（人教2024版）数学八年级上册第15章《轴对称》大单元教学设计

第十五章轴对称大单元教学设计 “轴对称”位于人教版八年级上册第15章，在初中数学体系里占据关键位置。它是对图形变换的深入探究，此前学生已接触简单平面图形，像三角形、四边形等，也了解平移这一图形变换方式。轴对称作为又一基础图形变化，不但丰富了图形变换的知识架构，还为后续学日常用品等，通过对这一章节的学习，学生能更好地感知数学与生活的紧密2022版初中数学新课标在“图形与几何”领域着重强调图形的变化，轴对称便属于其中关键主题。依据课标要求，学生需理解轴对称的基本性质，能够绘制简单图形的轴对称图形逻辑推理：在探究轴对称性质、线段垂直平分线性质定理与判定定理、等腰三角直观想象：借助绘制轴对称图形、利用坐标表示轴对称等活动，增强对图形数学建模：运用轴对称知识解决诸如最短路径等实际问题，将实际情境抽象八年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键阶段，他们对直观、生动且具备一定的观察、分析和归纳能力。此前已学习过一些基本图形和图形变换知识习经验，但在抽象概念的理解以及逻辑推理的严密活中的轴对称现象，可对于精准提炼轴对称的数学概念或许存在一定难度；程中，部分学生可能在思路梳理和推理表述方面遭遇困难；对于将轴对称知识灵活 单元教学目标 ●在解决问题过程中，积极尝试不同策略 活动一轴对称及其性质活动二线段的垂直平分线活动三轴对称的图形的画法活动四等腰三角形活动五最短路径问题跃度和对知识的理解程度。对于主动发言且回答正确的学生给予口头表扬；●作业完成情况：认真批改作业，对作业完成质量高、解题思路清晰、书写规范的学生进行表扬，并在班级展示优秀作业；针对作业中存在的普遍问题，在课堂上集中讲解；对于个别●小组活动评价：在小组探究活动中，观察学生的团队协作能力，如是否能明确分工、积极配合，现突出的小组和个人进行记录，活动结束后进行总结评价，可通过小组自评知识的掌握程度，包括概念理解、性质运用、定理证明、图形绘制以艺术品等。学生以小组形式完成项目，在课堂上进行成果展示。从项目的创新性、实用性、数学知识 反思性教学改进教学结束后，全面收集学生的学习反馈，深入分析过程性评价和终结性评与不足，据此提出针对性的改进措施。若发现学生在轴对称概念理解上存富且典型的实例，强化直观教学；要是学生在定理证明环节困难较大，可增加证明思路引导和专项练习；针对学生实际问题解决能力有待提升的状况，可引入更多贴近生活的真实案例，加强建模训练，从而持续优化教学过程，提升教学质量，促进学生更好地掌握知识， 轴对称图形轴对称图形两个图形成轴对称性质定义性质判定尺规作图画对称轴步骤关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称判定含有30°的直角三角形用坐标表示轴对称概念性质判定等腰三角形等边三角形线段的垂直平画轴对称图形概念性质概念 ■情境引入■探究新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.追问：以下是我们常见的电子设备中的液晶数字，哪些是轴对称?中曲申干丰工甲目由巨活动：每人轮流按顺序报一个字母，如果你认为你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报是，并说出它有几条对称轴；如果你认为你报的字母的形状不是轴对称图形，那么,你只需坐在座位上报不是就可以了.其他同学认真听，如果报错了，及时提醒.追问：常见的国旗中哪些是轴对称图形?瑞典以色列英国追问：常见的几何图形中哪些是轴对称图形?图形图形形2形4四边02三角三角131师生活动：观察图片，学生判断哪些是轴对称图形，教师订正。设计意图：通过不同类型图片的观察，帮助学生理解生活中的轴对称图形。思考：下面的每对图形有什么共同特点?又有什么区别?把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.思考：轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别?图形区别1.都是沿着某条直线折叠后能重合2.可以通过分割或整合互相转化.两个有特殊位置关系的全等图形;师生活动：观察图片，回答问题。设计意图：通过不同图片的对比，帮助学生理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别。例1.下列四组图片中有哪几组图形成轴对称?例3.一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗?设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握轴对称图形的含■情境引入思考：如图所示，某快递公司为方便居民收取快递，准备在幸福大发点应建在什么地方，才能使A,B到它的距离相等?■探究新知思考：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′,B′,C′分别是点A,B,C的对称点，线段AA′,BB′,CC′与直线MN有什么关系?线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分思考：如图，直线1垂直平分线段AB,P1,P2,P3,……·是1上的点，请你猜想点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离之间的数量关系.BP₂的长…猜想：AP=BP.追问：你能证明以上猜想吗?已知：如图，直线LLAB,垂足为C,AC=CB,点P在1上.