湘教版数学八年级上册期末模拟名师优题卷（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）湘教版2025—2026学年八年级上册期末模拟名师优题卷数学（时间：100分钟满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列二次根式中，不能与3合并的是（）A．13 B．8 C．12 D．2．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE=2cm，A．13cm B．14cm C．15cm3．在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的位置是△ABC的()A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处C．三边垂直平分线的交点处 D．三边上高所在直线的交点处4．解分式方程2xA．最简公分母是（x+1）（x-1）B．去分母，得2（x-1）+3（x+1）=6C．解整式方程，得x=1D．原方程的解为x=15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（）A．小于1m B．大于1mC．等于1m D．小于或等于1m6．如图所示，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB+PC=AB，则符合要求的作图痕迹是（）A． B．C． D．7．如图，在ΔABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，直线MN分别交BC、AC于D、E点，连接AD，若AD=BD，AE=4，BD=5则AB的长为（）A．7 B．8 C．9 D．68．下列运算正确的是（）A．2+3=5 B．33−9．因式分解x3A．xx2−4xC．x(x+2)(x−2) D．x10．如图所示，直线AB//CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA=25°，∠FGH=90°A．45° B．50° C．55° D．60°二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，垂足为E，AE=3cm，则△ABD的周长为cm.12．如图，有一个秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是米.13．已知58−1能被20∼30之间的两个整数整除，则这两个整数是14．计算：(1215．已知ab=1416．如图，在等腰ΔABC中，AB=AC，∠B=300.以点B为旋转中心，旋转300，点A，C分别落在点A'，C'处，直线AC，AC'交于点D，那么AD三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．（1）求AB的长度；（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．18．已知关于x的分式方程2x−2（1）若该分式方程有增根，求m的值；（2）若该分式方程的解是正数，求m的取值范围.19．已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，设AB=c，AC=b，如果b2+c（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）△ABC的中线BD，CE交于点O，用等式表示线段OD与OB之间的数量关系，并证明．20．如图，某体育训练基地，有一块长(3a−5b) 米，宽a−b米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽(a−2b)米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（休息区面积大于泳池）．（结果需要化简）（1）求长方形游泳池面积；（2）求休息区面积；21．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD=AB，过点D作DE∥AB，且DE=AC．（1）求证：∠ACB=∠AED．（2）若点D是AC的中点，且S△ABC＝12，求四边形ABCE的面积．22．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．（1）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2．求证：△ABC（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．23．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE（1）试判断线段AF与（2）若∠ABC=67.5°，试猜想线段AF24．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．（1）求证：CE平分∠BCD；（2）若AB=8，CD=10，求△CDE的面积．25．数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b(a<b)，斜边长度是c（1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个（填“长方形”或“正方形”），其面积为（用含a、b的代数式表示）；（2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=12，BC=20，利用上面的结论求EF的长．湘教版2025—2026学年八年级上册期末模拟名师优题卷数学（时间：100分钟满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列二次根式中，不能与3合并的是（）A．13 B．8 C．12 D．【答案】B【解析】【解答】解：A．13=3B．8=22，不能与C．12=23，能与D．−75=−53故选：B．【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.2．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE=2cm，A．13cm B．14cm C．15cm【答案】B【解析】【解答】解：根据作图步骤可知，MN垂直平分AC，

∴2AE=2CE=AC，AD=DC，

∵AE=2cm，

∴AC=2AE=4cm，

∵△ABD的周长为10cm，

∴AB+AD+BD=AB+BD+DC=AB+BC=10cm，

3．在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的位置是△ABC的()A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处C．三边垂直平分线的交点处 D．三边上高所在直线的交点处【答案】C【解析】【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，

∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.

故答案为：C.

