2025年人教版数学八年级下学期学案（整册完整）

1第16章二次根式第一部分基础回顾101基础知识 07第二部分考点过关 202二次根式的意义 09 09204最简二次根式 10 10 207分母有理化 210二次根式的加减(字母类) 211二次根式混合运算 第四部分单元测试卷401单元测试卷 第五部分期末真题训练501期末真题训练 第六部分中考真题训练601中考真题链接 2第17章勾股定理第一部分基础回顾101基础知识 201勾股定理 202勾股定理的证明 36203勾股定理的逆定理 39204勾股数 40 301思维训练 42第四部分单元测试卷401单元测试卷 43第五部分期末真题训练501期末真题训练 47601中考真题链接 58 3205平行四边形的性质(面积类) 206平行四边形的性质(周长类) 207平行四边形的判定(定义法) 208平行四边形的判定(两组对边分别相等) 209平行四边形的判定(一组对边平行且相等) 64210平行四边形的判定(对角线) 211平行四边形的性质和判定 66212菱形的性质(四边相等) 68213菱形的性质(对角线问题) 69214菱形的判定(对角线加平四) 69215菱形的判定(定义法) 70 217矩形的性质(角) 219矩形“特角问题” 74220矩形的判定(定义法) 75221矩形的判定(对角线) 76222矩形的判定(角) 223正方形的性质 78224正方形的判定 79225三角形中位线定理 81226中点四边形 82301思维训练 84401单元测试卷 88第五部分期末真题训练501期末真题训练链接 4第六部分中考真题链接 第19章一次函数 第二部分考点过关201一次函数定义001 202一次函数定义002 203正比例函数定义001 204正比例函数定义002 206正比例函数的图像 207一次函数的性质 208正比例函数的性质 214利用待定系数法确定正比例函数解析式 215利用待定系数法解决一次函数和正比例函数综合问题 219一次函数图像的平行问题 221一次函数的应用 5 第四部分单元测试卷401单元测试卷 第六部分中考真题训练 第20章数据的分析 201算术平均数001 158202算术平均数002 158203加权平均数 205众数 206极差 207方差001 208方差002 209统计量的选择 301统计量的选择 6 166 170第六部分中考真题训练 1837101基础知识(3)√ab=√a·√b(a≥0,b≥0).(1)因式的外移和内移(3)二次根式的加、减法8(4)二次根式的乘、除法二次根式相乘(除),把被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方(1)把化为,然后分母有理化为7.运用积的算术平方根的性质[√ab=√a·√b,(a≥0,b≥0)],二次根式的性质 然后列出不等式(组),求其解代入所求代数式9201二次根式的定义 A.√a+1A.√5 A.√-3B.√xC.√x²+1202二次根式的意义【课堂练习】式意义的条件是()A.x≠2B.x>-2A.x≥-1B.x>-1且x≠0C.x≠0D.x≥-1且x≠0A.x≤3B.x≤3且x≠0C.x<3203二次根式的性质与化简 A.-y√xB.x A.√(-3)2=-3B.-√(-3)²=-3C.√(±3)²=±3【考前再练】当a<-3时，化简√(2a-1)²+√(a+3)2的结果是()A.a-4B.4-aC.-3a-2【案例分析】下列二次根式中，是最简二次根式的是()【课堂练习】下列根式中，不是最简二次根式的是()A.√17B.√0.1C.√26D.【课后巩固】下列各式不是最简二次根式的是()【考前再练】下列根式中，最简二次根式是()C.a≥3D.a取任意实数【课堂练习】下列各数中，与√2的积仍为无理数的是()【课后巩固】计算并化简3√6×2√2,得到的结果是()【案例分析】计算：的结果是() 207分母有理化【考前再练】化208同类二次根式 209二次根式的加减(数字类)【案例分析】计算： 【课后巩固】计算：【考前再练】计算：√72-3√18+2√8.210二次根式的加减(字母类)【案例分析】【课堂练习】计算题：【课后巩固】化简：【考前再练】化简：211二次根式混合运算【案例分析】计算：【课后巩固】计算： 212二次根式化简求值【案例分析】已知,求：(x+1)²+x-1【课堂练习】已知求x²-4x+2的值.【课后巩固】已知x+y=-4,xy=1,求的值.第三部分思维训练301思维训练一.填空题(共4小题)1.若关于x的方程-2x+m√2019-x+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和因此猜想：√12345678987654321=也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S二.解答题(共25小题)现已知△ABC的三边长分别为1,2,√5,则△ABC角形的周长.6.阅读下列解题过程：利用上述解法化简下列各式7.观察下列各式及验证过程：式①:式②:(1)针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子；(2)请写出满足上述规律的用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并加以验证.(1)求它的周长(要求结果化简);(2)请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.(√5+√2)(√5-√2)=3,它们其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.(1)4-√7的有理化因式可以是________,分母有理化得__.(2)计算：求x²+y²的值；6,xy=4,反之3-2√2=2-2√2+1=(√2-1)²(3)已知x=√4-√12,求的值(结果保留根号)16.阅读下面的文字后，回答问题：其中a=5.”甲、乙两人的解答不同；(1)的解答是错误的.(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：_·(3)模仿上题解答：化简并求值：17.是否存在这样的整数x,使它同时满足以下两个条件：若存在，求出x的值，若不存在，说明理由.求的值.18.已知实数a、b满求的值.19.我们学习了整式的乘法，对于完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²至今我们还记忆犹新，利用这个公式可把3+2√2=(√2)²+2×1×√2+1²(1)请把下列各式都配成完全平方的形式20.阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：已知他是这样分析与解的：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(2)使用以上方法化简：21.