证明：∵LAB,∴∠PCA=∠PCB.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.师生活动：观察图片，动手实践，得出线段垂直平分线的性质。设计意图：通过动手实践，培养学生的归纳能力。什么关系?例2.如图，在△ABC中，BC=8,AB在AE的垂直平分线上，AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC于E,求△ADE的周=8.思考：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?求证：点P在线段AB的垂直平分线上.在Rt△PCA和Rt△PCB中，线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.应用格式：∴点P在AB的垂直平分线上.作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握线段垂直平分线的性质和判定，同时培养学生变相思考问题的能力，运用知识.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识.从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系?你还学习过其他具有类似关系的命题吗?这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.例4.命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.(2)判断(1)中的命题是否是真命题?如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明.思考：我们知道下面的图形是对称的，那么我们应该如何验证呢?又如何作出它们的对称轴呢?如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.(1)分别以点A,B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C,D两点；(2)作直线CD.CD即为所求.例5.如图，某小区有A,B,C三个单元，现准备在小区内建一个纯净水取水点，要求取水点到三个单元的距离相等，请你确定取水点的位置.追问：根据线段垂直平分线的尺规作图方法，你会作轴对称图形的对称轴吗?由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称设计意图：通过学习线段的垂直平分线的尺规作图，解决实际问题，为学习作图形的思考：右图中的六角星有几条对称轴?如何作出这些对称轴呢?(1)找出六角星上的一对对称点A和B(2)作出线段AB的垂直平分线1.则I就是这个六角星的一条对称轴.用同样的方法，一共可以找出六条对称轴，所以六角星有六条对称轴.例6.画出下列图形的对称轴.思考：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.作法：(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁；(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E;(3)分别以点D,E为圆心，大于1/2DE的长为半径画弧，两弧相交于点F(不同于点C);追问1:为什么直线CF即为所求?2从作法的(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF,ZCF就是线段DE的垂直平分线.2点D,E在直线AB上，ZCF就是所求直线AB的垂线.追问2:为什么任意取一点K,使点K与点C在直线两旁?如果K、C在同侧，则以KC为半径画弧将会与直线AB没有交点.追问3:为什么要以大于1/2DE的长为半径作弧?设计意图：通过问题串的形式，让学生充分掌握经过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图方法，活动三轴对称的图形的画法个图形的对称轴的方法.1.找到轴对称图形或成轴对称的两个图形任意一对对应点2.连接这一对对应点3.作出对应点所连线段的垂直平分线思考：果果的父母给孩子定制了一份特别的周岁礼物，将孩子的脚印追问：1.点P和点P'有何关系?归纳：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线I对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同(位置、朝向可能不同);新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线I的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.例1.已知点A和直线I,画出点A关于直线I的对称点A′.解：如图所示即为所求，步骤如下：1.过点A作直线I的垂线，垂足为0,2.在垂线上截取OA'=OA,3.点A'就是点A关于直线I的对称点.例2.已知线段AB和直线I,画出线段AB关于直线I的对称线段A′B′.1(1)过点A作直线I的垂线，垂足为0,在垂线上截取OA'=OA,点A'就是点A关于直线1的对称点.(2)过点B作直线1的垂线，垂足为P,在垂线上截取PB'=PB,点B'就是点B关于直线I的对称点.(3)连接A'、B',则线段A'B′即是所画.思考：已知线段AB,画出AB关于直线I对称的线段.