概率论与数理统计复习资料要点总结-学生

《概率论与数理统计》复习资料

一、复习提纲

I、注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为发习参考之用,考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了

解”的内容一般不考e

2、会事件关系的运算，「解概率的古典定义

3、能较熟练地求解古典概率：了解概率的公理化定义

4,掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算：理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式

5、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解邈：掌握事件独立性的概念及性质.

6、理解随机变量的概念，望梆陷散怦随机变最分布率的性质及求法.整:报分布、二项分布、泊松分布的分布律.

7、理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变址的概率密度及性质。

8、学握指数分布(参数之)、均匀分布、正态分布

9、会求特殊的一维的机变量函数分布的分布律或概率密度.

10、会求分布中的待定参数。会求区间的概率.

11、会求边缘分布律、边缘密度函数.会判别隙机变量:的独立性。

12、掌握二维连续型随机变量未知参数的计算.，落在区域概率的计兑。

13、理解二维随机变量的概念.理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,掌握二维离散豆随机变量的联合分布律及其性质.

掌握二维连续型随机变城的联合概率密度及其性质，并公用它们计以有关事件的概率。

14,会求二维周散型随机变量函数的分布率.

15,掌握数学期望和方差的定义及性质，会熟练地求防机变量及其函数的数学期望和方差.公熟练地默写出几种重要随机变量的

数学期望及方差。

16、较熟练地求协方差与相关系数.

17、会用独立正态随机变量线性组合性质解腮，

18、理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握(2分布(及性质)、t分

布、F分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理：会用矩估计方法来仿计未知参数。

20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法.

21、会本单正态总体均值与方差的且信区间。

22、会求单正态总体均值的假设检验.

二、各章知识要点

第一章随机事件与概率

I.事件的关系

2.运算规则(1)<2)

<3)(4ufl)C=(4C)u(fiC)(Atf)uC=(AuC)(8uC)(4)A\JB=ABAB=B

3.概率满足的三条公理及性质：

(1)0<P(A)<l(2)pg)=|

(3)对互不相容的事件，有：可以取)(可列可加性)

性质：<4)尸@=0(5)P(A)=\-P(A)

(6)，若，则，

(7),因此，P(AB),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个，剩下一个就能够求出来.

特别的若人与8互不相容，则P(AUB)=P(A)+P(«)；

若A与“独立.则尸(AUB与P(A)+P(B).P(A)P(B)=1-P(X)P(B)：

<8)P(AuBDC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AQ-P(BC)+P(ABC)

4.古典概型：基本事件行限11等可能

(1)5.条件概率

(2)定义：若，则，

<3)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合丁备件概率。

乘法公式：

<4)若为完备事件组，，则有

(5)全概率公式：

Bayes公式：

7.事件的独立性：独立(注意独立性的应用，求相互独立的多个事件的和的概率)

第一章随机变量与概率分布

底散随机变量：取有限或可列个值，满足(1),(2)=1

1.(3)对任意,

2.连续随机变量：具有概率密度函数，满足(1)；

3.(2)；(3)对任意，

4.几个常用随机变量

名称与记号分布列或密度数学期望方差

P(X=1)=p,P(X=0)=q=1-p

o1分布3(1,p)Ppq

或尸(X=A)=p£qi,k=0,l

二项式分布B(〃，p)p(x=k)=C：pkq"-k，k=0,1,2,…n,npnpq

2A

Poisson分布尸(义)P(X=I)=-e-\^=0,l,2,­.22

Ar!