斐波那契(约1170-1250,意大利数学家)数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n(n为正整数)个数an可表(1)计算第一个数a1;(2)计算第二个数a2;22.阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c.记：则三角形的面积S为S=√p(p-a)(p-b)(p-c),此公式称为“海伦公式”思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB=7m,AC=5m,BC=8m,你能求出李大爷这块菜地的面积吗?试试看.(结果精确到0.1)参考数据√2=1.414,23.在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题.一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为√224cm的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为√490cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了√40cm(提示：圆柱的体积=πr²h,其中，r为底面的半径，h为高，π取3)(1)求从塑料容器中倒出的水的体积；(2)求圆柱形玻璃容器的底面的半径.以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：①参照(Ⅲ)式(2)化简：,并完成后面两问的作答：解：由,解得：x=2017,∴y=2018.27.二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用.如图，在“神州八号”中要将√35πcm,那么圆的半径应是多少? 28.根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒时，宇宙飞船内只经过,其中r是指宇宙飞船的速度，c是指光速(约30万千米/秒).假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟20岁，哥乘着以光速0.98倍的速度飞行的宇宙飞船做了5年宇宙旅行后回来了，这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25年.可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论.29.若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.(1)3与是关于1的平衡数，5-√2与是关于1的平衡数；数，并说明理由.第四部分单元测试401《二次根式》单元测试卷一.选择题(共6小题)1.下列各式中，正确的是()2.下列二次根式中，是最简二次根式的是()A.√0.2B.√a²-b²3.把二次根式化为最简二次根式结果是()B.√xy(y>0)D.以上都不对A.①和②B.②和③5.化简：的结果是()C.①和④D.③和④6.当a≥0时，√a²,√(-a)2,-√a2中，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是A.√a²=√(-a)²≥-√a²B.√a²>√(-a)²>-√a²C.√a²<√(-a)²<-√a²二.填空题(共8小题)是二次根式.三.解答题(共4小题)由于4+3=7,4×3=12,即(√4)²+(√3)²=7,√4·√3=√12,第五部分期末真题链接501《二次根式》期末真题链接一.选择题(共3小题)A.2a√2aB.4√2a³C.2√2a³2.下列二次根式中，是最简二次根式的是()3.√9的平方根是()A.3二.填空题(共4小题)7.估计与0.5的大小关系是：.5.(填“>”、“=”、“<”)三.解答题(共3小题)9.计算：(2)(x-2)²-(x+3)(x-3).第六部分中考真题链接一.选择题(共1小题)A.√3B.2√3C.3√3D二.填空题(共2小题)三.解答题(共8小题)4.计算4sin45°+(π-2)⁰-√18+|-1|101基础知识1.勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a²+b²=c²勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.大正方形面积为S=(a+b)²=a²+方法三：,化简得证3.勾股定理的适用范围4.勾股定理的应用5、利用勾股定理作长为n的线段思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于√2,直角边为√2和1的直角三角形斜边长就是√3,,类似地可作√5。作法：如图所示(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边；(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角△B₁BA。斜边为B₁A;(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形AB₂B₃,,这样斜边AB、AB1、AB₂、AB₃的长度就是举一反三【变式】在数轴上表示√10的点。为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径，以0为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为√10。注：逆命题与勾股定理逆定理可以判断真假的陈述句叫做命题，写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1.原命题：猫有四只脚.(正确)2.原命题：对顶角相等(正确)3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫(不正确)2.逆命题：相等的角是对顶角(不正确)3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确)4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。