归纳总结：几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.(1)特殊点对画轴对称图形特别重要，找特殊点时，要把确定图形形状的特殊点找全，否则画出的图形将不准确或不完整.(2)常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点、中点等.总结：画轴对称图形的方法可以归纳为“一找、二画、三连”:1.在原图形上找特殊点(如线段端点)例3.如图，把下列图形补成关于直线I对称的图形.例4.如图，在正方形网格中，△ABC是格点三角形.(请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹).(2)请在直线I上找一点P,使点P到A,C两点的距离相等.设计意图：通过实践，让学生真正掌握轴对称图形的画法，加深对轴对称性质的理解.思考：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点A′吗?y↑y↑x追问1:你能说出点A与点A'坐标的关系吗?追问2:你能写出其他点关于x轴的对称点的坐标吗?这些对称点的坐标有何特点?已知点关于x轴的对称点总结：关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数.思考：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点A′吗?追问1:你能说出点A与点A'坐标的关系吗?追问2:你能写出其他点关于y轴的对称点的坐标吗?这些对称点的坐标有何特点?已知点关于x轴的对称点总结：关于y轴对称的点的坐标的特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数.纵坐标不变，横坐标互为相反数A(3.2)关于、轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数师生活动：教师提问，学生思考回答。小组交流，班内汇报。设计意图：通过观察、操作、交流得出体会一对关于x轴或者y轴对称的点的坐标的规律，加强学生用数学语言表达所表示规律的能力。例5.填空：1.点P(-5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为·4.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于y轴对称，则a=,b=5.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于原点对称，则a=.,b=例6.如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1.(1)作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′,并分别写出A′,B′,C′三点的坐标；A'(3,3),B'(5,1),C(1总结：在直角坐标系中画轴对称图形的方法连接：按原图对应点连接所描各点得到对称图形.例7.已知点A(2a—b,5+a),B(2b-1,—a+b).(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4a+b)2025的值.解得a=-1,b=3.师生活动：学生思考例题，主动练习，教师引导学生设计意图：让学生通过例题巩固所学，熟悉点关于坐标轴对称的点的规律，并能利用其活动四等腰三角形■探究新知另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.思考：找一张等腰三角形纸片，动手折一折，它是轴对称图形吗?其中有哪些相等的角和线段?相等的角∠B与∠C∠BAD与∠CAD∠ADB与∠ADC等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).追问1:你能写出已知和求证吗?求证：∠B=∠C.追问2:你能写出证明过程吗?师生活动：学习等腰三角形的概念，举手回答问题，学生思考等边对等角的证明方法。设计意图：通过折纸活动理解等腰三角形的性质1,通过一题多解锻炼学生的逻辑思维。例1.填空：(1)等腰直角三角形的每一个锐角的度数是;(2)如果等腰三角形的底角等于40°,那么它的顶角的度数是_;(3)如果等腰三角形有一个内角等于80°,那么这个三角形的最小内角等于CC总结：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”).C(1)若△BCD的周长为8,求BC的长；CC∴∠ABD=∠DBC(角的平分线的意义)∵DE//BC(已知)∴∠DBC=∠EDB(两直线平行，内错角相等)∴∠ABD=∠EDB(等量代换)∴BE=DE(等角对等边)(1)作线段AB=a.(2)作线段AB的垂直平分线MV,与AB相交于点D.(4)连接AC,BC,则△ABC就是所作的等腰三角形.已知：△ABC中，AB=AC=BC.求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵AB=AC,A同理，∠A=∠C.证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF,AFDBE∴△DEF是等边三角形.师生活动：学生独立解答，并板书展示，学生相互评价。设计意图：夯实基础，培养学生分析问题解决问题的能力。在Rt△ABC中，若∠A=30°,则活动三：结论证明斜边的一半.即BC=CD=1/2BD=1/2AB.