概率论与数理统计-第三章-随机向量及其概率分布-练习题与答案详解

第三章随机向量及其概率分布

（概率论与数理统计）

练习题与答案详解（答案在:后）

1.已知随机变量，，且随机变量相互独立，则

2.设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，令，，已知

,则常数,

3.设随机变量独立同分布，且服从二点分布，则随机变量的分布

律为

\假设为随机变量，

飞，，则

班机变量相互

独苴、下表给出了

联哈戈布律和边

%为力P《=xJ=Pi.

缘分布峡部分数

值，试将殿数值

填入表中空合弋

,

I

O

/O

—

I

%O

O

1

=yj)=p.j

61

4.设随机变量乙。=1,2）的分布律为

当一101

P0.250.50.25

5.且，则

6.假设随机变量低加的联合分布律为

012

1

-10.2

15q

1

P0.20.3

7.则应满足.若随机变量相互独立，则

假设盒子中装有3只黑球，2只红球，2只白球，从盒子中任取4只球，求

黑球数和红球数的联合分布律和边缘分布律.

掷一颗均匀骰子二次，设随机变量表示第一次出现的点数，随机变量表示

两次出现点数的最大值，求二维离散型随机变量的联合分布律和边缘分布

律.

10.假设随机变量服从参数为的指数分布，令

求的联合分布律.

设随

艇量的123

联M布律

1k2k3k

92k4k6k

33k6k9k

求：（1）常数；⑵;（3）；（4）；⑸在条件下的条件分布律

和在条件下的条件分布律；（6）随机变量是否相互独立.

12.若随机变量相互独立，且随机变量的分布律分别为：

g_____—3—2-17;]______2_____3

P（0250^5oTP0.40.20.4

求：（1）的联合分布律；（2）的分布律.

13.设随机变量独立同分布，均服从二点分布，记

J1,若J+"为奇数，

若&+〃为偶数,

14.问为何值时，和相互独立.

知随机变量互不相关，且随机变量的分布律分别为：

01n01

qpPba

其中均为大于零的常数，证明随机变量相互独立.

15,设二维随机变量的联合密度函数为

/(X，y)=’-x-yy0<A：<2,2<y<4,

0,其它，

求:(1)常数；(2)边缘密度函数；(3)；(4)；

(5)(6)随机变量是否相互独立；(7)条件密度函数，.

16.假设二维随机变量的联合密度函数为

kx^yx2<j<1,

/Uy)=-

0,其它，

求:⑴常数(2)边缘密度函数;(3)；(4)随机变量是否相互独

立.

17.假设二维随机变量的联合密度函数为

求的密度函数.

答案详解

1.N(0,5)

由及相互独立得，，由此得

2.解得：或

3.X01

P0.25K75

4.P(max&77}NO)=P(jN(^77NO)

=尸(。>0)+P(〃>0)-P怎>0,77>0)=|

由，可得

因为相互独立，所以

由此得，由

可得，由

p比",〃=%)+尸仁=M,〃=%)+P(。=再用=x)=尸6=x)

得，因为相互独立，所以

由此得，由

可得，由

P(力=y)+&7=")+P5=%)=1

飞趣,由联合分

布南艘T,

7i%%P(0=x,)=Pi.

一

111|

再

248T24

j_3£3

|

8844

_LJ_J_

尸仿=x)=Pj

6231

设的联合

-101

-1PlIP12P13

0Pl\P12〃23

1P3\“32〃33

由得：，一

由得：，

由得：，

由得：，

由得：，

由联合分布律性质可得：（也可用得到）

所以

P值=与）=P依=一14=—1）+P（。=0,多=。）+尸（4=1罟2=1）=。

n123456

P1/363/365/367/369/3611/36

10.

P(7=L/=1)=P位>">2)=尸(。〉2)=e-2

11.(1)由联合分布律性质得：

(2)P(l<^<2,7；22)=P(1=I,/7=2)+P([=②=3)

+P(J=2,7=2)+尸(J=2,7=3)=77

仔)()产化)

⑶P22=PJ=2+=3=”

36

P（7<2）=P（7=1）=A

(4)

Jo

(5)在J=1条件下〃的条件分布律为

位月=

加=喈=1)=P=11)1/36_1

P化=1)-6/36—6

尸仁=〃)

风7=射=1)=1=22/36_1

尸（。=1）6363

P年」占］）一/6=1，〃=3）一3/36—1

（"孤卜尸（&=1）一病一3

在V=2条件下g的条件分布律为

一=1|〃=2）=脸丁「）二咨」

"।'）P（rj=2）12/366

降筋二2）=七2"2）二隹」

一，7P（77=2）12/363

产6=30=2)_6/36_1

也=斗〃=2）

P(7=2)-12/36—2

（6）因为，故与独立

12.（1）因为随机变量相互独立，所以

⑵

13.

因为和相互独立，所以

由此得

而随机变量J,〃的边缘分布律分别

1[0101

PqpPba

所以

‘'''又因为随机变量

不相关，所以

一上述式子得：

由此容易验证时

所以随机变量，"相互独立

15.（1）因，即，解得

⑵人）=「九，加，=|心（6…）M，

"0,其它

_—（3-X）04x42,

0,其它，

同理得

/（加广/鼠）m=，/5-"2«”4,

’0,其它.

P仁+〃<4)=JJ/(x,y^dxdy=J；时：'；(6-x-y\ly=|

⑶

x+y<4占3

3）=J/限（6*加=1

⑷MS，”

5

(5)P(4<1§=尸(。<1