=g+--1=2x-^x2-1

X>2,F(x)=l.

0,x<0

l2

x0<x<l

2.

所以：F(x)=

2x——?-1,l<x<2

2

1,x>2

iii)

P(^-<x<V2)=2x^/2-^(V2)2=272,

P(X>1)=14,(12)4

f+00

10.f(x)dx=1,因f(x)关于x=u对称=>j\u-x)=f(u+x)

J—00

=>/(2M-X)=/(W+(u-x))=f(u-(u-x))=f(x)①

下面证明，f(y)dy=[于(z)dz,②

J-00Ju-x

令z+y=2u=>y=2u-z

T"+xfu-.tru-x

Jr/()')")'=「/(2〃-z)d(2〃-z)=-L,/(2〃-z)dz

=[/(2M-z)dz=ff(z)dz(由①式有f(2u-z)=f(z))

Ju-xJw-.r

ru-xf-KO

又|f(z)dz+[f(z)dz=|f(z)dz=\t由于②式

J—00Jtt-KJ-8

=>]f(z)dz+\f(y)dy=}

J—QOJ-8

nF(u-x)+F{u+x)=l

11.解

(1)第2题(2)：

耿切.2"£2钊=2/2(聂

M/-I)/-IJ

(2)第3题：由分布律得：

EX=-5x-+(-2)x—+0x-+2x-=--

510525

12.解：ER=1%XO.1+2%XO.14+6%X0.1=3.7%,

若投资额为10万元，则预期收入为

10X(1+3.7%)=10.37(万元)

DR=ER2-(ER)2=15.7X104-(3.7)2X10M=2.01X10-4

ER2=(l%)2X0.1+(2%)2XO.1+(3%)2XO.2+(4%)2X0.3+(5%)2X0.2+(6%)2X0.1

=105+4X10'+18X10'+48X105+50X10-5+36X105

=15.7X10"

13.解：题意不清晰，条件不足，未给出分期期类.

解一.设现在拥用Y，收益率k%假设现在至1100时仅一期，则

K%=U2dU=Y=1100

Y声

100

(

FY(x)=p(Y<x)=p("°，<x)=p(k>1122-1)x100

14-AX

100

1100-〜22000

&一"次=>2。（------1)=21--------

x

220000<(-!-^-1)X100<5

4。)=竽hx

ax0,其他

22000%E100

尸1.05

0,其他

1100

EY==220001nV]io。/=220()()xIn1.05^1073.4元

1.05/1.05

解二，由于0WxW5题意是否为五期呢？由贴现公式

11OO-Yv1100

5K%=----------nY=--------

Y1+5K%

PF二P(段O)=p(-20C—-D)

“11004400

:[।loo~dx=1—20(——-1)•—二5

J20(--i)5x5x

44000<20(^5-l)<5_4400当—00

fyM=x~x尸1.25

0其他0,其他

EY=f：；xfY(x)dx=4400-In.；L25=4400.In1.25«981.2

14.证明:E(X-EX)2

=r(x-EX)2f(x)dx=V\x2-2x£X+(EX)2)f(x)dx

J-<oJ-«x

=rX2f(x}dx-2EXrxfMdx-^kEX}1V"f(x}dx

J-<CJ-8J-<0

=EX2-2EXEX+(EX)2

=EX2-(EX)2

15.证明：(2.31)

D(ax)=E\ax-E(ax)\

=E[a(x-E.x)Y=Ea2(x-E.x)2=a2E(x-Ex)2=a2DX

(2.32)

L(C)=E(X-C)2=E

16.①连续型。

普照物〃50Th2.3证明过程

令〃")二次一所]2

则

Eh(x)=J：〃(力f(x)dx=((g2/z(x)f(X)公N/+£^2A(x)/(xXv>h\x)f(x)dx

2/Lg2/。世=£，P(%(x)2£2)

于是有(*)

将八或)二或任乂)2代入(*)得〃卜一反0£}«E(XjX)2一衰(证中).