a+bS-〃)2

均匀分布f(x)=---.a<x<b,

b-a212

11

指数分布E(A)f(x)=Ae-Axx>0

9I您

I(*-“)：

正态分布/V(//,(T2)fo)=R储4a2

分布函数,具有以下性质

(1>F(-OO)=0,尸(+8)=1：(2)单调不减；(3)右连续：

,特别：

(5)对离散随机变量，：

(6)对连续随机变成，为连续函数，且在连续点上，

5.分布函数是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间(-8,x］内的概率

正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有

(1)：(2)；(3)若，则；

(4)以记标准正态分布的上侧分位数，则

正态分布的概率密度具有如卜性质：

1°/(刈的图形是关于工二〃对称的：

2°当时，为最大值；

3°/（X）以轴为渐近线。

6.圆机变址的函数y=g（x）

随机变量是随机变量的函数，若的分布函数或密度函数知道，则如何求出的分布函数或

密度函数。

（1）X是离散型随机变量

已知X的分布列为

X万，工2,…,X”,…

P（X=Xi）pi,〃2，….P”.…

显然，的取值只可能是，若互不相等，则的分布列如下：，

若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。

<2）连续，在的取值范围内亚格单倜，且有一阶连续导数，则，若人单周，先求分布函数，再求导。

第三章多维随机变量

1.二维随机变量的基本概念

（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布

如果一雄随机向量（X.Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称为离散型随机

量。理解：（X=x,Y=y）三（X=xnY=y）

设=（X,Y）的所有可能取值为，且事件｛=｝的概率为pij,,称

为=（X,Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

y^•••yj・•・P;,

••••••

xtp»p>>pi>Pi,

X2PaP23•••P23•♦・pr

■*«■a

*•*•••

•a••*■

XiPn•・♦•♦・p<•

••a*■

*•*•

•*••*•

p-jp-iP-2•••P-J•♦•1

这里Pij具有下面两个性质:

（1）（i,j=l,2,…）；

⑵ZZPg=L

ij

对于随机向量（X,Y）,称其分量X（或Y）的分布为（X,Y）的关于X（或Y）的边缘分布。上表中的最

后一列（或行）给出了X为离散型，并且其联合分布律为

P｛（x,y）=①，为）｝=pW1,2,…）,

则x的边缘分布为E・=P（X=xJ=Z%（"=12…）：

j

Y的边缘分布为匕=尸（丫=1）=2=1,2,…）。

\(X,Y)共有

卜个取正概

事的点，它

fl,是：(1,

-IV,(2,

-11,(2,

0)A2,2),

(3,\1)，

(3,鼻，并

且(X,W)取

得它们、勺概

率相同，、则

(X,Y).联

合分布及

缘分布为\

xY\

10002_

66

2]_0]_

6662

300

663

P-J1

3663

因P(X=Ly=0)=0HP(X=DP(Y=0)='x'，所以x、Y不独立

66

(3)连续型随机变量

f(x,y)=f,(x)f,(y)

联合分布f边缘分布ff(x,y)=fx(x)fT(y)

直接判断，充耍条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

例3.7:f(x,y)=

(4)二维正态分布独立等价于P=0

(5)随机变量函数的独立性

若X与Y独立，h,g为连续函数，则：h(X)和g(Y)独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

3.简单函数的分布(重点离散性)

①离散型：

②连续型两个独立的正态分布的和仍为正态分布N(//,+〃2，。；+)。

有限个相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布。

2.随机变量的独立性

例3.17：设(X,Y)的联合分布密度为

C(x+)，)，0<y<x<\,

0,其他

(1)求C：

(2)求X,Y的边缘分布：

(3)讨论X与Y的独立性：

(4)计算P(X+YW1C

第四章随机变量的数字特征

1.期望

⑴离散时，，：

一般情况下，求离散函数的期望的步骤：(1)求函数的分布律：(2)求期望

<2)连续时，；

£(g(X,y))=「「'y)f(x,y)dxdy

•—00J—8

连续时，求▲的期望，就拿▲与给定随机变量的概率密度相乘，再在整个实数轴或二维平面内积分。

(4)数学期望的性质

(1)E(C)=C

(2)E(CX)=CE(X)

(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),

E(XY)=E(X)E(Y),充分条件；X和Y独立;

充要条件：X和Y不相关。

2.方差

(1)方差，标准差：

+x>

O(X)=公

(2)方差的性质

(1)D(C)=0：E(C)=C

(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

(3)D(aX+b)=a2D(X)：E(aX+b)=aE(X)+b

(4)D(X尸E(X)E2(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立；

充要条件:X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。

E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

类似的.n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

9

3.协方差

<1)Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y):