勾股定理的逆定理的证明方法要掌握，书74页如果三角形三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形，其中c为(2)验证c²与a²+b²是否具有相等关系，若c²=a²+b²,则△ABC是以∠C为直角的直角(定理中a,b,c及a²+b²=c²只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满足a²+c²=b²,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边)3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系4:互逆命题的概念规律方法指导2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a,b,c角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，一个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形；若a²+b²>c²,时，以a,b,c为三边的②定理中a,b,c及a²+b²=c²只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满足a²+c²=b²,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，说成：当斜正整数时，称a,b,c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等n²-1,2n,n²+1(n≥2,n为正整数);2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1(n为正整数)m²-n²,2mn,m²+n²(m>n,m,n为正整数)8.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.9勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是相成，完成对问题的解决.201勾股定理【案例分析】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°.EDABC,AD=3则CD的长为()A.6A.√2A.2【考前再练】在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=5,BC=4,则AC的长是()202勾股定理的证明x(1)小明发明了求正方形边长的方法：因为AB=BD+AD,所以a-x+b-x=c,解得(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.【课堂练习】阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1,利用此图，可以验证勾股定理吗?【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：;(用含字母a、b、c的式子表示)【初步运用】(1)如图1,若b=2a,则小正方形面积：大正方形面积=;(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2,若a=4,b=6此时空白部分的【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢?带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程.知识补充：如图4,含60°的直角三角形，对边y:斜边x=定值k.aaba【课后巩固】(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1),这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系证明：∵大正方形面积表示为S=c²,又可表示为S=即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2),也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，aCC【考前再练】阅读材料，并完成相应任务.2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：证明：①在图1中，∵S大正方形=(a+b)²,S大正方形=4个直角三角形的面积+两个正的面积②在图2中，∵S大正方形=(a+b)²,S大正方形=4个直角三角形的面积+正方形的面积整理得：2ab+a²+b²=2ab+c²任务：(1)将材料中的空缺部分补充完整；(2)如图3,在△ABC中，∠A=60°,∠ACB=75°,CD⊥AB,AC=4,求BC的长.aa203勾股定理的逆定理【案例分析】如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,AD=1,(2)求证△ACD是直角三角形.(3)求四边形ABCD的面积?【课堂练习】在四边形ABCD中，AC⊥DC,AD=13cm,DC=12cm,AB=3c求四边形ABCD的面积.【课后巩固】如图所示，四边形ABCD,∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,AD(2)求四边形ABCD的面积.【考前再练】如图，每个小正方形的边长都为1(1)求四边形ABCD的周长；(2)求∠BCD的大小.204勾股数【案例分析】下列给出的四组数中，是勾股数的一组是()A.1,2,3B.2,3,4C.2,4,5【课堂练习】下列各组数为勾股数的是()A.7,12,13C.0.3,0.4,0.5D.8,【课后巩固】下列各组数中，为勾股数的是()A.1,2,3B.3,4,5C.1.5,2,2.5D.5,10,12【考前再练】下列各组数中，是勾股数的是()A.1,2,3205勾股定理的应用【案例分析】如图，某校有一块四边形空地ABCD,现计划在该空地上种草皮，经测量∠B=90°,AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,求这块场地的面积.【课堂练习】一块土地的形状如图所示，∠B=90°=24m,求这块地的面积.【课后巩固】如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m,如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的【考前再练】如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m,它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA走到离树24m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处.已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m,设BD为xm.(1)请用含有x的整式表示线段AD的长为m;(2)求这棵树高有多少米?第三部分思维训练301思维训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A(1,0),等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC=90°,点B在点A的右侧，点C在第一象限.