②离散型。

E/?(x)=Z/?(七)•p(xi)=ZMx)〃Cq)+Xh(xJ,P(xi)>2〃(七)，〃(£)

222

i=-<»/H-vJieh(xt)<eItixJiE

A..XP(F)=£2p35)N£2)

Mx,)2/

于是〃,(七)>e2}<隼)同理将h(x)=(x-EX)2代入得P(\X-EJ\2£)«当

17.解：设P表示能出厂。P=0.7+0.3X0.8=0.94

q表示不能出厂。Q=0.3X0.2=0.06

(DX〜b(n,0.94)X:能出厂数

P(X=K)=C：(0.94)”(0.06)〃-K

(2)P(X=n)=C：(0.94)”(0.06严=(0.94)n

(3)Y~b(n,0.06)Y:不能出厂数。

1—P(Y=0)-P(Y=1)=1-C：(0.06y(0.94)"T—Cn°(0.06)°(0.94>

(4)EY=nX0.06,DY=nX0.06X0.94

18.解

X012•••n•••

pPg°pq1pq2…pq"

q

EX=£小pq'=p冗w=P'2=".(其中注意应用：£W二qJ

“=o〃=o(1一q)P”=o(1一9)

19.解：已知X~P(4)

P(X=1)=---=2p(X=2)=2x―——n%=无=>2=1

EX=DX=2=1

EX12=(EX)2+DX=/l2+A

)3i

P(x=3)=—=’=」-.(其中；1=1)

3!66e

2().解：P:等车时间不超过2min的概率，X:等车时间

P=P(X<2)=J^/(x)^=jj1dr=|

i3

q="p=W

再会Y：等车时间不超过2分钟的人数

P(y=2)+P(Y=3)=C；(|)2(*|+C；($3=岩=崔=0.352

21.解：设Y:利润

X:理赔保单如:X〜b(8000,0.01)

Y=500X8000-4D000X

由EX=np=8000X0.01=80

EY=400000040000X80=800000

22.解

j>-Axx>0

(1)X〜/*)=<0

x<()

F(x)=J：f[x}dx=/Xe-Zxdx=-^e-^xd{-Ax)=—eq:=-(e-Av-1)=

二1x>0

所以:Rx)

x<0

EX,DX推导见原习题解。

23.证明

X〜e(2)-'X"°

0,x<0

p(X>r+s)\-p(X<r+A)

P(X>r+sX>s)=

P(X>s)1—P(XMs)

1—(1—e")-e"一‘

=1-(1-e-Ar)=1-p(X<r)=p(X>r)

24.W：设X:表示元件寿命，X〜e(—!—)

1000

Y:1000h不损坏的个数，当丫为2以上时系统寿命超过lOOOh,y〜伏3,p)

P:lOOOh不损坏的概率。

-----1000.

P=P(X>1000)=1-XX<1000)=e晒=e'1

q=1-p=\-e~l,

多元件独立工作

p(Y=2)+P(Y=3)=C~P2qx+C；p3

=。-7)2(1-丁)+4(/1)3

=3/(15)+/3

=3e2-2e-3

25.解：X〜N(〃,cr?)

E：言-令，二鬻)

,+工I--V

-=(//+2dy

J-J2%

12万J，

26.解

p=〃(N>19.6)=p(x<-19.6)+p(x>19.6)

19.6-0

=2"HF=0.05

n=100

Y:误差绝对值大于19.6的次数

Y〜b(100,0.05)

a=P(Y>3)=l-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)

用泊松分布近似计算：/l=/?p=100x0.05=5

a=l-P(Y=0)-P(Y=l)-P(Y=2)

,555'e-552e-5

=1----------------------=1-18.5/

0!1!2!