应用格式：活动五最短路径问题■情境引入思考：如图，一位将军从A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?■探究新知将A,B两地抽象为两个点，将河1抽象为一条直线追问1:现在假设点A,B分别是直线I异侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这个点到点A、点B追问2:如果点A,B分别是直线1同侧的两个点，又应该如何解决?能够借助异侧两点的思路来解决同以了!利用轴对称，作出点B关于直线I的对称点B'.(2)连接AB',与直线I相交于点C.则点C即为所求.设计意图：通过情境引入，提升学生的学习兴趣，利用异侧两点之间的最短距离的学习，类比同侧两点之值.解：如图，作D关于直线AC的对称点M,关于BC的对称点N,A由平移的性质知AM=A₁N,AA₁=MNAM+MN+BN转化为AA₁+A₁B,而AM₁+M₁N₁+BN₁转化为AA₁+A₁N₁+BN₁.(3)连接A'B',分别交直线/1,12于点C,D,路线所走的路程最短.解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE,且BG=河宽，连接GF,与内河岸相交于E',D'.过E',D'作河岸的垂线段DD',EE′即为桥理由：由平移的性质可知，AD//FD',AD=FD'.由两点之间线段最短可知，GF最小.1.本节课你学到了什么?2.什么是轴对称?其性质是什么?3.什么是线段的垂直平分线?其性质是什么?如何用尺规作图?4.如何画轴对称图形的对称轴?5.如何用坐标表示轴对称?6.等腰三角形的概念是什么?有何性质?如何判定?7.如何判定一个三角形是等边三角形?8.含有30°的直角三角形有何性质?什么是互逆命题?9.如何解决“将军饮马”和“造桥选址”两类问题?依据是什么?1.加快建设体育强国，就是要弘扬中华体育精神.下列体育图标是轴对称图形的是()A.6B.5C.43.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不16.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.17.如图，已知△ABC和直线I,画出与△ABC关于直线I对称的图形.18.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-4,1),B(-2,1),C(-2,3).(2)将△ABC向下平移4个单位长度；做出平移后的△A₂B₂C₂;(3)求四边形AA₂B₂C的面积.20.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB和BC上，DE的延长线交相重合，这个图形就叫做轴对称图形.根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.相重合，这个图形就叫做轴对称图形.根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】解：A.不是轴对称图形，故A不符合题意；B.不是轴对称图形，故B不符合题意；C.是轴对称图形，故C符合题意；D.不是轴对称图形，故D不符合题意.N两点，直线MN交AC于点D,交AB于点E,若CD=3,则DE的长度为()A.9A.9B.6C.3【答案】C用基本作图得到MN垂直平分AB,则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,所以∠DBA=∠A=30°,再计算出∠CBD=30°,再利用角平分线的性质求解即可.【详解】解：由作法得MN垂直平分AB,BDE=DC=3.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为()A.104°B.106°C.117°【答案】C【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由∠ABC=54°,可得∠BMN+∠BNM=126°,根据线段垂直平分线的性质可得：MA=MP,NP=NC,推出∠MAP=∠MPA,∠NPC=∠N∠MPA+∠NPC=63°,最后根据平角的定义即可求解.【详解】解：由条件可知∠BMN+∠BNM=180°-54°=126°,∴MA=MP,NP=NC,故选：C.4.学习情境·问题讨论如图，直线1与线段AB交于点0,点P在直线1上，且PA=PB.小明说：“直线1是AB的垂直平分线.”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确.”下列判断错误的是()A.小明说得不对B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”C.小亮说得对，可添条件为“AO=BO”【答案】【答案】B【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键.由三线合一得AD⊥BC,∠B=∠C,进而求出∠BDE=75°,由BD=BE得∠BED=∠BDE=75°,求出∠B=30°即可求解.根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可.8.在平面直角坐标系中，若点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称，则m+n【答案】D【答案】D【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征.根据关于y轴对称的点的坐标特点：两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，即可得出答案.Bm+n=2-1=1.9.