<2)Cou(X,y)=Cov(y,X),Cov(aX,bY)=abCoWX,Y)：

(3)Cov(X.+X2,Y)=C9P(X,,Y)+Cov(X2,Y)；

<4)时，称不相关，

独立不相关，反之不成立，但正态时等价：

(5)D(X+n=ZXX)+D(Y)+2Cov(X,Y)

4.相关系数；有,

与相关系数有关的几个重要结论

(i)若随机变量X与Y相互独立，则：反之不直.

(ii)若(X,Y)-N(),则X与Y相互独立的充耍条件是，即X和Y不相关。

以下五个命题是等价的：

①夕xy=0：②cov(X,Y)=0①E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y)：⑤D(XT)=D(X)+D(Y).

5.阶原点矩，阶中心矩

数理统计的基本概念第一节基本概念

1.总体、个体和样本

(1)总体与样本

总体在数理.统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体)；而把总体

中的每一个单元称为样品(或个体)。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或

随机向量)。

例如单正态总体X,用来表示

我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。为

「使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”：

(1)代表性。即每一样品X,与总体X同分布：

(2)独立性。即样品抽取互相间不影响。

此时的样本是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样木称为简单随机样本。

注总：在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量(样本)：在具体的一次抽取之后，表示n个具

体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。

(2)样本函数与统计量

设为总体的一个样本，称()为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数,

则称()为一个统计量。

2.统计量

(1)常用统计量

-1n

样本均值x=-YX,..

1»_

样本方差S，=—!—£(七一x)2.(与概率论中的方差定义不同)

n~1i=i

样本标准差s=j——

V〃TM

1〃

样本k阶原点矩也」之只,k=|,2,….

〃/=!

样本k阶中心矩M；=-Y(xi-x/,A:=2,3,---.

(二阶中心矩S*2=J_£(X,_又)2与概率论中的方差定义相同)

(2)统计量的期望和方差

——(J~

E(X)=〃,D(X)=一

n

E(S2)=a2,E(S*2)=忙

n

其中，为二阶中心矩.

3、三个抽样分布(x2.t、F分布)

(1)X，分布

设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布.，它们的平方和

/=1

我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W〜(n),所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,

它是随机变量分布中的一个重要参数。

(2)t分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，且

x~N(o,i),y~%25),

函数

我们称随机变量T服从自山度为n的t分布，记为T〜t(n)。

(3)F分布

设，且X与Y独立，

我们称随机变量F服从第一个自由度为nl,第二个自由度为n2的F分布,记为F〜f(nl,n2).

正态分布，

忆a5)二一%(〃)，

4.正态总体下统计量的分布和性质

注意一个定理：与独立。

(1)正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

defX—U

u--g~N(O,1).

(j/yln

(2)t-分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

X-JLJ/小

L-----

S/Jn

其中t(nT)表示自由度为n-1的t分布。

(3)分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

def(n-l)S22

L------2------X("I)，

cr

其中%\n-1)表示自由度为n-1的X1分布。

(4)F分布设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数

泮~一I,4T)，

s；/卢

其中S；=一£(.、-5；=—之(势一寸；

-1Mn2-1

表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。

第七章参数估计

I.矩估计：

<1)根据参数个数求总体的矩：(2)令总体的矩等于样本的矩：(3)解方程求出矩估计

2.极大似然估计：

(1)写出极大似然函数：(2)求对数极大似然函数<3)求导数或偏导数：(4,令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无

解回到(1)直接求最大值，一般为min或max)

3.估计最的评选原则

(1)无天性:

若,则为

尢倜：(2)

有效性：两

个无偏估计

中方差小的条件估计函数置信区间

有效：

4.参数的

区间估计

(正态)

参数

CT2已知X-JU—7=]

u=-----广[x+Ua

o72

「=斗

<T2未知□+，a(〃-l)7=l

s/yln27n

22

2("