将△ABC绕点A逆时针旋转75°,如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的2(人大附)小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面(不考虑接缝),如图2所示.小明所用正方形包装纸的边长至少为()A.40B.30+2√2C.20√2D.10+10√2的高，求AD第四部分单元测试401《勾股定理》单元测试卷一.选择题(共4小题)1.下列三角形中，是直角三角形的是()A.三角形的三边满足关系a+b=cB.三角形的三边比为1:2:3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9,40,412.如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要()ABCD的面积为8,则BE=()A.2B.3C.2√24.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,二.填空题(共8小题)5.一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是_6.若等边三角形的边长为2,则它的面积是_7.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm²,则其中最大的正方形的边长为cm.8.如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°,∠ACB=45°,BC9.已知：如图，△ABC中，∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F分别是垂足，且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于cm.10.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6,BC=8,将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD,则BD=_·11.△ABC中，AB=AC=13,若AB边上的高CD=5,则BC=12.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2三.解答题(共7小题)13.已知：如图，在△ABC中，∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足.求AD的长.BB14.如图，已知一块四边形的草地ABCD,其中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=20米，CD=10米，求这块草地的面积.15.△ABC中，AB=AC=4,点P在BC边上运动，猜想AP²+PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想.17.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm,如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点),那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?为3,另一种纸片的两条直角边长分别为1和3.图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形),每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1,图2,图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少.图2图1图3图2图1图319.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周第五部分期末真题链接501《勾股定理》期末真题链接一.选择题(共7小题)D重合，折痕为MN,则线段BN的长为()A.4A.23.下列以a,b,c为边的三角形，不是直角三角形的是()A.a=1,b=1,c=√2B.a=1,b=√3,c=2C.a=3,b=4,c=54.如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是()5.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A.4,5,6B.5,12,13C.2,3,4D.1,√6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是()7.小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m,学校旗杆的高度是()A.21mB.13mC.10m9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4,-3),且OA=5,在x轴上确定一点P,使△AOP为等腰三角形.(1)写出一个符合题意的点P的坐标(2)请在图中画出所有符合条件的△AOP.10.《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问：折者高几何?”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远.问：原处还有多高的竹子?(1丈=10尺)答：原处的竹子还有尺12.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?”译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺.将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接.问水深，芦苇的长度分别是多少尺?”(备注：如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意，可列方程为13.等腰三角形的一腰长为3,底边长为4,那么它底边上的高为_14.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E.若△ABC的周长为30,BE=5,则△ABD的周长为15.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为_16.已知△ABC中，DE垂直平分AB,如果△ABC的周长为22,AB=10,则△ACD的周长17.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何?”译文：“有一根竹子，原高二丈(1丈=10尺),现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺?”如图，我们用点A,B,C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC=x尺，则可列方程为_.18.