下列正多边形中，对称轴条数最多的是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【分析】本题考查求对称轴的条数，根据正n边形有n条对称轴，即可求解.【详解】解：正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对所以四个选项中对称轴条数最多的是正六边形，故选D.10.点P(1,-2)关于x轴对称的点的坐标为()A.(-1,-2)B.(-1,2)c.(1,-2)【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律.熟练掌握平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律是解题的关键.关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据此性质来求解点P(1,-2)关于x轴对称的点的坐标即可.【详解】解：P(1,-2)关于x轴对称的点的坐标为(1,2),故选：D.11.如图，若AB=8,AC=6,△ADC的周长为14,不能作出BC的中点的尺规作图是()A.【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题.利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可.【详解】解：∵若AB=8,AC=6,△ADC的周长为14,A、由作图可知为BC的垂直平分线，能作出BC的中点，故本选项不符合题意；B、由作图可知为∠BDC的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出BCC、记两弧交点为0,由作图可得△OBC是等边三角形，则OB=OC,再由DB=DC可得DO垂直平分BC,D、由作图可知为∠BAC的平分线，不能作出BC的中点，故本选项符合题意，则BCE的周长为【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质.根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE,再求出AC+BC=6,据此即可求出BCE的周长.【详解】解：DE垂直平分线段AB,QVBCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=6,故答案为：6.12.若A(-1,m-1)与点B(n,2)关于y轴对称.则m+n=【答案】4【答案】4【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出m,n的值，进而得出答案.则m+n=3+1=4.故答案为：4.【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键.(2)先证出Rt△AED≌Rt△AFD,根据全等三角形的性质可得AE=AF,再设BE=CF=x(x>0),根据线段的和差建立方程，解方程即可得.【详解】(1)证明：如图，连接BD、CD,②Rt△BED≌RtCFD(HL),由(1)已证：BE=CF,(1)在图中画出线段(1)在图中画出线段BC关于y轴对称的线段B₁C₁,并直接写出点C₁的坐标为_;(2)在(1)的基础上，直接写出△AB₁C₁的面积为_;(3)在x轴上有一条长度是1的运动线段MN(点M在点N左边),使得BM+MN+NA最小，请画出点M.(保留必要的画图的痕迹).【分析】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及最短路线问题，画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形.(1)根据轴对称的性质，得到线段BC的端点关于y轴对称的点，再连接B₁C₁即可；根据点C₁的位置即可得出点C₁的坐标；(2)根据割补法即可得到△AB₁C₁的面积；(3)作点B关于x轴的对称点B',作AA'//x轴，使得AA'=MN=1,连接A'B'交x轴于一点，则该交点即【详解】(1)解：如图所示，线段B₁C₁即为所求，点C₁的坐标为(3,-2);故答案为：(3,-2);(2)解：△故答案为：5.5;(3)解：如图，作点B关于x轴的对称点B’,作AA'//x轴，使得AA'=MN=1,连接A'B交x轴于一点，则该交点即为点M,连接AN,由AA'//MN,AA'=MN,可得四边形A'MNA为平行四边形，故AN=A'M,由轴对称的性质，可得BM=B'M,故BM+AN=B'M+A'M=A'B'(最短),而MN的长为定值，故此时BM+MN+NA最小.(1)画出VABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁,并写出△A₁B₁C₁三个顶点坐标分别为：A₁(_),B₁(_),C₁(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小(只需作图保留作图痕迹);(3)在y轴上是否存在点Q,使得，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由.【分析】(1)关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此画出图形，进而即可(2)利用轴对称-最短路径问题的原理，作点A关于x轴的对称点A’,连接A'B与x轴的交点即为P点，依据是两点之间线段最短.