广东省广州市南沙区2025年九年级上学期数学期末考试试卷附答案

九年级上学期数学期末考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．3．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根4．已知是关于的方程的一个根，则为（）A．6 B． C．15 D．5．下列说法正确的是（）A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2023次，其中掷出5点的次数最少，则第2024次一定掷出5点B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖C．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半时间在下雨D．任意画一个三角形，其内角和一定是6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（）A． B． C． D．7．已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（）A． B． C． D．无法确定8．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（）A． B． C． D．9．如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（）A． B． C．12 D．10．如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线．12．已知的直径为9，若，则点与的位置关系是．13．数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为．14．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程．15．已知点和点关于原点对称，且，则的值等于．16．如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则：连接，线段长的最小值为．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）17．解方程：.18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）作与关于原点成中心对称的图形；（2）将绕着顺时针方向旋转，求点经过的路径长．19．2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表名录．某次班会上，甲、乙同学准备从“．贴春联”、“．吃饺子”、“．发红包”、“．拜新年”这四个传统习俗中，各选一个进行讲解．班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回后，由乙再随机抽取一张，两人根据所抽取卡片正面的内容进行讲解．（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“C．发红包”的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都未抽到“．吃饺子”的概率．20．如图，是直角三角形，．（1）尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）以为圆心，为半径作圆．①判断与的位置关系并加以证明；②若，，求的面积．21．如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长．（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由．22．已知等腰三角形，，．（1）若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值．（2）若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长．（3）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标．23．如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知．（1）求的度数．（2）求证：．（3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明．24．在平面直角坐标系中，函数（为常数）．（1）若函数图象经过点时，求的值．（2）在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离．（3）当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值．25．（1）如图①，四边形为的内接四边形，，，且，连接、，若半径长为2，求的长度．（2）如图②，四边形为的内接四边形，，，连接、，若半径长为，求的长度（用含的代数式表示）（3）如图③，在四边形中，，，，以为圆心，为半径画，M为上一个动点，过点作，，连接，已知，探究线段是否存在最小长度?若存在，请求出的最小长度，若不存在，请说明理由．

答案1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】12．【答案】点在外13．【答案】314．【答案】15．【答案】16．【答案】；217．【答案】∵，∴，∴，故原方程的根为.18．【答案】（1）解：如图，就是所求的三角形.（2）解：如图，绕着顺时针方向旋转得到，，，

∴点经过的路径长为以为圆心，半径长为，且圆心角为的的长，

∵，，

，

，

∴点经过的路径长为．19．【答案】（1）（2）解：列表如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人都未抽到“吃饺子”的结果有：，共种，

∴甲、乙两人都未抽到“.吃饺子”的概率为．20．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；（2）解：①与相切；证明：过作于点，

∵平分，

，

∴与相切；

②设，

∵是直角三角形，

，

在和中，

，

，

∴，

，

在中，有即：，

解得：，

∴的面积为：．21．【答案】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则即解得：(不合题意，舍去)，，答：剪去的正方形的边长为；（2）解：有侧面积更大的情况，设正方形的边长为，盒子的侧面积为，则与的函数关系式为，即，，当时，最大为，即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为．22．【答案】（1）解：，是关于的一元二次方程的两根，，，；（2）解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根，另两边的长之和，周长；（3）解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等，，，，顶点坐标为；②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6，当时，可得，，，顶点坐标为；综上所述：顶点坐标为或．23．【答案】（1）解：四边形是正方形，，，，，由旋转可知：，，．（2）解：由旋转可知：，，由（1）得，，在和中，，，，．（3）解：，理由如下：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．四边形是正方形，，，由旋转可知：，，，在中，．由（1），且由旋转可知，，，在和中，，，，．24．【答案】（1）解：把点代入函数中，得，解得；（2）解：在（1）的条件下，，故函数解析式为，对称轴为直线，开口向下，在时，根据增减性可知当时，，此时函数图象的最高点为，则到直线的距离为；​​​​​​（3）解：二次函数的对称轴为直线，开口向下，当时，①若，即时，

则当时，函数有最大值，即产生最高点，

又∵最高点到直线的距离为，

∴，解得：或(皆不合题意，都舍去)；

②若，即时，则顶点为最高点，此时顶点值为，

又∵最高点到直线的距离为，故，

解得：或2