如图，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=11cm,BD19.如图，在6×6正方形网格(每个小正方形的边长为1cm)中，网格线的交点称为格点，AC=6cm,BC=8cm,那么EB的长为cm,DE的长为22.如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=10,则△ABD的面积为.是△ABC的一条角平分线.若CD=3,CAB的距离是cm.CC恰好落在对角线AC上的点F处，则BE的长为_.25.如图，每个小正方形的边长为1,在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长26.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=2,AE=3,则正方形ODCE的边长等于·27.如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若AE=5,BE=12,则EF三.解答题(共11小题)28.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(10,8),过点A作AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,点D在AB上.将△CAD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点(1)依题意在图中画出△CDE;29.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,分别以A、B为圆心，大于.长为半径画弧，两弧相交于点M、N,作直线MN,与AB交于点D,与BC交于点E,连结AE.(1)由作图可知：直线MN是线段AB的;(2)AEBE(填“>、<、=”);(3)当AC=3,AB=5时，求△ACE的周长.31.已知：如图，有一块凹四边形土地ABCD,∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,求这块四边形土地的面积.32.(1)在如下6×6的网格中(每个小正方形边长均为1).画出一个面积为10的正方形；(2)在如图所示数轴上找到表示-√5的点(保留画图痕迹).AD的长度和△ABD的面积.请按要求解决问题.(1)在BC边上求作一点D,使得点D到AB边的距离等于DC的长.(用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)35.如图，四边形ABCD中，∠B=90°,∠ACB=30°,AB=2,CD=3,AD=5.(1)求证：AC⊥CD;(2)求四边形ABCD的面积.36.如图，在△ABC中，∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,E是AC上一点，且DE=DA,若AB=15,BC=20,求EC的长.37.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)以格点为顶点画△ABC,使AB=√2,BC=2√2,AC=√10(画一个即可);(2)求△ABC的面积.38.如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：第六部分中考真题链接601《勾股定理》中考真题链接一.填空题(共1小题)点).第十八四边形第一部分基础知识(二)特殊四边形的一些重要性质边角对角线四对边平行；对边相等。对角相等；互相平分中心对称矩形对边平行；对边相等。四个角都是直角中心对称轴对称(2)菱形对边平行；四边相等。对角相等；1、互相垂直且平分；2、各自平分一组对角。中心对称轴对称(2)正方形对边平行；四边相等。四个角都是直角1、相等且互相垂直平2、各自平分一组对角。中心对称轴对称(4) (三)特殊四边形的判定边角对角线四1、四边形+两组对边分别平2、四边形+两组对边分别相3、四边形+一组对边相等且平4、四边形+两组对角相5、四边形+对角线互矩形1、四边形+三个直角；2、平行四边形+一个直3、平行四边形+对角线相等4、四边形+对角线相菱形1、四边形+四边相等；2、平行四边形+一组邻边相3、平行四边形+对角线互相垂直；1、矩形+邻边相等；2、菱形十一个直角；3、四边形+对角线相等且互相垂直平分；关键点：抓住其与上级四边形的特殊性来判定。第二部分考点过关【案例分析】从八边形一个顶点出发可以引()条对角线.A.4B.5【课堂练习】我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是()A.9B.54【课后巩固】五边形的对角线一共有()【考前再练】若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是()A.10B.7C.14【案例分析】一个多边形的内角和比外角和多540°,这个多边形为()【课堂练习】下列度数不能成为某多边形的内角和的是()A.1440°B.1080°C.900°【课后巩固】若n边形的内角和等于外角和的4倍，则边数n为()A.10B.8【考前再练】如图所示，已知△ABC中，∠A=80°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2A.90°B.135°C.260°203平行四边形的性质(线段类)【案例分析】如图，口ABCD中，下列说法一定正确的是()A.AC=BDB.AC⊥BDC.AO=COD.AB=BC【课堂练习】在□ABCD中、如果∠A=65°、那么∠C的度数是()A.115°B.65°C.25°【课后巩固】若平行四边形其中两个内角的度数之比为1:4,则其中较小的内角是()A.30°B.36°C.45°【考前再练】如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BC,且AB=10,AD=6,则OB的长度为()204平行四边形的性质(角度类)【案例分析】在□ABCD中、如果∠A=65°、那么∠C的度数是()A.115°B.65°【课堂练习】若平行四边形其中两个内角的度数之比为1:4,则其中较小的内角是()A.30°B.36°C.45°=60°,则∠C的度数是()A.120°B.30°C.60°【考前再练】在平行四边形ABCD中，∠A=65°,则∠C的度数是()A.65°B.105°C.115°205平行四边形的性质(面积类)【案例分析】如图，口ABCD的对角线交于点O,已知△OCD的面积等于3,则ABCD的面积等于()例分析】则口ABCD的面积为()A.4B.6C.12ABCD=20,则S△DOE的值为()【考前再练】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=6,AD⊥BD.