(3)先根据坐标求出VABC的面积，再设出Q点坐标，利用三角形面积公式列出关于Q点纵坐标的方程，求解得到Q点坐标.本题主要考查了轴对称的性质、坐标与图形变换、最短路径问题以及三角形面积于坐标轴对称的点的坐标特征和利用图形割补法求三角形面积是解题的关键.【详解】(1)解：求VABC关于Y轴的对称图形△A₁B₁C₁及顶点坐标已知A(1,1),关于y轴对称的点A₁,根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，个CA(2)解：如图，作点A(1,1)关于x轴的对称点A'(1,-1).连接A'B交x轴于点P,点P即为所求，Bxx=3(3)解：设Q(0,y),则即或或BQBQ点坐标为16.已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值.进行计算即可.【详解】(1)解：②点A、B关于x轴对称，(2)解：②点A、B关于y轴对称，D(4a+b)²⁰2²=(-4+3)²⁰2²=1.【详解】解：BD是AC的中点，BAD=CD,B(AB+AD+BD)-(BC+BD+CD)=2,BAB-BC=2,2VABC的周长=AB+AC+BC=28.A.PD平分∠BPCC.D是BC的中点D.BC=PC【分析】此题重点考查全等三角形的性质、等角的补角相等、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出PB=PC,且∠BPD=∠CPD是解题的关键.题意；假设BC=PC成立，则△PBC是等边三角形，则∠BPD=∠CPD=30,推导出∠APB=∠APC=150°,与已知条件不符，可知BC=PC不成立，可判断D符合题意，于是得到问题的答案.故A不符合题意；∴∠APB=∠APC=180°-30°=150°,与已知条件不符，故D符合题意.AD=4.5cm,若在BD上有一动点H,使MH+NH最短，则MH+NH的最小值为()A.5cmB.6cm【答案】D正确地画出图形找到MH+NH的最小值时点H的位置是解题的关键.利用条件求解即可.∴AB=AC=BC=2AD=9cm,BD作点M关于BD的对称点M',连接MN,则M'在BC上，MN与BD的交点为H,NDD∴∴MH+NH的最小值为7cm.故选：D.的值最小时，∠AEB的度数为【答案】125【分析】过点B作BB′⊥AD于点G,交ACBE,证明AD垂直平分BB′,推出BE=BE’,由三角形三边关系可知，BE+EF=BE+EF吵BFBY,即BE+EF的值最小为B'F′,通过证明△ABE′≌△AB'E,推出∠AE'B=∠AE'B,因此利用三角形外角的性质求出∠AE'B'即可.本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置.2△ABG≌△AB'G(ASA),∴AD垂直平分BB',B∠GEH=110°-70°=40°;3∠GHF=90°-x,∠QHE=∠QHG+∠GHE由折叠可知：∠DFG=∠GFH=30°,故答案为：75.【【答案】见解析上的点E处，折痕为BD(如乙图),再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如丙图).CC(2)∠A=36°,?B?C72?【分析】本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠ABC=∠C=2∠A是解题的关键.(1)根据等腰三角形的特征，可作出判断；(2)由等腰三角形的性质，可得∠ABC=∠C,由折叠，得∠BED=∠C,∠EDF=∠A,则∠ABC=∠C=∠BED=2∠A,再在VABC中利用三角形内角和定理列方程，求出∠A的度数，即可解决问【详解】(1)解：丙图中除VABC外的所有等腰三角形：BCD,BDE,EAD,DAB;(2)解：2AB=AC,故甲图VABC中各角的度数分别为∠A=36°,∠B=∠C=72°.8.【问题呈现】段CD和CE的数量关系是【知识应用】(2)如图2,在VABC中，∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,DF⊥BC于点F,E为AC上一点，连接DE,且∠B+∠CED=180°.试判断CE,CF,BF之间的数量关系，并说明理由.【拓展延伸】连接DE.试说明BD=AE+DE.【答案】(1)CD=CE;(2)CE=CF-BF,理由见解析；(3)见解析.【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键.(1)根据角平分线的性质即可得出答案；(2)先证明△DCF≌DCA,得到CF=CA,再证明DFB≌DAE,得到BF=AE,即可得出答案；而得到CD=CG,再证明DCE≌GCE,得到GE=DE,即可得出结论.BCD=CE,(2)2CD平分∠ACB,∠A=90°,DF⊥9.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一(1)如图.直线a是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供生站0,向M,N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设管道最短的是()A.D.A.去河边饮水，最后回到A地.请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由.【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.