27.解:

设C:损坏，

则由题意：p(c|X<200)=0.1

p(c|200<X<240)=0.01

p(c|X>240)=0.2

200_220

p(X<200)=①。()=①o(-O.8)=0.2119

“(200<X<240)=2①0(0.8)-1=0.5762

p(X>240)=p(X<200)=0.2119

所以：P(C)=0.2119X0.1+0.5762X0.01+0.2119X0.2=0.06931

而由贝叶斯定理有：

200240

爪200<X<240卜)=。(4，―)

P(c)

0.5762x0.01八八”

=----------------=

0.06931

28.解:设数学成绩为:X.X~N(70,100),由题意：

P(X>6/)=5%

即1一p(X<a)=5%=p(X<a)=0.95

①,若/)=0.95

纥%.645

1()

a=70+10X1.645=86.45分

29.

X20422乃24万26〃

0.40.30.2

Y10041214144万1694

70.10.40.30.2

30.解：令丫=。乂+8

4(丫)=P(Y<y)=p(方+尸<y)=p(X<^~)=F(^~)

ax

fy(y)=FY(y)=Fx(3)=£.(T)•,

aaa

b-aaa

0,其他

1ax+p<y<bx+p

即ha-aa

0,其它

也即Y在［a。+B,ba+.8］上服从均匀分布。

1

-

2-1

31.解：令Y=X)X〜£(x)=x<

1<他

其

0,

FY(V)=p(Ywy)=p(X?<y)=p(-y[y<X<^y)=工.(4)一R(-5

'—L，0〈6W।-L，0<y<1

=\^y[y即：fY(y)=(477

〔o,其他〔o,其他

Fy(y)=J'"(x)dx=-M=v

0,y<0

即：4（y）=0<y<\

2

1,^>1

x>0

.解：

32x〜e⑴〜fx(x)=,

0,x<0

Y=ax+B

耳(y)=p(Y<y)=p(aX+^<y)=p(X<匕2)=E(匕巨)

aa

fy(y)=/：()')=耳(T)=fx(3)」

•vaaa

y-/720--<y-py

eay^P

a-1a

其他0,其他

Ry-fl

Fy(y)=K(二-)二j二

a

r

——(v-fi)^>oJ--(y-fi)

l-ea,1-a

=<a<e,

0,其他0,其他

33.解：令X:直径f(x)

,0其他

4x

丫：体积\=-7T(-)3

32

w产/\、Jf"4/X、31741141〃11

EY=i>(x)f(x)dx=-------dx=一冗---------------x=-------------

J"32b-a3b-a321a24(b-a)

=^(b+a)(b2+a2)

34.解：

4(y)=p(Y<y)=p(|X<y)=p(X*y)=e^dx

UZu

0xx0

Ti2”

y-J”

=-e2-\=l-e2.(y>0)

所以：

y

le

Fr(y)=<->>()

0,y<0

所以：争2=4()，)=；/(y>o)

ay2

所以：

1”

g(y)=4。')=,2,y>0所以：丫〜犬⑵

0,y<0

.35.解X-e(2)

2e~2x2x

fxM=\Jx>0\-e-,x>()

所以:Fx(X)='

x<00,x<0

耳(y)=P(y4y)=p(l-e~2X<y)=p(e~2X>l-y)=p(-2X>ln(l-y))

=pX<-^ln(l-y)=Fx(-1ln(l-y))

2

-2(--In(l-y)

\-e,0<y<l—),0<y<1y，0<J<1

1,”11,），之ii,)，21

0,y<00,yv0o,y<0

0<y<1

0<y<1

4（），）=<”1/y(y)=

0,其他

0,)Y0

(In^wr

1、1

一夕(Z1Inx),x>02M,A>0

36.解:由已知参考（）知AW=,e

x2EX

0,x<00,A<0

当前价格X°=10元。

(In

dx

依据〃67-eg2.31

EX=e/，+T=15=>/"i=152

l<7?4/229

}=>e-1=——=>ea=——

,225225

DX=(/-1)=