【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上.4．解分式方程2xA．最简公分母是（x+1）（x-1）B．去分母，得2（x-1）+3（x+1）=6C．解整式方程，得x=1D．原方程的解为x=1【答案】D【解析】【解答】解：2x+1+3x−1=6x2故答案为：D.【分析】根据解分式方程的步骤：方程两边同时乘以各个分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验得出原方程解的情况，逐步计算即可求解.5．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（）A．小于1m B．大于1mC．等于1m D．小于或等于1m【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：∠AOB=∠A'OB'=90°，AO=5，BO=12，A'O=6

∴在Rt△AOB中，AB2＝AO2＋OB2＝169，在Rt△A'OB'中，A'B'2＝A'O2＋OB'2．

∵AB＝A'B'，

∴OB'＝A'B'2−A'O2∴BB'＝OB−OB'＝12−133＜1．

故答案为：A．【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理计算AB2，再在Rt△A'OB'中依据勾股定理可求得OB'的长，作差即可求得BB'的长．6．如图所示，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB+PC=AB，则符合要求的作图痕迹是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵点P在AB上，

∴PB+PA=AB，

∵PB+PC=AB，

∴PC=PA，

∴点P在线段AC的垂直平分线上，

∴作出线段AC的垂直平分线交AB于点P，故答案为：C.

【分析】先证出PC=PA，可得点P在线段AC的垂直平分线上，再逐项分析判断即可.7．如图，在ΔABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，直线MN分别交BC、AC于D、E点，连接AD，若AD=BD，AE=4，BD=5则AB的长为（）A．7 B．8 C．9 D．6【答案】D【解析】【解答】解：由作图得MN垂直平分AC，∴AE=CE=4，AD=CD，∵AD=BD，∴AD=BD=CD=5=1∴∠BAC=90°，∴AB=B故答案为：D.【分析】先根据作图-垂直平分线结合垂直平分线的性质得到AE=CE=4，AD=CD，进而即可得到AD=BD=CD=5=18．下列运算正确的是（）A．2+3=5 B．33−【答案】C【解析】【解答】A、∵2和3不是同类二次根式，∴A不正确，不符合题意；

B、∵33−3=23，∴B不正确，不符合题意；

C、∵3×5=15，∴C正确，符合题意；9．因式分解x3A．xx2−4xC．x(x+2)(x−2) D．x【答案】C【解析】【解答】解：x3−4x=xx2−410．如图所示，直线AB//CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA=25°，∠FGH=90°A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】D【解析】【解答】解：如图，过G作GK∥AB，HL∥CD交MN于L，

∴∠KGF=∠EFA=25°，∠HLN=∠CNP=30°，

∴∠MHL=∠HLN-∠HMN=30°-25°=5°，

∴∠KGH=∠FGH-∠KGF=90°-25°=65°，

∵GK∥AB，HL∥CD，AB∥CD，

∴GK∥HL，

∴∠GHL=∠KGH=65°，

∴∠GHM=∠GHL-∠MHL=65°-5°=60°.

故答案为：D.

【分析】过G作GK∥AB，HL∥CD交MN于L，利用平行线的性质求出∠KGF和∠HLN的度数，然后利用三角形外角和定理求∠MHL的度数，再利用角的和差关系求∠KGH，然后求出GK∥HL，由平行线的性质求∠GHL的度数，最后根据角的和差关系求∠GHM度数即可.二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，垂足为E，AE=3cm，则△ABD的周长为cm.【答案】13【解析】【解答】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，∴AD=DC，AC=2AE=6cm，∵△ABC的周长为19cm，∴AB+BC=13cm∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm.故答案为：13.【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=DC，AC=2AE=6cm，进而根据三角形周长的计算方法、线段的和差及等量代换即可求出答案.12．如图，有一个秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是米.【答案】5【解析】【解答】解：设OA=OB=x米.

∵BC=DE=3米，DC=BE=1.5米，

∴CA=DC-AD=1.5-0.5=1(米)，OC=OA-AC=(x-1)米.

在Rt△OCB中，OC=(x-1)米，OB=x米，BC=3米，

根据勾股定理得x2=x−12故答案为：5.【分析】设OA=OB=x米，用x表示出OC的长，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出关于x的方程求出方程的解即可得到结果.13．已知58−1能被20∼30之间的两个整数整除，则这两个整数是【答案】24，26【解析】【解答】解：58-1=（54）2-12=（54+1）（54-1）=（54+1）[（52）2-12]=（54+1）（52+1）（52-1）=626×26×24.