(1)作点M关于直线a的对称点M',连接MM',根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项.(2)作点A关于直线OM和ON的对称点B和C,连接AB和AC,连接BC,分别交直线OM和ON于点D和E,连接DA和EA,根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径.【详解】(1)解：②作点M关于直线a的对称点M',连接MM',故直线a是MM'的垂直平分线，2铺设管道最短的是选项B,故选：B.(2)解：作点A关于直线OM和ON的对称点B和C,连接AB和AC,连接BC,分别交直线OM和ON于草地BA0E0C根据对称的性质可得直线OMM小河和ON分别是AB和AC的垂直平分线，根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为AD,ED,EA.于点G,交AC于点H,连接AE,有以下结论，①BG=EG;②HEF≌CBF;③∠AEB+∠ACE=90°;④BG-CH=GH,⑤∠AEC+∠ABE=90°其中正确的结论是()【答案】D【分析】①根据角平分线定义得出∠ABE=∠CBE,根据平行线性质得出∠CBE=∠GEB,从而得出∠ABE=∠GEB,由等腰三角形的判定定理即可得到结论；②根据已知条件，不能得出全等；③由于E是外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论；⑤根据∠AEC=180-x-z,于是得到∠AEC=180-(y+90°),推出y+∠AEC=90°,即可得到结论；④由BG=GE,2BG=GE,故①正确；②△HEF与VCBF不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误；③过点E作EN⊥AC于N,ED⊥BC于D,EM⊥BA3BE平分∠ABC,BEN=ED,2EN=EM,2AE平分∠CAM,设∠ACE=∠DCE=x,∠ABE=∠C则∠BAC=180°-2z,∠ACB=1即∠ACE+∠AEB=90°,故③正确；即∠ABE+∠AEC=90°,故⑤正确；BBG-CH=GE-EH=GH.故④正确.综上，①③④⑤正确，一共4个.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点.△A₃B₃A₄…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a₁,第2个等边三角形的边长记为a₂,以此【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A₁B₁A₂B₂IIA₃B₃,以及a₂=2a,得出a₃=4a₁=4,a₄=8a₁=8,a₅=16a₁…进而得出答案.【详解】解：如图，B₂BA₄A₄A₃OA₁又∵∠3=60°,以此类推：a₂025=22024,故答案为：22024.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a₃=4a₁=4,a₄=8a₁=8,a₅=16a₁…进而发现规律是解题关键.3.小明同学喜欢玩折纸游戏，他在学习完角的知识后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，首先他在长方形纸片ABCD的边AD上找到一点E,然后沿着CE进行第一次折叠(如图1),使得D点落在F处.(1)此时(如图1)小明经过测量得到∠DEC=38°,请你帮他计算∠AEF=._·(2)第一次折叠后，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿着BE进行第二次折叠(如图2),使得A点落在G处，小明发现∠BEG的大小会随着E点的位置改变而发生改变：①若点A经过折叠后刚好落在线段EF上(如图3),求出此时∠BEC的大小；(请写出推理过程)②小明将E改变到如图4的位置的时候，经过测量∠GEF=10°,请你计算出此时∠BEC的大小.(请写出推理过程)(3)小明继续研究折纸游戏，他又发现有意思的折纸过程：他将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后(如图5),点D落在点F处，AF和BC交于点M,再将△CFM沿CM折叠后，点F落在点H处，此时CH将∠ACB分成的两个角满足：∠ACH:∠BCH=1:3,请你直接写出∠ACB的度数.【分析】本题考查折叠问题，解题关键是掌握折叠前后对应角相等.进而可得∠ACD=∠ACF=7a,再根据∠BCD=∠ACB+∠ACD=11α=90°即可求解.【详解】(1)解：由折叠得，∠FEC=∠DEC=38°,4.如图，BABC与BADE都是等边三角形(AB>AD),BD和CE相交于点P,连接AP.备用图之间的数量关系，并说明理由.(3)PE=AP+PD,见解析.【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明BAD≌CAE是解本题的关键.(1)根据等边三角形的性质得到∠BAD=∠CAE,AB=AC,AD=AE,由“SAS”可证。BAD≌CAE,可(2)由全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB,由三角形内角和定理求出∠DPE=60°,进而得到∠BPE=120°,作AG⊥BD,AH⊥CE,全等三角形的性质，推出AG=AH,得到PA平分∠BPE,求出(3)由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA,由“SAS”可证△AOE≌△APD,由全等三