在边AB上取一点E,使AE=AO,则△AEO的面积为()206平行四边形的性质(周长类)【案例分析】如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E是BC边上的中点，若OE=2,AD=5,则ABCD的周长为()A.9B.16A.20cmB.22cmC.25cmD.30cm【课后巩固】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E是边CD的中点，连接OE.若平行四边形ABCD的周长为24,BD=8,则△DOE的周长为()A.10B.12C.1【考前再练】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，连接DE、CE.若DE、A.10B.8√2207平行四边形的判定(定义法)【案例分析】如图，AD是△ABC边BC上的中线，AE//中点，连结CE.求证：四边形ADCE是平行四边形.【课堂练习】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，AE平分∠BAC,CP⊥AE,垂足为E,EF//BC.求证：四边形BDEF是平行四边形.【课后巩固】平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.求证：四边形ABCD是平行四边形.(2)求证：四边形AFDE是平行四边形.208平行四边形的判定(两组对边分别相等)【案例分析】已知如图，点C、D在线段AF上，AD=CD=CF,∠ABC=∠DEF=90°,AB//EF.(2)求证：四边形BCED是平行四边形.【课堂练习】如图，在四边形ABCD中，AD//BC,BD⊥AD,点E,F分别是边AB,CD的中点，且DE=BF.求证：四边形ABCD是平行四边形.【课后巩固】如图已知△ABC,分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形：△ABE.△BCD.△ACF,求证：四边形DEAF是平行四边形.【考前再练】如图，已知∠A=∠D,AB=DC,AC、BD相交于0,(3)作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC,求证：四边形ABEC是平行四边形.209平行四边形的判定(一组对边平行且相等)【案例分析】如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1=∠2,BE=DF,连接AB,CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.BD,求证：四边形ABDF是平行四边形.【课后巩固】如图所示，△ABC中，∠ABC=90°,D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到F,使EF=2DE.求证：四边形BCFE是平行四边形.【考前再练】如图，D是△ABC的边AB上一点，CE//AB,DE交AC于点F,若FA=FC.210平行四边形的判定(对角线)【案例分析】如图，四边形ABCD中，AC,BD求证：四边形ABCD是平行四边形.【课堂练习】如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F,连接CF.四边形BDFC是平行四边形吗?证明你的结论.【课后巩固】如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.求证：四边形BDFC是平行四边形.【考前再练】如图所示，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,且OA=0C,OB=OD,在线段OB和OD上，有点E和F且DE=BF,连接AE,CE,AF和CF,求证：四边形AECF为平行四边形.211平行四边形的性质和判定(2)连接BE和AF相交于点G,DF和CE相交于点H,求证：EF和GH互相平分.连接DE,F【课堂练习】如图，将平行四边形ABCD的BA边延长至点连接DE,F是DC边的中点，连接AF.(1)求证：四边形AFDE是平行四边形.【课后巩固】如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F,连结BF.求证：四边形ABFC是平行四边形.【考前再练】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF过点0分别交BC,212菱形的性质(四边相等)【案例分析】如图，在菱形ABCD中，BD=5√3,∠BAD=120°,则菱形ABCD的周长【课堂练习】如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，连结OE.若OE=3,则菱形ABCD的周长是(CCA.6B.12C.18【课后巩固】已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度分别为8cm和6cm,则菱形ABCD的周长是()A.10cmB.16cmC.20cmD.40cm【考前再练】如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AC,AD的中点，若EF=2,则菱形ABCDA.8B.12【案例分析】菱形的边长是2cm,一条对角线的长是2cm,则另一条对角线的长约是()A.4cmB.1cmC.√3cmD.2√3cm【课堂练习】菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的边长是()A.6B.4【课后巩固】如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,AC=16,BD=12,则菱形的A.5B【考前再练】菱形ABCD的边长为13cm,其中对角线BD长10cm,菱形ABCD的面积为()A.60cm²B.120cm²C.130cm²D.240cm²【案例分析】已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB=√5,OA=2,OB=1,求证：口ABCD是菱形.AH至点F,使FH=EH.求证：四边形EBFC是菱形.F,连接AF、BE.求证：四边形AFBE是菱形.【考前再练】在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.EF过点O且与ABCD分别相交于点E,F(I)如图①,求证：OE=OF;(II)如图②,若EF⊥DB,垂足为0,求证：四边形BEDF是菱形.图①图②215菱形的判定(定义法)AD于点F,AE与BF交于点O,连接EF.求证：四边形ABEF是菱形.接DE,DF.求证：四边形DFCE是菱形.A作AF//BC交BE的延长线于点F,连接CF.(2)证明四边形ADCF是菱形.