∵58-1能被20～30之间的两个整数整除，

∴这两个整数是24或26.

故答案为：24或26.

【分析】利用平方差公式逐步因式分解58-1成（54+1）（52+1）（52-1），算出各因式可得626×26×24，根据题意即可退出结果.14．计算：(12【答案】2+8【解析】【解答】解：(1故答案为：2+83

【分析】根据负指数幂的性质和二次根式的运算法则进行计算即可。15．已知ab=14【答案】−1【解析】【解答】解：∵ab=14，

∴4a=b.

∴a+ba−4b=a+4aa−16a=5a−15a16．如图，在等腰ΔABC中，AB=AC，∠B=300.以点B为旋转中心，旋转300，点A，C分别落在点A'，C'处，直线AC，AC'交于点D，那么AD【答案】3−1或【解析】【解答】作AH⊥BC于H，如图，设AH=1，∵AB=AC，∴BH=CH，在RtΔABH中，∵∠ABC=30°，∴AB=2AH=2，BH=3∴BC=23当ΔABC绕点B顺时针旋转30°得到ΔA'BC'，如图1，A'C'交AB于E，∴∠ABA'=∠CBC'=30°，BC'=BC=23∵∠ABC'=60°，∴∠BEC'=90°，在RtΔBC'E中，BE=1∴AE=2−3∵∠DAB=∠ABC+∠C=60°，∴AD=2AE=2(2−3∴ADAC当ΔABC绕点B逆时针旋转30°得到ΔA'BC'，如图2，∴∠ABA'=∠CBC'=30°，BC'=BC=23∵∠CBC'=30°，∴∠ADC'=30°，∵∠ADC'=∠C'，∴AD=AC'=BC'−AB=23∴ADAC综上所述，ADAC的值为3−1或故答案为3−1或2−【分析】作AH⊥BC于H，如图，设AH=1，计算出AB=2，BH=3，则BC=23，分类讨论：当ΔABC绕点B顺时针旋转30°得到ΔA'BC'，如图1，利用旋转的性质得∠ABA'=∠CBC'=30°，BC'=BC=23，∠C=∠C'=30°，则∠BEC'=90°，再计算出BE=12BC'=3，AE=2−3，接着利用∠DAB=60°得到AD=2AE=2(2−3)，于是可计算出ADAC的值；当ΔABC三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．（1）求AB的长度；（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．【答案】（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，∴AB=2BO=2.（2）证明：连接OD，∵△ABE为等边三角形，∴AB=AE，∠EAB=60°，∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，∴∠DAO=60°．∴∠EAO=∠NAB又∵DO=DA，∴△ADO为等边三角形．∴DA=AO．在△ABD与△AEO中，∵AB=AE∠EAO=∠NAB∴△ABD≌△AEO（SAS）．∴BD=OE．（3）证明：作EH⊥AB于H．∵AE=BE，∴AH=12∵BO=12AB，∴在Rt△AEH与Rt△BAO中，AH=BOAE=AB∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH=AO=AD．又∵∠EHF=∠DAF=90°，在△HFE与△AFD中，∠EHF=∠DAF∠EFH=∠DFA∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF=DF．∴F为DE的中点．【解析】【分析】（1）在直角三角形ABO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AB的长度。

（2）连接OE，根据线段垂直平分线上的点，到线段两个段点的距离相同，即可求得OD=AD，证明三角形ADO为等边三角形，根据两个三角形的对应边及其夹角相同，即可证明两个三角形全等，即△ABD≌△AEO，根据三角形全等的性质，即可得出BD=OE。

