概率论与数理统计第三章练习题和答案

第三章

i、设二维随机变量（x，y）的分布列为：

2、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,

以X和丫分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X和丫的联合分布律；（2）X

和y的边缘分布律。

3、（X,Y）的联合分布律为：

X-101

-11/81/81/8

02/81/82/8

（1）求X,Y的边缘分布律；（2）X,Y独立吗？为什么？

（3）求Z=X+Y的分布律。

4、设随机变量X服从参数为3的泊松（Poisson）分布，丫服从参数为4的泊松

分布，且X与y相互独立，证明X+Y服从参数为7的泊松分布。

5、二维随机变量（X,Y）的概率密度为

一、［AeF+2?x>0,y>0

0,其他求：（1）系数A；（2）X,Y的边缘密度函

数；（3）问X,Y是否独立。

6、将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面

次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X,Y）的联合概率分布；（2）〃{y>x}.

7、设二维连续型随机变量（x,y）的联合概率密度函数为:

2,0<x<\,x<y<\

/(%,y)=«

0,其它

求：（1）关于才和Y的边缘密度函数小（外和人（y）；

（2）X与Y是否独立？为什么？

8、设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为

15/y0<x<y<1

/(x，y)=・

0其它

求（1）.求边缘概率密度函数£（x）Jy（y；）；

（2）求4x（乂©；

（3）求产{X+VW1}o

9、袋中有5个球，标号分别为1,2,2,3,3,o从中任取2个球，以X和Y分

别表示这2个球中标号为最小的号码和最大的号码。

求（1）求X和Y的联合分布律；（2）求X和Y边缘分布律；（3）求X=2时，Y

的条件分布律。

10、设随机变量x与V相互独立，x,y分别服从参数为人"（々¥〃）的指数

分布，试求Z=3X+2Y的密度函数/z（z）.

cre-v,()<x<y<+oo,

11、设随机变量（X,V）的联合概率密度为“X,y）=•

0,其他

⑴求常数c;

（2）求x与y的边缘分布；

（3）x与y是否独立？为什么？

⑶求p{x<i|y<2},尸{x=2}；

（4）求（x,y）的联合分布函数；

（5）求2=乂+丫的密度函数；

⑹求P{X+y<l};⑺求P{min（X,y”l}.

第三章

i、设二维随机变量(x，y)的分布歹u为:

2、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,

以X和y分别表示甲和乙的命中次数，试求：(1)X和y的联合分布律；(2)X

和y的边缘分布律。

解：(1)x和y的联合分布律为：

尸(X=/〃/=〃)=67(0.2)”'(0.8产"(；(0.5)”(0.5产”x4(l-m)

“2,"分别知,1,2。

(2)x和y的边缘分布律:

由于x与y相互独立，所以x和y的边缘分布律为：

P(X=m)=G*(0.2—(0.8产，m=0,1,2。

P(Y=n)=C;(0.5)”(0.5产”，n=0,1,X

3、(X,Y)的联合分布律为：

X-101

-11/81/81/8

02/81/82/8

(1)求X,Y的边缘分布律;(2)X,Y独立吗？为什么？

Ae-（g）,x>0,y>0

0,其他求：（1）系数A；（2）X,Y的边缘密度函

数；（3）问X,Y是否独立。

解：（1）由1=y}dxdy=J；]；Ae~'x+-yidxdy

=A^e-xdx^e~2>dy=^A所以4=2

（2）X的边缘密度函数：/x（x）=R>0

0,其他

2e

Y的边缘密度函数：fY（y）=「"/（X,），）公=[>,>0

J-8八其他

（3）因/*,y）=fx（x）人（）'），所以X，Y是独立的。

6、将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面

次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X,Y）的联合概率分布;（2）P{Y>X}.

解：由题意知,X的可能取值为:0,1,2,3；Y的可能取值为:1,3.----------

'1丫1

且P{X=O』=3}=-J=-

中=心"七黑"

P{x=2,y=i}=clB|=|

（1）（X,Y）的联合分布为

1

30

8

（2）p{y>x}=p[x=o,y=3}="

7、设二维连续型随机变量（x,y）的联合概率密度函数为：

"3）=1（。2,，0其<它x<l,x<y<1

求：（1）关于才和y的边缘密度函数/x*）和6（y）；

（2）才与V是否独立？为什么？

解：⑴Wf7（L，=['，=2（i）,0<x<

Jr0,其它

/">')=J：：/(xy)dx=,£2dx=2y,0<<1

0,其它

（2）因为/x（x）4（y），所以x与y不独立。

8、设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为

15K2y0<x<y<l

/U，y)=,

0其它

求⑴.求边缘概率密度函数八。），力（》）；

（2）求人/（小）；

(1)求产{X+YK1}o

解：(i)/x(x)=J/a，y)力

-00

11c

222

0vx<1时，fx(x)=J15xydy=—x(1-x)

x2

r/\--X"(1—X~)0<X<

fxM=2

0其它

■kx>

24

fy(y)=\f{xyy)dxOcyvl时，/r(y)=j15xydx=5y

-OC0

0<y<1

其它

(2)0cx<1时，人(x)>0

2y

/(x，y)0<x<y<1

4|x（）忖=2

/xW\-x

0其它

5

⑶P[X+Y<1}=JJy)dxdy=

x+网64

9、袋中有5个球，标号分别为1,2,2,3,3,o从中任取2个球，以X和Y分

别表示这2个球中标号为最小的号码和最大的号码。

求（1）求X和Y的联合分布律；（2）求X和Y边缘分布律；（3）求X=2时，Y

的条件分布律。

解：（1）X的所有可能取值为1,2,3,Y的所有可能取值为2,3,

P{x=i,y=2}=/2P{x=i,y=3}=/=2

10io

44

P{X=2,Y=2}=-^=—P{X=2,r=3}=—=—

cl10C；10

P{X=3,y=2}=0,p{X=3,y=3}=；

451

P[x=\}=—,P{X=2}=—,P{X=3}=—

1()1()1()

37

P[Y=2}=—,P{Y=3}=—

1010

P{X=2,y=2}_1

(3)P{K=2|X=2)

P{X=2}-5

4

P{y=3|X=2}=P{X=2,Y=3]

P[X=2]5

x>0y>()

10、/r(y)=,

其他0其他

zWO时，C(z)=0,从而/z(z)=0；

zK0时，心(z)=J'/(x)①(z-3x)/2]dx

J—00

=〃/"-〃仁川2%(1z/3_c-"〃2)

所以

,/、%(13_产2)z>()

/z(z)=J34-2/1

0,z<0

…」"3一”"3),z>0

/z(z)="2//-34]

0,z<()

11、(1)由「"「"『(x,y)dxdy=1,得

J-<oJ-<o

1=£dyJ；Gre'dx=-|£>,2e'dy=f(3)=c,=>c=1.

x>0,jxe'dy,

(2)f(x)=匚/(x,y)dy=<：x>0,

xxW0.[0,

x<0.

(3)不独立

j'jf(x,y)dxdyj'dxjxe-'dy

p{x<i,y<2)

(4)p{x<i|y<2)=

P{Y<2}J：4(y)dy乙)2打

l-2e-,--e-2।

—丁^^—.又由条件密度的性质知p(x<i|r=2}=jyxlr(x|2)dx,

Xc

.।—,0<Jt<2,.rlX1

而/X|r(x|2)=2'P{X<l|y=2}=hdx=/

0,其他.24

(5)由于F(x,y)=P[X<x,Y<y},故有:当xv0或yv0时，有F(x,y)=0.

当0«y<x<+oo时，有F(x,y)=P{X<x,Y<y}=£'dv£ue-