【考前再练】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，已知DE平分∠ADC,交AB于点E,过点E作EF//AD,交DC于F,求证：四边形AEFD是菱形.216菱形的判定(四边相等)【案例分析】如图，在△ABC中，点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，AF⊥BC.求证：四边形ADFE是菱形.【课堂练习】如图，在□ABCD中，点E,F分别在AD,BC边上，且EF垂AC,垂足为0.求证：四边形AECF为菱形.【课后巩固】如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点E、F分别为AB、BC边的中点，求证：四边形BDEF为菱形.BC于点Q,连结BP,DQ,求证：四边形PBQD是菱形.217矩形的性质(角)【课堂练习】如图，在长方形ABCD中，E为BC边上一点，AE=AD,∠BAE的平分线交DE的延长线于点P,则∠P的度数为_.【课后巩固】如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=4,点P在AD上，若△PBC为直角三角形，则CP的长为【考前再练】在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,若∠ACB=30°,则∠AOB218矩形的性质(对角线)【案例分析】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果∠ABD=m°,则∠E=度(用含m的代数式表示).【课堂练习】如图，矩形ABCD中，AB<BC,AC、BD交于点O,若AB=AO=4,则S矩【课后巩固】如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若∠AOD=120°,AB【考前再练】如图，矩形ABCD的对角线C与BD相交点O,AC=20,P、Q分别为AO、219矩形“特角问题”【案例分析】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠AOB=120°,AD=3,【课堂练习】在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,若∠ACB=30°,则∠AOB的度数是.【课后巩固】如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若∠AOD=120°,AB【考前再练】若矩形的对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为120°,则该矩形的面积cm²220矩形的判定(定义法)【案例分析】在平行四边形ABCD中，AB=6,AC=10,AD=8.求证：平行四边形ABCD是矩形.【课堂练习】如图，△ABC中，AC=BC,CD⊥AB于点D,四边形DBCE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【课后巩固】如图，在△ABC中，0是AC上的一个动点(不与点A、C重合),过0点作(1)试说明：OE=OF;(2)当0点运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论.【考前再练】如图，已知△ABC中，AB=AC,AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，221矩形的判定(对角线)【案例分析】如图，已知菱形ABCD,延长AD点到F,使DF=AD,延长CD到点E,使DE=CD,顺次连接点A、C、F、E、A,求证：四边形ACFE是矩形.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)连接EC交AD于点O,若∠EOD=2∠B,求证：四边形ACDE是矩形.【课后巩固】如图，将口ABCD的边DA延长到点F,使DA=AF,CF交边AB于点E.(1)求证：BE=AE;(2)若2∠D=∠BEF,求证：四边形AFBC是矩形.【考前再练】如图，AC、BD相交于点O,且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC=∠BED=90°,求证：四边形ABCD是矩形.222矩形的判定(角)【案例分析】工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于点P,CN与DQ相交于点M,判断四边形MNPQ的形状，并证明你的结论.∠BCD,∠CDA的角平分线，且相交于点O,K,H,G,求证：四边形HGOK是矩形.EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)若∠EAF=45°,求证：EF=BE+DF;(2)若该正方形ABCD的边长为1,如果△CEF的周长为【课堂练习】求∠EAF的度数.【课后巩固】如图，已知在正方形ABCD中、点E是BC边上一点，F为AB延长线上一点，(1)若∠BAE=18°,求∠EFC的度数；(2)求证：AE⊥CF.【考前再练】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°.(2)如图(2),若AH⊥EF于点H,试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由.224正方形的判定【案例分析】如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.(2)线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形?请说明理由.别是点EF,且BF=CE.(2)问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由.【课后巩固】如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠B∠CEB,求证：四边形ABCD是正方形.角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E,连接CE.(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)填空：①若BC=AB=4,则四边形ABDE的面积为②当△ABC满足_时，四边形ADCE是正方形.225三角形中位线定理(1)AB=6,AC=4,求四边形AEDF的周长；(2)EF与AD有怎样的位置关系?证明你的结论.【课堂练习】如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°,AC=AD,E,F分别是AC,CD的中点，连接BE,EF,BE,求证：∠1=∠【课堂练习】【课后巩固】如图，四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，若E的中点，N为DC的中点.求证：∠PMN=∠PNM.【案例分析】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边