（3）作EH⊥AB于H，根据两个直角三角形的一条直角边以及斜边对应相等，即可证明Rt△AEH≌Rt△BAO，根据三角形全等的性质，得出AO=EH，继而根据三角形的两个角及其一角的对边对应相等，即可证明三角形全等△HFE≌△AFD，最后进行中点的证明即可。18．已知关于x的分式方程2x−2（1）若该分式方程有增根，求m的值；（2）若该分式方程的解是正数，求m的取值范围.【答案】（1）由分式方程有增根，得x−2=0，即x=2，把x=2代入6−m=3x，得m=0.（2）解分式方程，得x=6−m3，根据分式方程的解为正数，得6−m3>0，且6−m3【解析】【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，代入整式方程计算即可求出m的值；

(2)表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可.19．已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，设AB=c，AC=b，如果b2+c（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）△ABC的中线BD，CE交于点O，用等式表示线段OD与OB之间的数量关系，并证明．【答案】（1）证明：∵b∴(b∴(b−2)∵(b−2)2≥0∴b=2，c=2，∴AB=AC=2，∵∠A=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：结论：OB=2OD．理由：∵△ABC是等边三角形，CE，BD是中线，∴BD⊥AC，∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=30°，∴OB=OC，∵∠ODC=90°，∠DCO=30°，∴OC=2OD，∴OB=2OD．【解析】【分析】（1）若几个非负数（或式）的和为0，则每个数（或式）都等于0，故只需将b2+c2−4(b+c)+8=0左边构造成两个完全平方式即可得到b=c=2，再根据等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形判定即可.

（2）根据等边三角形的性质以及三线合一可知∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=30°，BD⊥AC，故可将OB转换为OC，在根据直角三角形中，30°20．如图，某体育训练基地，有一块长(3a−5b) 米，宽a−b米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽(a−2b)米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（休息区面积大于泳池）．（结果需要化简）（1）求长方形游泳池面积；（2）求休息区面积；【答案】（1）解：aa−2b答：长方形游泳池面积为a2（2）解：a−b3a−5b答：休息区面积为2a【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式可表示为aa−2b=a（1）解：aa−2b答：长方形游泳池面积为a2（2）解：a−b3a−5b答：休息区面积为2a21．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD=AB，过点D作DE∥AB，且DE=AC．（1）求证：∠ACB=∠AED．（2）若点D是AC的中点，且S△ABC＝12，求四边形ABCE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AB∴∠BAD=∠ADE∴在△ABC和△ADE中，

AD=AB∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠ACB=∠AED（2）解：∵△ABC≌△ADE∴S△ABC＝S△ADE＝12∵点D是AC的中点∴S△ADE＝S△CDE＝12∴S四边形ABCE＝36【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠AED，再利用“边角边”证明即可；

(2)根据全等三角形面积相等，三角形三角形中线的性质求出S△ABC=S△DAE=12，再据四边形ABCE的面积=S△ABC+S△AEC求解即可.22．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．（1）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2．求证：△ABC（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．【答案】（1）证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，BC=2，∴AD是BC边上的中线，BD=1又∵AB=AC=5由勾股定理得：AD=A∴AD=BC，∴△ABC是“梦想三角形”；（2）解：如图，若Rt△ABC是“梦想三角形”，∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，有以下两种情况：①当AC边上的中线BD=AC=6时，CD=1此时，BC=B②当BC边上的中线AE=BC时，CE=1此时，AC2=A解得：BC=43综上所述，BC=33或BC=423．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE（1）试判断线段AF与（2）若∠ABC=67.5°，试猜想线段AF【答案】（1）解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=90°，∠ADB=90°∵∠EAF+∠EFA=90∠EAF+∠C=90∴∠EFA=∠C∵∠BAC=45°，∴∠EBA=90°-∠BAC=45°=∠EAB，∴EA=EB，在△AEF和△BEC中，∠EFA=∠C，∠AEF=∠BEC，AE=BE∴△AEF≌△BEC(AAS)，∴AF=BC；（2）解：AF=2BD，证明如下：∵∠ABC=67.5°，∠BAC=45°∴∠C=67.5°=∠CBA，∴AC=AB，∵AD⊥BC，∴BC=2BD∵AF=BC